2019-2020学年浙江省宁波市奉化区锦屏协作区七年级（下）期中数学试卷

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2019-2020学年浙江省宁波市奉化区锦屏协作区七年级（下）期中数学试卷
一．选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
2．（4分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝5 B．xy＝3 C．3x+y2＝5 D．
3．（4分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076克用科学记数法表示为（　　）
A．7.6×10﹣8 B．0.76×10﹣9 C．7.6×108 D．0.76×109
4．（4分）下列计算结果正确的是（　　）
A．a3×a4＝a12 B．a5÷a＝a5 C．（ab2）3＝ab6 D．（a3）2＝a6
5．（4分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
6．（4分）计算：（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x）＝（　　）
A．﹣2x2+3x B．﹣2x2+3x+1 C．﹣2x2+3x﹣1 D．2x2+3x+1
7．（4分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．（4分）若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是（　　）
A．6 B．3 C．±6 D．±3
9．（4分）如果x+m与x+8的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　）
A．﹣8 B．8 C．0 D．1
10．（4分）为了奖励疫情期间线上学习表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在两种球类都购买且资金恰好用尽的情况下，购买方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
11．（4分）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）

A．105° B．115° C．130° D．155°
12．（4分）已知（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，则（m﹣2019）2的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣ax＝　 　．
14．（3分）化简：（2x﹣y）（x﹣3y）＝　 　．
15．（3分）若是方程ax+y＝3的解，则a＝　 　．
16．（3分）若a+m＝200，a﹣m＝4，则a2﹣m2＝　 　．
17．（3分）计划在一块长为10米，宽为7米的长方形草坪上，修建一条宽为2米的人行道，则剩余草坪的面积为　 　平方米．

18．（3分）如图所示为正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多9m2，则主卧和客卧的周长之差为　 　m．

三．解答题（共66分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2020﹣（π+1）0+3﹣1
（2）（a2）4÷a2
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
21．（6分）先化简，再求值：已知x＝﹣5，求（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）的值．
22．（10分）如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE＝∠BED．
（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由．
（2）当∠ABE＝25°时，求∠ADE的度数．

23．（10分）疫情无情人有情，八方相助暖人心．一爱心人士向某社区捐赠了A品牌一次性医用口罩5000个和B品牌免洗消毒液100瓶，总价值18000元．已知10个A品牌一次性医用口罩与1瓶B品牌免洗消毒液共需84元．求A品牌一次性医用口罩和B品牌免洗消毒液的单价分别是多少？
24．（10分）一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　 　．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的　 　块，　 　块，　 　块．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是　 　（填序号）．
①x+y＝m；②x2﹣y2＝mn；③4xy＝m2﹣n2；④x2+y2＝

25．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝58°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①∠ABN的度数是　 　度；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　 　．
（2）求∠CBD的度数．
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　 　．（直接写出结果）

四、填空（每小题5分，共15分）
26．（5分）因式分解：（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y）＝　 　．
27．（5分）已知，则x+y﹣z＝　 　．
28．（5分）已知实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则2019a﹣4039b+2020c的值为　 　．
二、解答题（本题共15分）
29．（3分）如图1，已知三角形ABC与三角形ADE摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角形ABC，将三角形ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为　 　度时，AD∥BC；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当三角形ADE的一边与三角形ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数（第（1）题的结论除外）．


2019-2020学年浙江省宁波市奉化区锦屏协作区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）如图，两只手的食指和拇指在同一个平面内，它们构成的一对角可看成是（　　）

