河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题（word版 含答案）

河南省六市2021届高三第二次联考（二模）数学（文科）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定

B．甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定

C．乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定

D．乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定

4．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（    ）．

A．65米 B．74米 C．83米 D．92米

5．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： .则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=（　　）

A．7 B．35 C．48 D．63

6．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y 值相等， 则这样的x 值的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

7．由射线（）逆时针旋转到射线（）的位置所成角为，则

A． B． C． D．

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知定义域为R的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数x的取值范围是（    ）

A． B．或 C．或 D．

10．若，为正实数，且，则的最小值为（    ）．

A． B． C．2 D．4

11．设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．在四棱锥中，底面为正方形，，为等边三角形，线段的中点为.若，则此四校锥的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．已知，为单位向量，且，则向量与的夹角为______.

14．已知直线与圆相交于，两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为______

15．已知内角，，所对的边分别为，，，若，，，则面积为___________.

16．若，不等式恒成立，则的最大值为________.

三、解答题

17．设数列是公差大于零的等差数列，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求.

18．某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，（，单位：公斤），其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；若供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为元.

（1）求商店日利润关于需求量的函数表达式；

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.

①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；

②估计日利润在区间内的概率.

19．四面体中，平面平面，是边长为1的等边三角形，，且长为，设中点为，关于的对称点为，且､分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求四面体的体积.

20．已知点，直线，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线.

（1）求的方程；

（2）过点的直线与交于、两点，判断是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由.

21．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若极大值大于2，求的取值范围.·

22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线交于､两点，求面积的最大值.

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若存在，使得不等式的解集非空，求b的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

解不等式得到集合A，再和B求交集，即可求出结果.

【详解】

，

所以.

故选：B

2．C

【分析】

结合复数的四则运算，可求出复数，进而可求出对应的点，从而可得出答案.

【详解】

由已知得，

则，

所以复数对应的点为，位于第三象限.

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查复数的几何意义，考查学生对基础知识的掌握.

3．C

【分析】

根据茎叶图计算甲、乙两名运动员得分的平均数与方差，由此可得出结论.

【详解】

由茎叶图可知，甲运动员的平均分为，

方差为，

乙运动员的平均得分为，

方差为.

因此，乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定.

故选：C.

4．B

【分析】

设的高度为，在直角三角形中用表示出，由可求得得楼高．

【详解】

设的高度为，

则由已知可得，，，

所以，解得，

所以楼高（米）．

故选：B．

【点睛】

本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．

5．D

【分析】

由题意结合所给的等式归纳推理得到规律即可确定n的值.

【详解】

考查所给的等式的特征，归纳其性质有：

若等式左侧根号外面的数为，则根号内部的分子为，分母为，

据此归纳推理可知：.

本题选择D选项.

【点睛】

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．

6．C

【详解】

试题分析：该程序的作用是计算并输出分段函数的值．

又∵输入的值与输出的值相等

当时，，解得或

当时，，解得

当时，，解得（舍去）

故满足条件的值共有3个故选C．

考点：程序框图

7．A

【详解】

分析：

详解：设（）的倾斜角为，则

射线（）的倾斜角为，

∴

故选A

点睛：本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.

8．B

【分析】

根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是圆锥内部挖去了一个棱柱，利用体积公式，即可求解．

【详解】

由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为6的圆锥内部挖去了长，宽，高3的棱柱，

利用体积公式可知，几何体的体积为，

故选：B．

【点睛】

方法点睛：本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．

9．C

【分析】

由得到关于对称，再由在单调递减得到在R上单调递减，利用单调性可得答案.

【详解】

，则关于对称，

因为在单调递减，所以在R上单调递减，

所以，

由得，

所以，

所以，解得或.

故选：C．

【点睛】

思路点睛：利用函数的单调性和奇偶性比较函数值大小的思路：

（1）先根据奇偶性将自变量转变至同一单调区间；

（2）根据单调性比较同一单调区间内的函数值的大小关系；

（3）再结合奇偶性即可判断非同一单调区间的函数值大小，由此得到结果.

