陕西省宝鸡市渭滨区2021届高三下学期高考适应性训练（一）数学（文）（含答案）

渭滨区高三适应性训练试题（一）数学（文）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，则复数（    ）

A． B． C． D．

3．设向量，且，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4．某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取名同学参加课外知识测试，测试共道题，每答对一题得分，答错得分.已知每名同学至少能答对道题，得分不少于分记为及格，不少于分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．该次课外知识测试及格率为

B．该次课外知识测试得满分的同学有名

C．该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数

D．若该校共有名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有名

5．已知函数，若，则的取值范围为（    ）

A．     B．   C．   D．

6．在直三棱柱中，，，，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

7．已知直线，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知是抛物线上一点，且到焦点的距离与到直线的距离之和为7，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．6.5

9．在中，，，则的面积的最大值为（   ）

A． B． C． D．

10．已知函数的部分图象如图所示，则关于函数下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．在区间上是增函数

D．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象

11．已知双曲线，斜率为的直线交双曲线于、，为坐标原点，为的中点，若的斜率为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．已知函数的定义域为，且满足：①对任意的，，都有；②是奇函数；③为偶函数.则（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数在处的切线方程是________.

14．如图，已知正方形的边长为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为______．

15．函数的最大值为_____.

16．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体（如图所示），余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为4，则这个半正多面体的外接球的半径为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

17．设数列满足，且，.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）设，求数列的前项和.

18．某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量的平均数（同组数据用区间中点值代表）；

（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为千克（），利润为元．

①求关于的函数表达式；

②根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率．

19．如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，,．

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积．

20．已知椭圆过点，.

（1）求的方程；

（2）经过，且斜率为的直线交椭圆于､两点(均异于点)，证明：直线与的斜率之和为定值.

21．已知函数（）.

（1）若函数在处的切线与轴平行，求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数.

选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.

（1）求曲线的直角坐标方程和点的直角坐标；

（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点为，求.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）当x∈R，0<y<1时，证明：.

渭滨区高三适应性训练试题（一）数学（文）参考答案

1．B

【详解】因为，所以.故选：B

2．B

【详解】由题意，复数，可得，所以.

故选：B.

3．A

【详解】因为，所以，因为，所以

所以 ，所以——故选：A．

4．C

【详解】由图知，及格率为，故A错误.该测试满分同学的百分比为，即有名，B错误.由图知，中位数为分，平均数为分，故C正确.由题意，名学生成绩能得优秀的同学有，故D错误.故选：C

5.   D

【详解】当时，，解得，

当时，，解得，

则的取值范围为,故选：D

6.【详解】由题意，球的半径为底面三角形内切圆的半径，

∵底面三角形的边长分别为6、8、10，∴底面三角形为直角三角形，

，又∵，，

∴该三棱柱内能放置的最大球半径为2，此时.

故选：A.

7.C

【详解】若，则，解得：或，

当时，，，直线，重合，；

充分性成立；当时，，，显然，必要性成立.

故“”是“”的充要条件.故选：C.

8．C

【详解】设的横坐标为，因为到焦点的距离与到直线的距离之和为7，所以，解得，从而.故选：C.

9．D

【详解】由余弦定理，，即，当且仅当时，等号成立，所以，所以，故选：D

10．C

【详解】将代入，则，，，即，，则，解得，由图可得，即，又，则可得，，，，则的图象不关于直线对称，故A错误；，的图象不关于点对称，故B错误；时，，可得单调递增，故C正确；将的图象向右平移个单位长度可以得到，故D错误.故选：C.

11．A

【详解】设点、，则，由题意，得，，两式相减，得，整理得，

所以，因此，双曲线的离心率为，故选：A.

12．D

【详解】由对任意的，，都有，

可得在上单调递增.由是奇函数，可得，从而①.由为偶函数，可得，从而②.由①②得，设，则，得，所以函数的周期为8，所以，，，因为，在上单调递增，所以，即，故选：D.

13．

【详解】解：由函数，求导可得，所以，

又，即函数在处的切线方程是，即，

故答案为：.

14．43

【详解】设阴影外部分的面积为，则由几何概型的概率公式得：，解得，

可以估计出阴影部分的面积约为．故答案为: 43

15．

【详解】

，因为，所以.

故答案为：

16．

【详解】

正四面体的棱长，且正四面体与半正多面体的外接球的球心相同，设为，为底面的中心，是边中点，是半正多面体的一个顶点

设，

在中，，，

中，中，

由余弦定理，

．故答案为：

17．【详解】（1）因为，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.

（2）因为是首项为，公比为3的等比数列.所以，

所以，所以，

所以，

所以.

18．【详解】(1)

50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265

故该蔬果日需求量的平均数为265千克．

(2) ① 当日需求量低于250千克时，利润=（元）；

当日需求量不低于250千克时，利润（元），

所以．

② 由，解得．

所以==++=0.7

故根据频率分布直方图估计利润不小于1750元的概率为0.7

19．【详解】

（1）四边形是菱形，，又面,面，

面,同理得，面，

面，且，

面面，又面，平面；

（2），

，，

在菱形中，，，，

面面，

取的中点，连接，

面，面，

由（1）知，面面， 点到面的距离为，

又点到面的距离为，连接，

则.

20．【详解】（1）因为椭圆过点，得，过点，得，，

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题设知直线的方程为，

与椭圆方程联立，整理得，

由，得，且，设，，，

则，，从而直线与的斜率之和

所以直线与的斜率之和为定值1.

21．

【详解】（1）因为函数在处的切线与轴平行，，

所以，即，求得，所以，（），令，则；令，则，

∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是.

（2）函数的零点个数可等价于函数与的交点个数.

设是函数上的一点，由得，，

∴在点处的切线方程为，

令则，∴过原点所作的函数的切线方程为，

故由图可知，故当时，函数没有零点；

当或时，函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.

22．【详解】（1）：，

所以，曲线的直角坐标方程是.点的极坐标为，化为直角坐标得

（2）将直线的参数方程代入中，

整理得，，此方程有不等实数根.

直线经过定点.设有向线段，与实数，对应，则，就是上述方程的两个实根，.已知是线段的中点，对应于参数取值，

所以.

23．【详解】（1）当时，，不合题意；

当时，，解得；

当时，恒成立，∴．

则不等式的解集为

（2）