A．同位角 B．内错角 C．对顶角 D．同旁内角
【分析】拇指所在直线被两个食指所在的直线所截，因而构成的一对角可看成是内错角．
【解答】解：角在被截线的内部，又在截线的两侧，符合内错角的定义，
故选：B．
【点评】本题主要考查了内错角的定义．
2．（4分）下列方程中，是二元一次方程的是（　　）
A．x+2y＝5 B．xy＝3 C．3x+y2＝5 D．
【分析】根据含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．逐一判断可得．
【解答】解：A．x+2y＝5是二元一次方程；
B．xy＝3中xy的指数为2，不是二元一次方程；
C．3x+y2＝5中y2的指数为2，不是二元一次方程；
D．中不是整式，不是二元一次方程；
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（4分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微笑的无花果，质量只有0.000000076克，将0.000000076克用科学记数法表示为（　　）
A．7.6×10﹣8 B．0.76×10﹣9 C．7.6×108 D．0.76×109
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000000076＝7.6×10﹣8．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．（4分）下列计算结果正确的是（　　）
A．a3×a4＝a12 B．a5÷a＝a5 C．（ab2）3＝ab6 D．（a3）2＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3×a4＝a7，故此选项错误；
B、a5÷a＝a4，故此选项错误；
C、（ab2）3＝a3b6，故此选项错误；
D、（a3）2＝a6，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（4分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2
【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案．
【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；
B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；
C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握相关定义是解题关键．
6．（4分）计算：（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x）＝（　　）
A．﹣2x2+3x B．﹣2x2+3x+1 C．﹣2x2+3x﹣1 D．2x2+3x+1
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（8x3﹣12x2﹣4x）÷（﹣4x）
＝﹣2x2+3x+1．
故选：B．
【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
7．（4分）如图，下列能判定AB∥CD的条件有（　　）个．
（1）∠B+∠BCD＝180°；
（2）∠1＝∠2；
（3）∠3＝∠4；
（4）∠B＝∠5．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：（1）利用同旁内角互补，判定两直线平行，故（1）正确；
（2）利用内错角相等，判定两直线平行，∵∠1＝∠2，∴AD∥BC，而不能判定AB∥CD，故（2）错误；
（3）利用内错角相等，判定两直线平行，故（3）正确；
（4）利用同位角相等，判定两直线平行，故（4）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两直线平行．
8．（4分）若多项式x2+kx+9是一个完全平方式，则常数k的值是（　　）
A．6 B．3 C．±6 D．±3
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵a2+ka+9＝a2+ka+32，
∴ka＝±2×a×3，
解得k＝±6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
9．（4分）如果x+m与x+8的乘积中不含x的一次项，则m的值是（　　）
A．﹣8 B．8 C．0 D．1
【分析】原式利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，确定出m的值即可．
【解答】解：原式＝x2+（m+8）x+8m，
由结果不含x的一次项，得到m+8＝0，
解得：m＝﹣8，
故选：A．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（4分）为了奖励疫情期间线上学习表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在两种球类都购买且资金恰好用尽的情况下，购买方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数＝1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为正整数即可得．
【解答】解：设购买篮球x个，排球y个，
根据题意可得120x+90y＝1200，
则y＝，
∵x、y均为正整数，
∴x＝1、y＝12；x＝4、y＝8；x＝7、y＝4．
所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种，
故选：B．
【点评】本题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．
11．（4分）如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）

A．105° B．115° C．130° D．155°
【分析】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE＝180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
12．（4分）已知（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，则（m﹣2019）2的值为（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【分析】先变形，再根据完全平方公式进行计算，最后求出即可．
【解答】解：∵（m﹣2018）2+（m﹣2020）2＝34，
∴[（m﹣2019）+1]2+[（m﹣2019）﹣1]2＝34，
∴（m﹣2019）2+2（m﹣2019）+1+（m﹣2019）2﹣2（m﹣2019）+1＝34，
∴2（m﹣2019）2＝32，
∴（m﹣2019）2＝16，
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
二．填空题（每小题3分，共18分）
13．（3分）分解因式：ax2﹣ax＝　ax（x﹣1）　．
【分析】提取公因式ax，然后整理即可．
【解答】解：ax2﹣ax＝ax（x﹣1）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，项本身就是公因式的提取公因式后要注意剩下1或﹣1，不要漏项．
14．（3分）化简：（2x﹣y）（x﹣3y）＝　2x2﹣7xy+3y2　．
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：（2x﹣y）（x﹣3y）
＝2x2﹣6xy﹣xy+3y2
＝2x2﹣7xy+3y2；
故答案为：2x2﹣7xy+3y2．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（3分）若是方程ax+y＝3的解，则a＝　1　．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把代入方程得：a+2＝3，
解得：a＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
16．（3分）若a+m＝200，a﹣m＝4，则a2﹣m2＝　800　．
【分析】利用平方差公将所求式子因式分解，然后根据a+m＝200，a﹣m＝4，即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a+m＝200，a﹣m＝4，
∴a2﹣m2
＝（a+m）（a﹣m）
＝200×4
＝800，
故答案为：800．
【点评】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用平方差公式解答．
17．（3分）计划在一块长为10米，宽为7米的长方形草坪上，修建一条宽为2米的人行道，则剩余草坪的面积为　56　平方米．