10．B

【分析】

由已知可得，再利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：由已知可得

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为．

故选：B

【点睛】

本题考查基本不等式及其应用，属于中档题．

11．B

【分析】

由及数量积的运算律可得，设，则，，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率．

【详解】

，共线，且，

，

，则，故有，

设，则，，由双曲线的定义可得

∴，整理得，解得：或，

若，则，，不满足，舍去；

若，，符合题意，则，，

此时，

在中，，

即，得到，即，

∴．

故选：B．

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查双曲线的定义、双曲线的离心率及直线与双曲线的位置关系的应用，其中涉及到平面向量的线性运算和余弦定理，求解出是本题的解题关键，属于中档题.

12．B

【分析】

取的中点，连接，，由题意可得，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P在底面的投影的距离，设正方形的中心为，过作底面的垂线，则四棱锥的外接球的球心在上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】

取的中点，连接，，

由底面为正方形，，为等边三角形，

又，

设正方形的对角线交于点，过作底面的投影，则由题意可得在上，

由射影定理得，而，

，，

过作底面的垂线，则四棱锥的外接球的球心在上，

设为四棱锥的外接球球心，半径为，则

过作于，则四边形为矩形，

（1）若四棱锥的外接球球心在四棱锥内部，

在中，，即

在中，，即

联立解得：，不符合题意，舍去；

（2）若四棱锥的外接球球心在四棱锥外部，

在中，，即

在中，，即

联立解得：，，

所以四棱锥的外接球的表面积为

故选：B

【点睛】

方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．

(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．

13．

【分析】

根据得到向量的数量积为，再根据的模长以及向量数量积的计算公式求解出，从而可求.

【详解】

因为，所以，所以，

所以，所以，所以，

故答案为：.

14．1或-1

【详解】

因为△ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，－a)到直线ax＋y－1＝0的距离

d＝rsin 45°＝，即，所以a＝±1.

15．

【分析】

利用正弦定理求得，结合余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果.

【详解】

，由正弦定理得：，即

由余弦定理得：，即，解得：，

又，，

，，

所以的面积为.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.

16．

【分析】

先设，对其求导，求出其最小值为，得到，再令，对其求导，导数的方法研究其单调性，得出最大值，即可得出结果.

【详解】

设，则，因为，

所以当时，，则函数单调递减；

当时，，则函数单调递增；

所以，

则，令，则；

由可得，；

所以当时，，则函数单调递增；

当时，，则函数单调递减；

所以，即的最大值为.

故答案为：

【点睛】

思路点睛：

导数的方法研究函数最值时，通常需要先对函数求导，解对应的不等式，求出单调区间，得出函数单调性，得出极值，进而可得出最值.

17．（1）；（2）1010.

【分析】

（1）设等差数列的公差为，由，，即可求得答案；

（2）因为，求出当为奇数时，，当为偶数时，，可得是以2为周期的周期数列，即可求得答案.

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，

，

又，

解得或，

，

，

.

（2）

当为奇数时，，

当为偶数时，，

故是以2为周期的周期数列，且，

.

18．(1) (2) ①698.8元 ②0.54

【分析】

（1）根据不同的需求量，整理出函数解析式；（2）①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.

【详解】

（1）商店的日利润关于需求量的函数表达式为：

化简得：

（2）①由频率分布直方图得：

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

海鲜需求量在区间的频率是；

这50天商店销售该海鲜日利润的平均数为：

（元）

②由于时，

显然在区间上单调递增，

，得；

，得；

日利润在区间内的概率即求海鲜需求量在区间的频率：

【点睛】

本题考查利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于能够熟练掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.

