2021年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（含答案）

这是一份2021年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了 本试卷分为第一部分和第二部分， 领到试卷和答题卡后，请用0，5×104千米2 B等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
注意事项：
1. 本试卷分为第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。全卷共8页，总分120分。考试时间120分钟。
2. 领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点(A或B)。
3. 请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4. 作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5. 考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共30分)
一、选择题(共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的)
1. －19的绝对值为
A. 19 B. －19
C. eq \f(1,19) D. －eq \f(1,19)
2. 如图， AC⊥BC，直线EF经过点C.若∠1＝35°，则∠2的大小为
A. 65°B. 55°
C. 45°D. 35°
3. 中华民族的母亲河黄河，发源于巴颜喀拉山脉北麓，注入渤海，流域面积约为750000千米2.将750000千米2用科学记数法表示为
A. 7.5×104千米2 B. 7.5×105千米2
C. 75×104千米2 D. 75×105千米2
4. 变量x，y的一些对应值如下表：
根据表格中的数据规律，当x＝－5时，y的值是
A. 75 B. －75
C. 125 D. －125
5. 计算：(2x－y)2＝
A. 4x2－4xy＋y2 B. 4x2－2xy＋y2
C. 4x2－y2 D. 4x2＋y2
6. 如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1, 点A、B、O都在格点上．若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′， A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为
A. 2eq \r(5) B. 5
C.eq \r(13) D.eq \r(10)

7. 在平面直角坐标系中，将直线y＝kx－6沿x轴向左平移3个单位后恰好经过原点，则k的值为
A. －2 B. 2 C. －3 D. 3
8. 如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB，垂足为E，DE与AC交于点F，则sin∠DFC的值为
A. eq \f(3,4) B. eq \f(4,3) C. eq \f(3,5) D. eq \f(4,5)
9. 如图，点A、B、C在⊙O上， BC∥OA，连接BO并延长， 交⊙O于点D，连接AC、 DC.若∠A＝25°，则∠D的大小为
A. 25° B．30 ° C. 40° D. 50°
10. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2＋2x－n与y＝－6x2－2x＋m－n关于x轴对称，则m，n的值为
A. m＝－6, n＝－3 B. m＝－6, n＝3
C. m＝6, n＝－3 D. m＝6, n＝3
第二部分(非选择题 共90分)
二、填空题(共4小题， 每小题3分， 计12分)
11. 计算： eq \r(3)×eq \r(12)－(π－1)0＝____________．
12. 如图， P为正五边形ABCDE的边AE上一点， 过点P作PQ∥BC，交DE于点Q，则∠EPQ的度数为____________．

13. 如图， 在Rt△OAB中， ∠OAB＝90°， OA＝6, AB＝4, 边OA在x轴上．若双曲线y＝eq \f(k,x)经过边OB上一点D(4，m), 并与边AB交于点E, 则点E的坐标为____________．
14. 如图， 在矩形ABCD中， AB＝4, BC＝8.延长BA至E，使AE＝AB, 以AE为边向右侧作正方形AEFG, O为正方形AEFG的中心．若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N, 则线段MN的长为____________．
三、解答题(共11小题，计78分．解答应写出过程)
15. (本题满分5分)
解不等式组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3＜2，,3（x－2）≤5x＋2.))
16. (本题满分5分)
化简： eq \f(2a－1,a2－4)÷(1－eq \f(3－a,a＋2))．
17. (本题满分5分)
如图，已知△ABC, M是边BC延长线上一定点．请用尺规作图法，在边AC的延长线上求作一点P，使∠CPM＝∠B.(保留作图痕迹，不写作法)
18. (本题满分5分)
如图， 在△ABC中， AB＝AC, D是BA延长线上一点， E是AC的中点，连接DE并延长， 交BC于点M, ∠DAC的平分线交DM于点F.
求证： AF＝CM.
