2021年高考数学真题模拟测试卷一含解析

这是一份2021年高考数学真题模拟测试卷一含解析，共50页。
 2021年高考数学之精选真题+模拟重组卷（新高考地区专用）
（一）历年真题精选
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·全国高考真题（理））已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】
由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
2．（2020·北京高考真题）已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】
(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
3．（2020·天津高考真题）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
4．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由得或
所以的定义域为
因为在上单调递增
所以在上单调递增
所以
故选：D
5．（2015·北京高考真题（理））汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【详解】
对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；
对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，
∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；
对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确
故选D．
6．（2016·全国高考真题（文））函数的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】
试题分析：因为，而，所以当时，取得最大值5，选B.
7．（2017·全国高考真题（文））如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
对于A选项，如下图所示，连接，

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：

在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，
、分别为、的中点，则，，
平面，平面，平面；
对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，

若平面，平面，平面平面，则，
则，
由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，
、分别为、的中点，则，且，
则，，
则，又，则，所以，与平面不平行；
故选：D.
8．（2014·浙江高考真题（文））如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角），若，，，则的最大值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由勾股定理知，，过点作交于，连结，
依题意，取最大值，点在点的左边，则，设，
因为，则，
在中，，
在中由勾股定理得，
整理得，
令，当时，
所以的最大值为，即的最大值是

二、 多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·海南高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；
故选：ABD
10．（2020·海南高考真题）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）

A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【详解】
由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；
由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;
由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;
11．（2020·海南高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）


A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
12．（2020·海南高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ）
A．若n=1，则H(X)=0
B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大
C．若，则H(X)随着n的增大而增大
D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)
【答案】AC
【详解】
对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.
对于B选项，若，则，，
所以，
当时，，
当时，，
两者相等，所以B选项错误.
对于C选项，若，则
，
则随着的增大而增大，所以C选项正确.
对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.
由于，所以，所以，
所以，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【详解】
，因为为奇函数，所以
故答案为：
14．（2015·陕西高考真题（理））设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为_____．
【答案】
【详解】
设.
对y＝ex求导得y′＝ex，令x＝0，得曲线y＝ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线上点P处的切线斜率为－1，由，得，则，所以P的坐标为(1，1)．
15．（2020·浙江高考真题）设，则________；________．
【答案】
【详解】
的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
16．（2019·江苏高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.
【答案】.
【详解】
当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2019·天津高考真题（文）） 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I），；
（II）
【详解】
（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）


，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
18．（2020·北京高考真题）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【详解】
选择条件①（Ⅰ）


（Ⅱ）
由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：
（Ⅱ）

19．（2020·海南高考真题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．

（1）证明：平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：
在正方形中，，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因为
所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，
设，则有，
因为QB=，所以有
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20．（2020·北京高考真题）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男生
女生
支持
不支持
支持
不支持
方案一
200人
400人
300人
100人
方案二
350人
250人
150人
250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；
（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；
（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）,（Ⅲ）
【详解】
（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，
该校女生支持方案一的概率为；
（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，
所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;
（Ⅲ）
21．（2020·浙江高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．

（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】
（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即

，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
法2：设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
22．（2020·天津高考真题）已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
【答案】（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：









单调递减
极小值
单调递增

所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则



. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.

（二）2021新高考模拟卷
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·全国高三专题练习（文））已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题，得，所以.
故选：B.
2．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
,
或，
.
故选：C.
3．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
令，即，解得
则
，
故选：C
4．（2020·霍邱县第二中学高二开学考试）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
由题可得：，，
曲线在处的切线的斜率为1，
曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，
，解得：；
故答案选D.
5．（2020·安徽金安区·六安一中高三月考（理））已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
，，，，
，则
故选：A
6．（2020·江苏高一课时练习）若方程在区间上有实根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题得，
，
则，
由，
得，
所以，，
得，，
因为有实根，
∴，
故选：B．
7．（2020·全国高二课时练习）在数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】B
【详解】
解：由，得，
即，
数列是以3为周期的周期数列，
．
故选：B．
8．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
长方体中，平面，平面，∴，
又平面，平面，∴，
∵，∴平面，而平面，∴，
是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．
设，则，解得，
∴外接球半径为，
表面积为．
故选：C．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·福建福州市·高三期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的面积为6
【答案】ABD
【详解】
因为，
所以，
所以，故A正确；
因为，利用正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
即
因为，所以，
所以，又，
所以，故B正确；
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
10．（2020·江苏连云港市·高三期中）已知是边长为2的等边三角形，是边上的点，且，是的中点，与交于点，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示：取中点，连接，

因为为中点，所以，又因为，
所以，所以易知，所以为中点，
A．因为为中点，所以成立，故正确；
B．因为为中点，所以，所以，故错误；
C．因为，所以，
所以，故正确；
D．因为，所以，所以，故错误，
故选：AC.
11．（2020·深圳市高级中学高二期中）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，、为上两点，且的长为定值，则下面四个值中是定值的是（ ）

