第7讲一元二次方程的应用（1）-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案     第  7  讲   

1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（2）找：找出等量关系；

（3）列：列出一元二次方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

2、一元二次方程应用问题的分类：

倍数传播问题；相互问题（握手，送礼等）；

类型一：传播问题（繁殖问题）

 公式： 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数

【例1】有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？

(1)    (2)

【例2】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

 解：设每个支干长出x小分支，依题意得

 1+x（x +1）=91

 解得：X1=9  x2=-10(舍去)

 答：每个支干长出9小分支

【例3】某种电脑病毒在网络中传播得非常快,如果有一台电脑被感染,经过两轮传播后共有144台电脑被感染(假定感染病毒的电脑没有及时得到查毒、杀毒处理).

(1)求每轮感染中平均一台电脑感染几台电脑?

(2)如果按照这样的感染速度,经过三轮感染后被感染的电脑总数会不会超过1 700台?

解:(1)设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑,依题意得1+x+(1+x)x=144,整理得(1+x)2=144,则x+1=12或x+1=-12,解得x1=11,x2=-13(舍去),

答:每轮感染中平均一台电脑感染11台电脑.

(2)由(1)得(1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+11)3=1 728>1 700.

答:三轮感染后,被感染的电脑总数会超过1 700台.

1.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有144人患了流感,若设每轮传染中平均每人传染了x人,那么可列方程为　(x+1)2=144　. 

2.某种植物主干长出若干数目的分支，每个分支长出相同数目的小分支，主干、分支、小分支的总数为241，要求每个分支长出多少个小分支．若设主干有x个分支，依题意列方程正确的是(　B　)

A．1＋x＋x(x＋1)＝241 

B．1＋x＋x2＝241

C．1＋(x＋1)＋(x＋1)2＝241 

D．1＋(x＋1)＋x2＝241

3．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？

(2)如果不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？

类型二：相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题

 公式：循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)，双循环问题n(n-1)

【例1】参加一次足球赛的每两队之间都进行两次比赛，共赛90场，共有多少队参加？

 解：设共有x队参加依题意列方程得

  x（x -1）=90

 解得：X1=10  x2=-9(舍去)

 答：共有10队参加

【例2】参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少人参加聚会?

 解：设共有x人参加聚会，依题意列方程得

  =66

 解得：X1=12  x2=-11(舍去)

 答：共有12人参加聚会

【例3】要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排28场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

 解：设应邀x个球队参加，依题意列方程得

  =28

 解得：X1=8  x2=-7(舍去)

 答：应邀8个球队参加

1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯55次，那么参加酒会的人数为(　C　)

A．9人      B．10人       C．11人      D．12人

2.有支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是(　  A　)

(A)x(x-1)=45   (B)x(x+1)=45    (C)x(x-1)=45    (D)x(x+1)=45

3.在某次聚会上,每两人都握了一次手,所有人共握手210次,共有多少人参加这次

聚会?

1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,若主干、支干和小分支的总数是57,设每个支干长出小分支的个数为x,则依题意可列方程为                     

2.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念,全班共送了1 640张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为(　 D 　)

(A)x(x-1)=1 640     (B)x(x+1)=1 640    (C)2x(x+1)=1 640     (D)x(x-1)=1 640

3.某生物兴趣小组培育一群有益菌.现有5个活体样本,经过两轮培植后,总和达2 000个,其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.

(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?

(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培植后有多少个有益菌?

4.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？

解：设有x名同学

5.有人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信一个人要向几个人发送短信？

解：设要向x个人发送短信.根据题意，得 x(x+1)=90，

  解得x1=9，x2=-10(舍去).

  答：一个人要向9个人发送短信.

【课后作业】

1. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡12张,设这个小组共有x人,则可列方程x(x-1)=12 .
2. 某种植物的主干长出a个支干，每个支干又长出同样数目的小分支，则主干、支干和小分支的总数为       1+a+a2           .
3. 鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为(  C   )

  A.10只  B.11只  C.12只  D.13只

3.某生物实验室需培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24 000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.

(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?

(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意,得[来源:学。科。网]

60(1+x)2=24 000.

解得x1=19,x2=-21(不合题意，舍去).

答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌.

(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌？

经过三轮培植后，得

  60(1+19)3=60×203=480 000(个).

  答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌.

4.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？

设有x家公司出席了这次交易会，根据题意，得x(x-1)=78.

  解这个方程，得x1=13，x2=-12(舍去).

  答：有13家公司出席了这次交易会.

5.有人利用手机发微信,获得信息的人也按他的发送人数发送该条微信,经过两轮微信的发送,共有42人手机上获得同一条微信,则每轮一个人要向几个人发送微信?

解:设每轮一个人要向x个人发微信,由题意得

x(x+1)=42,

解得x1=6,x2=-7(不合题意,舍去),

则每轮一个人要向6个人发送微信.