19. (本题满分7分)
在“停课不停学”期间，某中学要求学生合理安排学习和生活，主动做一些力所能及的家务劳动，并建议同学们加强体育锻炼，坚持做“仰卧起坐”等运动项目．开学后，七年级甲、乙两班班主任想了解学生做“仰卧起坐”的情况，他们分别在各自班中随机抽取了5名女生和5名男生，测试了这些学生一分钟所做“仰卧起坐”的个数，测试结果统计如下：
请根据上图中提供的信息， 回答下列问题：
(1)测得的甲班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的中位数落在哪个组？
(2)求测得的乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数；
(3)请估计这两个班中哪个班的学生“仰卧起坐”做得更好一些？并说明理由．
20．(本题满分7分)
小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°.已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM.小宁眼睛距地面的高度不变，即EF＝MN.他们测得BD＝4.5米，EM＝1.5米．求大树AB比小树CD高多少米？
21．(本题满分7分)
小蕾家与外婆家相距270 km，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A服务区，爸爸驾车到A服务区接小蕾回家．两人在A服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60 km/h的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y(km)和时间x(h)之间的关系大致如图所示．
(1)求小蕾从外婆家到A服务区的过程中， y与x之间的函数关系式；
(2)小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？
22．(本题满分7分)
从一副扑克牌中取出红桃J、Q、K和黑桃J、Q、K这两种花色的六张扑克牌．
(1)将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K的概率；
(2)将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上，洗匀，然后从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J一张是Q的概率．
23．(本题满分8分)
如图， 直线AM与⊙O相切于点A, 弦BC∥AM, 连接BO并延长， 交⊙O于点E, 交AM于点F, 连接CE并延长， 交AM于点D.
(1)求证： CE∥OA；
(2)若⊙O的半径R＝13, BC＝24, 求AF的长．
24．(本题满分10分)
已知抛物线L: y＝－x2＋bx＋c过点(－3，3)和(1，－5)，与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)．
(1)求抛物线L的表达式；
(2)若点P在抛物线L上， 点E、F在抛物线L的对称轴上， D是抛物线L的顶点， 要使△PEF∽△DAB(P的对应点是D), 且PE ∶DA＝1∶4.求满足条件的点P的坐标．
25．(本题满分12分)
问题提出
(1)如图①，等边△ABC有________条对称轴．
问题探究
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BC＝15.等边△EFP的顶点E、F分别在BA、BC上，且BE＝BF＝2.连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′∥PE交AB于点E′，作P′F′∥PF交BC于点F′，连接E′F′，求S△P′E′F′.
问题解决
(3)如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60 m, 等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD.现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积(S△PAB＋S△PCD)的最小值．
2021年陕西省初中学业水平考试数学（答案）
1. A 2. B 3. B 4. D 5. A 6. C 7. B 8. D 9. C 10. D
11. 5 12. 36° 13. (6，eq \f(16,9)) 14. 4eq \r(5)
15. 解：由x－3＜2, 得x＜5.(2分)
由3(x－2)≤5x＋2, 得 x≥－4.(4分)
∴原不等式组的解集为－4≤x＜5.(5分)
16. 解：原式＝eq \f(2a－1,a2－4)÷eq \f(a＋2－（3－a）,a＋2)(1分)
＝eq \f(2a－1,a2－4)÷eq \f(2a－1,a＋2)(2分)
＝eq \f(2a－1,（a＋2）（a－2）)·eq \f(a＋2,2a－1)(4分)
＝eq \f(1,a－2) .(5分)
17. 解：如图，点P即为所求．
(第17题答案图)
(5分)
18．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠DAC＝∠B＋∠C＝2∠C.
∵AF是∠DAC的平分线， ∴∠C＝∠FAC.(3分)
∵点E为AC中点，∴AE＝EC.
∵∠AEF＝∠CEM，∴△AEF≌△CEM.(4分)
∴AF＝CM.(5分)
19. 解：(1)中位数落在C组．(2分)
(2)x＝eq \f(22×1＋30×3＋35×4＋37×1＋41×1,10)＝33(个)．
∴测得的乙班这10名学生所做“仰卧起坐”个数的平均数为33个．(5分)
(3)估计甲班学生做“仰卧起坐”更好一些．理由：在统计数据中，甲班各组均按最少个数计算，得平均数为33.5个，高于乙班所测个数的平均数．(言之有理即可)(7分)
20. 解：如图，过点C作BM的平行线，分别与AB、AN交于点P、Q.
NF的延长线分别与CD、AB交于点G、H.
∵AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，EF＝MN，
∴四边形BDGH和四边形EMNF均为矩形．
∴HG＝BD＝4.5, FN＝EM＝1.5.(3分)
(第20题答案图)
由题意可知，四边形PHGC为矩形，
四边形CFNQ为平行四边形．
∴∠AQP＝∠ANH＝30°，
PC＝HG＝4.5,
CQ＝FN＝1.5.(5分)
在Rt△APQ中，
AP＝PQtan30°＝6×eq \f(\r(3),3)＝2eq \r(3) .