A．点到平面的距离 B．直线与平面所成的角
C．三棱锥的体积 D．的面积
【答案】ACD
【详解】
平面就是平面，是确定的平面，因此点到平面的距离为定值，A正确；
平面即平面，而在直线上，，因此与平面平行，到平面的距离为定值，但运动时，的长度在变化，因此直线与平面所成的角也在变化，B错误；
点到直线的距离是确定，而的长度不变，因此为定值，又到平面的距离为定值，从而三棱锥的体积为定值，C正确；
，到的距离为定值，的长度不变，∴的面积为定值，D正确．
故选：ACD．
12．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线分别与函数和的图象交于点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
如图所示，由函数和函数互为反函数，
所以函数和的图象关于对称，
从而直线与函数和的图象的交点，也关于对称，所以，
又由在直线，可得，所以，
则，又由，所以等号不成立，
所以，所以A正确；
记，则，则，
又，又由函数在单调递增，
所以，所以B正确；
由，则，记，则，
当时，，则函数在上单调递增，
故，即，所以，所以C不正确；
由，可得，即，
又由，所以，所以D正确.
故选：ABD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·兴县友兰中学高一期中）“，”为假命题，则实数a的最小值为________.
【答案】1
【详解】
，”为假命题，即在[-1，3]上，恒成立，
分离参数得,
令,
当时取得最大值1，
的最小值为1，
故答案为:1.
14．（2020·上海闵行区·高三一模）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答)
【答案】
【详解】
根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，
共有种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有种，
故答案为：.
15．（2019·黄梅国际育才高级中学高二月考）下列说法：
①线性回归方程必过；
②命题“”的否定是“”
③相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）
本题可参考独立性检验临界值表：

【答案】①④
【解析】线性回归方程必过样本中心点，故①正确．
命题“”的否定是“” 故②错误
③相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；
④在一个列联表中，由计算得，则有的把握认为这两个变量间有关系，正确.
故答案为①④.
16．（2020·浙江高三其他模拟）设椭圆的右焦点为，则的坐标是______；若为椭圆的右顶点，为椭圆上的动点.则当最小时，点的横坐标是______
【答案】
【详解】
由椭圆方程知：右焦点的坐标为(1,0)
由题意，知：，，令，
则
令，则
当有，即单调递减；
当有，即单调递增，而有
∴当时，有最小值，即最小
故答案为：；
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·广东肇庆市·高三月考）已知数列的前n项和为，．
（1）求；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）； （2）.
【详解】
（1）由题意，数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，整理得，即，
当时，可得，解得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，则
设，数列的前项和分别为，
则
，
两式相减得，
所以，
又由，
所以数列的前n项和.
18．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考（理））如图，扇形ABC是一块半径为2千米，圆心角为的风景区，P点在弧BC上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直，街道PR与AC垂直，线段RQ表示第三条街道．

（1）如果P位于弧BC的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ、PR、RQ每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？
【答案】（1）（千米）；（2）（万元）.
【详解】
（1）由P位于弧的中点，在P位于的角平分线上，
则，
，
由，且，
∴为等边三角形，则，
三条街道的总长（千米） ；
（2）设，，
则，
，
，
，
由余弦定理可知：
，
，
则|，
设三条街道每年能产生的经济总效益W，
，
，
，
，
，，
当时，W取最大值，最大值为（万元）．
19．（2020·全国高二专题练习）现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪．根据猪的体重，将其分为三个成长阶段，如下表：
阶段
幼年期
成长期
成年期
体重



根据以往经验，两个养猪场内猪的体重均近似服从正态分布．由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪的监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年期的猪，甲、乙两个养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲，乙两个养猪场内一头成年期的猪能通过质检合格的概率分别为．
（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；
（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售--头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元记为甲，乙养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润，求随机变量的分布列，假设两个养猪场均能把成年期的猪售完，求两个养猪场的总利润的期望值．
（参考数据：若，则）
【答案】（1）幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头；（2）135450元.
【详解】
（1）设各阶段猪的数量分别为，
∵猪的体重近似服从正态分布，
，
（头）；

（头）；
，
（头）
∴甲、乙两个养猪场各有幼年期的猪215头，成长期的猪9540头，成年期的猪215头．
（2）随机变量的所有可能取值为900，300，．
，
的分布列为

900
300





（元），
由于两个养猪场均有215头成年期的猪，且两个养猪场各出售一头成年期的猪所得的总利润的期望为630元，则总利润的期望为（元）．
20．（2020·全国高三其他模拟）如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，，，， 、分别为、的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）若平面与底面所成的锐二面角为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）因为，，，
所以，
因为，所以，
因为底面，平面，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，
因为、分别为、的中点，
所以，，，，
易知平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，即，
不妨取，则，，即，
因为平面与底面所成的锐二面角为，
所以，
解得，即的长为.
21．（2020·上海嘉定区·高三一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若，求线段的长
（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由
【答案】（1）；（2）；（3）是定值，6.
【详解】
（1）解：由题意得，解得.
把点的坐标代入椭圆C的方程，得
由于，解得
所以所求的椭圆的标准方程为.
（2）解：因为，则得，即，
又因为，所以直线的方程为.
由解得(舍去)或，即得
所以
即线段的长为
（3）由题意知，直线的斜率存在，可设直线.
令，得，
由得，解得(舍去)或
所以，即
于是直线的方程为，即
令，得，即，
所以四边形的面积等于

即四边形的面积为定值.
22．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）已知函数.
（1）当时，求在点(0，)处的切线方程；
（2）当时，若的极大值点为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】
解：（1）当时，，
因为，所以，
因为，
所以在点(0，)处的切线方程为.
（2）的定义域为，
，
令，，
①当，即时，，故，
所以在上单调递增.此时无极大值.
②当，即当时，的对称轴，
因为，，
所以函数在区间有两个零点，，
不妨设，其中，.
所以当时，，，所以在上单调递增；
当时，，，所以在(，)上单调递减；
当时，，，所以在上单调递增.
此时函数有唯一的极大值点为，且，
又因为，所以，
所以，
记，
，
所以单调递增，，即.