19．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）由平面平面，可得平面，，，再结三角形中位线定理可得，，从而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；

（2）由（1）可得平面，则到平面的距离等于到平面的距离，可得其距离为，由已知条件可求得，进而得，从而可求得答案

【详解】

（1）证明：因为平面平面，平面平面，，

所以平面，

因为平面，平面，所以，，

又，分别为，的中点，所以，

所以，同理可得，

因为，所以平面，因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）可知，，

因为平面，平面，

所以平面，

故到平面的距离，

即为到平面的距离，

由（1）可知，

即为到平面的距离，

取中点，则，，三点共线，

连结，，，，

所以，

因为为的中点，所以，

故.

【点睛】

关键点点睛：此题考查面面垂直的证明和几何体体积的求法，第（2）问解题的关键是将到平面的距离转化为到平面的距离，由为的中点，得，从而可求出其体积，考查推理能力和计算能力

20．（1）；（2），理由见解析.

【分析】

（1）设点，利用可得出关于、所满足的等式，化简可得曲线的方程；

（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在轴时，求出的值；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合两点间的距离公式计算出的值.综合可得出结论.

【详解】

（1）设点，由可得，化简得，

因此，曲线的方程为；

（2）在椭圆中，，.

当直线垂直于轴时，；

当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，设点、，

联立，消去并整理得，

，由韦达定理得，，

，

，，

同理可得，

所以，.

综上所述，（定值）.

【点睛】

本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了椭圆中的定值问题，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于难题.

21．（1）答案见解析；（2）.

【分析】

（1）先对函数求导得到，导函数的正负跟的取值有关系，所以要对的取值进行分类讨论，进而求出函数的单调递增区间.

由（1）知，和时，无极大值，不成立．再分析当时，极大值， 又，求解得a的取值范围；当时，极大值，得，求解得a的取值范围，最后两种情况取并集即可.

【详解】

（1）求导,

当时，令，，解得： ，

所以的单调递增区间为，递减区间为

当时，令，解得：或 ，

所以的单调递增区间为和，的单调减区间为

当时，上恒成立，所以的单调递增区间为；无递减区间

当时，令，解得：或，

所以的单调递增区间为和，的单调减区间为.

综上：当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为和；

当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为和；

（2）由（1）知，当和时，无极大值，不成立

当时，函数的极大值为，解得，

由于，所以．

当时，函数的极大值为，得，

令，则，，

在取得极大值，且.

因为，所以，而在单增，所以，解为，则.

综上.

【点睛】

方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

22．（1）的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）最大值是.

【分析】

（ 1）将参数方程利用代入法消去参数可得直线的普通方程，利用，即可得曲线的直角坐标方程；

（ 2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得，由参数的几何意义求出，再由到直线的距离求得三角形的高，进而求得的面积然后求最值即可.

【详解】

（1）将直线的参数方程(为参数，)中的参数消去，

得到直线的普通方程，为，

由曲线的极坐标方程，可得，又，，∴曲线的直角坐标方程为，即.

（2）把直线的参数方程代入到曲线的直角坐标方程得：，

设､对应的参数分别为､，则，，

由参数的几何意义知：

，

又点到直线的距离，

∴的面积：

，

当，即时等号成立，故的面积的最大值是.

【点睛】

关键点点睛：本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化，关键是能够根据参数的几何意义将已知弦长用韦达定理的形式表示，再利用点到直线的距离表示三角形的高.

23．（1）；（2）

【分析】

（1）将代入函数解析式，去绝对值化简即可求解；

（2）将函数解析式代入不等式，分离参数，并构造函数，根据不等式解集为非空，即可知，由绝对值三角不等式性质可变形为，结合，即可求得b的取值范围.

【详解】

（1）当时，函数，

解不等式化为，

即，

∴，解得，

∴不等式的解集为.

（2）由，

得，

设，

则不等式的解集非空，等价于；

由，

∴；

由题意知存在，使得上式成立；

而函数在上的最大值为，

∴；

即b的取值范围是.

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，分离参数并构造函数法求最值的应用，绝对值三角不等式性质及应用，属于中档题.