【分析】依据平移变换，长草部分可以组成一个长为8米，宽为7米的长方形，即可得到其面积．
【解答】解：长草部分的面积为7×（10﹣2）＝7×8＝56（平方米），
即长草部分的面积为56平方米．
故答案为：56．
【点评】本题主要考查了平移变换的运用，在平面内把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动叫做平移变换，简称平移．
18．（3分）如图所示为正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积（阴影部分）多9m2，则主卧和客卧的周长之差为　12　m．

【分析】设主卧室的边长为am，客卧室的边长为bm，表示各个部分的面积，再根据面积之间的关系得出答案．
【解答】解：设主卧室的边长为am，客卧室的边长为bm（a＞b），则整体正方形的边长为（a+b）m，
a2+b2＝（a+b）2﹣（a2+b2）+9，
整理得，（a﹣b）2＝9，
∵a＞b，
∴a﹣b＝3，
∴4a﹣4b＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个部分的面积以及面积之间的关系是解决问题的关键．
三．解答题（共66分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣1）2020﹣（π+1）0+3﹣1
（2）（a2）4÷a2
【分析】（1）根据有理数的乘方的定义、任何非零数的零次幂等于1以及负整数指数幂的定义计算即可；
（2）根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣1+
＝；

（2）原式＝a8÷a2
＝a6．
【点评】本题主要考查了实数的运算、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把②代入①得：10+6y+3y＝1，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入②得：x＝2，
则方程组的解为；
（2），
①×2+②×3得：13x＝38，
解得：x＝，
把x＝代入①得：y＝﹣，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21．（6分）先化简，再求值：已知x＝﹣5，求（x+1）2﹣（x+3）（x﹣3）的值．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣x2+9
＝2x+10，
当x＝﹣5时，
原式＝2×（﹣5）+10＝0
【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（10分）如图，已知BE平分∠ABC，点D在射线BA上，且∠ABE＝∠BED．
（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由．
（2）当∠ABE＝25°时，求∠ADE的度数．

【分析】（1）根据角平分线定义和∠ABE＝∠BED，即可判断BC与DE的位置关系；
（2）结合（1）的结论，根据∠ABE＝25°，即可求∠ADE的度数．
【解答】解：（1）BC∥DE，理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵∠ABE＝∠BED，
∴∠EBC＝∠BED，
∴BC∥DE；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°，
∵BC∥DE，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
23．（10分）疫情无情人有情，八方相助暖人心．一爱心人士向某社区捐赠了A品牌一次性医用口罩5000个和B品牌免洗消毒液100瓶，总价值18000元．已知10个A品牌一次性医用口罩与1瓶B品牌免洗消毒液共需84元．求A品牌一次性医用口罩和B品牌免洗消毒液的单价分别是多少？
【分析】设A品牌一次性医用口罩单价是x元/个，B品牌免洗消毒液的单价是y元/瓶，由“A品牌一次性医用口罩5000个和B品牌免洗消毒液100瓶，总价值18000元．已知10个A品牌一次性医用口罩与1瓶B品牌免洗消毒液共需84元”列出方程组可求解．
【解答】解：设A品牌一次性医用口罩单价是x元/个，B品牌免洗消毒液的单价是y元/瓶，
由，
解得：，
答：A品牌一次性医用口罩单价是2.4元/个，B品牌免洗消毒液的单价是60元/瓶．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的等量关系是本题的关键．
24．（10分）一天，小聪和小慧玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种纸片各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2
（1）图③可以解释为等式：　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2　．
（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图所示的　2　块，　7　块，　3　块．
（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个小长方形的两边长（x＞y），观察图形，以下关系式正确的是　①②③④　（填序号）．
①x+y＝m；②x2﹣y2＝mn；③4xy＝m2﹣n2；④x2+y2＝

【分析】（1）图③是长为（a+2b），宽为（2a+b）的矩形，根据矩形面积可得到等式，
（2）计算出（a+3b）（2a+b）的结果，即可得出答案，
（3）根据图④得出m＝x+y，n＝x﹣y，再依据公式进行恒等变形即可．
【解答】解：（1）（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2
（2）因为（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，所以需要a×a的2块，a×b的7块，b×b的3块，
故答案为：2，7，3．
（3）由图④可知，m＝x+y，n＝x﹣y，
因此①正确；
因为mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，因此②正确；
因为m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝（x+y+x﹣y）（x+y﹣x+y）＝2x•2y＝4xy，所以③正确；
因为＝＝＝x2+y2，所以④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何意义及应用，掌握公式特征是灵活应用的前提．
25．（12分）如图，已知AM∥BN，∠A＝58°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）①∠ABN的度数是　122　度；
②∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠　CBN　．
（2）求∠CBD的度数．
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（4）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是　30.5°　．（直接写出结果）