∴大树AB比小树CD高2eq \r(3) m .(7分)
21. 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．
由题意， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(270＝b，
180＝k＋b.))(2分)
解之， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－90，
b＝270.))
∴y＝－90x＋270.(4分)
(2)当x＝2时， y＝－90×2＋270＝90.
2．5＋eq \f(90,60)＝4.
∴小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．(7分)
22. 解：(1)P(这张牌是红桃K)＝eq \f(1,6) .(3分)
(2)列表如下：
(5分)
由上表可知，一共有9种等可能结果，其中一张是J一张是Q的结果有2种．
∴P(一张是J一张是Q)＝eq \f(2,9).(7分)
23. (1)证明：如图，延长AO交BC于点N.
(第23题答案图)
∵BE是直径，∴∠C＝90°.
∵AM与⊙O相切于点A，
∴∠OAF＝90°.(2分)
∵BC∥AM，∴∠ANC＝90°.
∴CE∥OA.(4分)
(2)解：如图， ∵ON⊥BC，BC＝24，∴BN＝12.
在Rt△BON中， ON＝eq \r(BO2－BN2)＝5.(6分)
∵BC∥AM，∴△BON∽△FOA.
∴eq \f(NB,AF)＝eq \f(ON,OA).∴AF＝eq \f(156,5).(8分)
24. 解：(1)由题意， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝－9－3b＋c，,－5＝－1＋b＋c.)) 解之， 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4，,c＝0.))(2分)
∴抛物线L的表达式为y＝－x2－4x.(3分)
(2)如图，由y＝－x2－4x，可得D(－2，4)．(4分)
(第24题答案图)
设P(m，n)．
①当P在对称轴右侧时，
∵△PEF∽△DAB, 且PE ∶DA＝1∶4，
∴EF边上的高h′与AB边上的高h之比也为1∶4.
∵h＝4, ∴h′＝1.(5分)
∴m－(－2)＝1.
∴m＝－1.
∴n＝3.∴P(－1，3)．(7分)
②当点P在对称轴左侧时，则－2－m＝1.
∴m＝－3.∴P(－3，3)．
∴满足条件的点P的坐标为(－1，3)或(－3，3)．(10分)
25. 解：(1)3；(3分)
(2)∵△PEF为等边三角形，
由题意知， △P′E′F′与△PEF是位似三角形．∴△P′E′F′为等边三角形．
∵BE＝BF，∠ABC＝60°，∴△BEF为等边三角形．
∴四边形BFPE为菱形．∴∠ABP′＝30°.(5分)
∵BE＝2，∴BP＝2eq \r(3).
在Rt△ABC中，AB＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(15,2).
在Rt△ABP′中， BP′＝eq \f(AB,cs30°)＝5eq \r(3).
由位似性质，得eq \f(BP,BP′)＝eq \f(EF,E′F′).∴E′F′＝5.
∴S△P′E′F′＝eq \f(25,4)eq \r(3)；(7分)
(3)如图，过点C作CE∥DB，交⊙O于点E，连接ED、EP、EA、EB、AD，
(第25题答案图)
则S△PDE＝S△PDC, ∠ACE＝∠CPD＝∠ACD＝60°.
∴∠ADE＝60°， AD＝AE.
∴△ADE为等边三角形．∴∠DBE＝60°.
∵∠APB＝60°，∴BE∥AC.
∴S△PAE＝S△PAB .
∴S△PAB＋S△PDC＝S△PDE＋S△PAE .
∵△AED为⊙O的内接正三角形，∴AD＝30eq \r(3).
∴S△ADE＝675eq \r(3).(10分)
∴要使S△PDE＋S△PAE最小，只需S△PAD最大．
又知∠DPA＝120°， DA为定值．
连接OA、OD.
∵∠DPA＝120°，∠AOD＝120°，
∴O在△ADP的外接圆的eq \(AD,\s\up8(︵))上．
∴当PA＝PD时， S△APD最大，此时， 点P与圆心O重合．
作ON⊥AD，垂足为N.∴ON＝15.
∴S△PDA≤S△AOD＝225eq \r(3).
∴S△PDC＋S△PAB≥675eq \r(3)－225eq \r(3)＝450eq \r(3) .
∴花卉种植面积的最小值为450eq \r(3) m2.(12分)
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
－8
－1
0
1
8
27
…

红桃
黑桃
J
Q
K
J
(J，J)
(J，Q)
(J，K)
Q
(Q，J)
(Q，Q)
(Q，K)
K
(K，J)
(K，Q)
(K，K)