2018年高考考点完全题数学（理）数学思想练习题 选考内容68 word版含答案

考点测试68　坐标系与参数方程

一、基础小题

1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(　　)

A．线段   B．双曲线的一支

C．圆弧   D．射线

答案　A

解析　化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈，故曲线为线段．故选A.

2．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)

A．30°  B．60°  C．90°  D．135°

答案　D

解析　将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°，故选D.

3．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是(　　)

A．ρsinθ＝2   B．ρcosθ＝2

C．ρsin＝2   D．ρcos＝2

答案　B

解析　ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点化为直角坐标是(2,2)，过(2,2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝2.故选B.

4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．

答案　ρcosθ＝3

解析　把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3.

5．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．

答案　4

解析　分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，半弦长为＝2，所以弦长为4.

6．在极坐标系中，点A的坐标为，曲线C的方程为ρ＝2cosθ，则OA(O为极点)所在直线被曲线C所截弦的长度为________．

答案　

解析　由题意知直线OA的直角坐标方程为x－y＝0，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，易知曲线C为圆，且圆心C到直线OA的距离为，故直线OA被曲线C所截弦的长度为2 ＝.

二、高考小题

7．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)

A．ρ＝，0≤θ≤   B．ρ＝，0≤θ≤

C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤   D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤

答案　A

解析　∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.

8．在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　2

解析　直线与圆的直角坐标方程分别为x－y－1＝0和x2＋y2＝2x，则该圆的圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，圆心(1,0)到直线的距离d＝＝0，所以AB为该圆的直径，所以|AB|＝2.

9．在极坐标系中，点到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6的距离为________．

答案　1

解析　由极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标系中点对应的直角坐标为(1，)，直线ρ(cosθ＋sinθ)＝6对应的直角坐标方程为x＋y＝6，由点到直线的距离公式可得所求距离为＝1.

10．已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．

答案　

解析　将直线l的极坐标方程2ρsin＝化为直角坐标方程为x－y＋1＝0，由A得A点的直角坐标为(2，－2)，从而点A到直线l的距离d＝＝.

11．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________.

答案　2

解析　直线l的直角坐标方程为y－3x＝0，曲线C的普通方程为y2－x2＝4.

由得x2＝，即x＝±，

则|AB|＝|xA－xB|＝×＝2.

12．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．

答案　(2，π)

解析　直线l的普通方程为y＝x＋2，曲线C的直角坐标方程为x2－y2＝4(x≤－2)，故直线l与曲线C的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．

三、模拟小题

13．下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是(　　)

A．ρcosθ＝1   B．ρsinθ＝1

C．ρcosθ＝2   D．ρsinθ＝2

答案　B

解析　由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，半径为1.与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B.

14．已知圆C的参数方程为

(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)

A.  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1,1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－.

一、高考大题

1．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

解　(1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)，因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝，

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.

2．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．

解　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.

将直线l的参数方程代入x2＋＝1，

得2＋＝1，即7t2＋16t＝0，

解得t1＝0，t2＝－.

所以AB＝|t1－t2|＝.

3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解　(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，或a＝1.

a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，

所以a＝1.

4．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝，

由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.

所以l的斜率为或－.

二、模拟大题

5．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin＝t(t为参数)．

(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；

(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．

解　(1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝2cos2α＋2sinαcosα＋1，

所以曲线M可化为y＝x2－1，x∈，

由ρsin＝t，得ρsinθ＋ρcosθ＝t，

所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.

(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点(2,3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，

联立得x2＋x－1－t＝0，

由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.

综上可求得t的取值范围是－≤t≤5.

6．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．

解　(1)因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6，

所以x2＋y2＝4x＋4y－6，

x2＋y2－4x－4y＋6＝0，

即(x－2)2＋(y－2)2＝2为圆C的直角坐标方程．

所求的圆C的参数方程为(θ为参数)．

(2)由(1)可得x＋y＝4＋(sinθ＋cosθ)

＝4＋2sin.

当θ＝，即点P的直角坐标为(3,3)时，x＋y取得最大值，为6.

7．在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：(t为参数)与曲线C：

(θ为参数)相交于不同的两点A，B.

(1)若α＝，求线段AB的中点M的坐标；

(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．

解　(1)将曲线C的参数方程化为普通方程是＋y2＝1.

当α＝时，设点M对应的参数为t0.

直线l的方程为(t为参数)，

代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，

设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.

则t0＝＝－，所以点M的坐标为.

(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，

得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0，

因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，

所以＝7，得tan2α＝.

由于Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0，故tanα＝.

所以直线l的斜率为.

8．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数，m是常数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝asin，点M的极坐标为，且点M在曲线C上．

(1)求a的值及曲线C的直角坐标方程；

(2)若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．

解　(1)将点M的极坐标代入方程

ρ＝asin，得4＝asin，∴a＝4.

由ρ＝4sin得ρ＝2sinθ＋2cosθ，

ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，

将代入化简得x2＋y2－2x－2y＝0，

∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，

(2)由x2＋y2－2x－2y＝0配方得(x－)2＋(y－1)2＝4，

∴曲线C是圆，且圆心坐标为(，1)．

易知点M在圆C上，∴由点M关于直线l的对称点N在圆C上，得直线l经过圆C的圆心，

∴∴m＝2，

这时直线l的参数方程是

消去参数t得x＋y－2＝0，

易知点M的直角坐标为(2，2)，

∴点M到直线l的距离为，

∴|MN|＝2.

9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线C2的参数方程为(β为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；

(2)已知射线l1：θ＝α，将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ＝α－，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|·|OQ|的最大值．

解　(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，

所以C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，所以C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

(2)设点P的极坐标为(ρ1，α)，即ρ1＝4cosα，

点Q的极坐标为，即ρ2＝4sin.

则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin

＝16cosα·

＝8sin－4.

∵α∈，∴2α－∈，

当2α－＝，即α＝时，|OP|·|OQ|取得最大值，最大值为4.