【分析】（1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角相等可得；
（2）由（1）知∠ABP+∠PBN＝122°，再根据角平分线的定义知∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP＝122°，即∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝61°；
（3）由AM∥BN得∠APB＝∠PBN、∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN＝2∠DBN，从而可得∠APB：∠ADB＝2：1；
（4）由AM∥BN得∠ACB＝∠CBN，当∠ACB＝∠ABD时有∠CBN＝∠ABD，得∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，即∠ABC＝∠DBN，根据∠ABN＝122°，∠CBD＝61°可得答案．
【解答】解：（1）①∵AM∥BN，∠A＝58°，
∴∠A+∠ABN＝180°，
∴∠ABN＝122°；
②∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣58°＝122°，
∴∠ABP+∠PBN＝122°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝122°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝61°；
（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
（4）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝122°，∠CBD＝61°，
∴∠ABC+∠DBN＝61°，
∴∠ABC＝30.5°．
故答案为：122，CBN；30.5°．
【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
四、填空（每小题5分，共15分）
26．（5分）因式分解：（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y）＝　2（3x+y）（x+2y）　．
【分析】首先提取公因式（3x+y）即可达到分解因式的目的．
【解答】解：（3x+y）2﹣（x﹣3y）（3x+y），
＝（3x+y）[3x+y﹣（x﹣3y）]，
＝2（3x+y）（x+2y）．
故答案为2（3x+y）（x+2y）．
【点评】此题主要考查了利用提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，分解因式时一定要分解彻底，直到不能再分解为止．
27．（5分）已知，则x+y﹣z＝　7　．
【分析】把z看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：，
①×2﹣②得：9y＝3﹣18z，
解得：y＝﹣2z，
把y＝代入①得：x＝3z+，
则x+y﹣z＝3z++﹣2z﹣z＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
28．（5分）已知实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则2019a﹣4039b+2020c的值为　4041　．
【分析】根据同底数幂的除法和题目中的式子，可以得到b﹣a、c﹣b的值，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：2019a﹣4039b+2020c
＝2019a﹣2019b﹣2020b+2020c
＝﹣2019（b﹣a）+2020（c﹣b），
∵2a＝5，2b＝10，2c＝80，
∴2b÷2a＝21，2c÷2b＝8＝23，
∴b﹣a＝1，c﹣b＝3，
∴原式＝﹣2019×1+2020×3＝﹣2019+6060＝4041，
故答案为：4041．
【点评】本题考查同底数幂的除法，解答本题的关键是明确同底数幂除法的计算方法．
二、解答题（本题共15分）
29．（3分）如图1，已知三角形ABC与三角形ADE摆放在一起，点A、C、E在同一直线上，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．如图2，固定三角形ABC，将三角形ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α（0°＜α＜180°）．
（1）当α为　15　度时，AD∥BC；
（2）在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
（3）当三角形ADE的一边与三角形ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α所有可能的度数（第（1）题的结论除外）．

【分析】（1）通过画图，即可求解；
（2）分①当α≤45°、45°＜α≤90°、90°＜α＜180°三种情况，画图计算即可；
（3）分AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、AE∥BC四种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）当α＝15°时，AD∥BC，
图形如下：

故答案为15；
（2）设：∠CAD＝γ，∠BAE＝β，
①如上图，当α≤45°时，
α+β＝90°，α+γ＝45°，
故β﹣γ＝45°；
②当45°＜α≤90°时，
同理可得：γ+β＝45°，
③当90°＜α＜180°时，
∠CAD+∠BAE＝45°，
故：|∠CAD﹣∠BAE|＝45°或∠CAD+∠BAE＝45°；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的情况如下图所示：

①如图1，当DE∥AB时，α＝45°；
②如图2，DE∥BC时，α＝105°；
③如图3，当DE∥AC时，α＝135°；
④如图4，当AE∥BC时，α＝150°；
⑤如图5，当AD∥BC时，α＝15°．

【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的判定和性质，旋转的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
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日期：2021/4/16 9:34:05；用户：郑夏蓉；邮箱：18818427601；学号：24762951