2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（文）试题（解析版）

2020届江西省红色七校高三第一次联考数学（文）试题

一、单选题

1．设全集且则(   )

A． B．(2,3) C． D．(-1,4)

【答案】C

【解析】解不等式分别求出集合，然后再求出即可得到答案．

【详解】

由题意得，，

∴=，

∴．

故选C．

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，解题的关键是正确求出集合，属于基础题．

2．已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据复数的除法运算以及共轭复数的概念即可求解.

【详解】

由，则，

所以数的共轭复数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查复数的除法运算以及复数的共轭复数概念，属于基础题.

3．在等差数列中，前项和满足，则的值是（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】D

【解析】根据等差数列中与的关系求出，再由等差数列的性质：

若，则，即可求解.

【详解】

由，则，

即，所以，

故选：D

【点睛】

本题主要考查等差数列的前项和以及等差数列的性质，需熟记性质，属于基础题.

4．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了座城市作实验基地，这座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为，，…，，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（    ）

A．，，…，的标准差 B．，，…，的平均数

C．，，…，的最大值 D．，，…，的中位数

【答案】A

【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项.

【详解】

表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定

故选：A

【点睛】

本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.

5．已知角的终边经过点，将角的终边顺时针旋转后得到角，则（    ）

A． B．5 C． D．-5

【答案】B

【解析】利用任意角的三角函数的定义求得，再由，展开两角差的正切即可求解.

【详解】

由角的终边经过点，可得，

的终边顺时针旋转后得到角，

，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及两角差的正切展开式，需熟记定义和公式，属于基础题.

6．设向量，向量与向量方向相反，且，则向量的坐标为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，利用求出，从而可得结果.

【详解】

因为向量与向量方向相反，

所以可设，

，，

，故选D.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算以及向量模的坐标表示，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数的单调性即可比较出大小.

【详解】

由，故；

又因为，即，故；

 ，所以，

故选：C

【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性以及对数的运算性质，属于基础题.

8．已知命题：，；命题：，，则下列命题为真命题的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为时，，，故不成立，所以命题为假命题；

当时，，故命题为真命题，所以为真命题.故选D.

9．实数满足约束条件，则的最小值是（    ）

A．-3 B．-5 C．3 D．5

【答案】A

【解析】首先作出约束条件的可行域，再根据目标函数表示为、两点构成直线的斜率即可求解.

【详解】

作出约束条件的可行域，如图：

表示为、两点构成直线的斜率，显然在点处的斜率最小，

联立 解得，即，

所以

故选：A

【点睛】

本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出约束条件的可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.

10．一个四棱锥的三视图如图所示，其正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则该几何体的表面积为(    )

A．4 B．2 C．2＋2 D．6

【答案】C

【解析】首先把几何体进行转换，进一步求出几何体的高，最后求出侧视图的面积．

【详解】

根据几何体的三视图，转换为几何体为：

由于正视图和侧视图为全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，

故底面的对角线长为2.

所以四棱锥的高为×2＝1，

故四棱锥的侧面高为h＝＝，

则四棱锥的表面积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式和面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

11．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象(  )

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】B

【解析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再根据函数的图象变换规律，诱导公式，得出结论．

【详解】

根据已知函数

其中，的图象过点，，

可得，，

解得：．

再根据五点法作图可得，

可得：，

可得函数解析式为：

故把的图象向左平移个单位长度，

可得的图象，

故选B．

【点睛】

本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，函数的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．

12．设函数，若函数存在两个零点，(<)，则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】画出的图像，根据有两个零点，求得的取值范围.用表示，代入所求表达式，由此构造函数，利用的导数求得其单调区间，由此求得其取值范围.

【详解】

画出的图像如下图所示，令，得，即和有两个不同的交点.根据图像可知.由得，所以，构造函数.由于，，所以时递增，因为，所以在时递增，所以，故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数零点问题的求解策略，考查指数式和对数式运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题

13．执行下面的程序框图，则输出的的值是________．

【答案】30

【解析】根据框图的流程模拟运行的结果，发现的值为，根据条件确定跳出循环的值，计算输出的值.

【详解】

由程序框图可知：

第一次循环;

第二次循环;

第三次循环;

第四次循环;

第四次循环跳出循环，

输出的的值为30.

故答案为：30

【点睛】

本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟程序运行的结果是解答此类问题的常用方法.

14．已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名，有，，三位学生对其排名猜测如下：：甲第一名，乙第二名；：丙第一名；甲第二名；：乙第一名，甲第三名.成绩公布后得知，，，三人都恰好猜对了一半，则第一名是__________．

【答案】丙

【解析】根据假设分析，现假设A中的说法中“甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”，进而确定B的说法，即可得到答案.

【详解】

由题意，假设A的说法中“甲第一名”正确，则B的说法中“丙第一名”和C说法中“乙第一名”是错误，这与B中“甲第二名”和C中“甲第三名”是矛盾的，所以是错误的；

所以A中， “甲是第一名是错误的，乙是第二名是正确的”；

又由B中，假设“丙是第一名是错误的，甲是第二名是正确的”，这与A中，“甲是第一名是错误的，乙是第二名”是矛盾的，

所以B中，假设“丙是第一名是正确的，甲是第二名是错误的”，故第一名为丙.

【点睛】

本题主要考查了推理与证明的应用，其中解答中通过假设分析，找到预测说法中的矛盾是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

15．已知点是双曲线左支上一点,是双曲线的右焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段的中垂线,则该双曲线的离心率是__________．

【答案】

【解析】由题意可设直线的方程为，设直线与渐近线的交点为，联立解得，即.

∵是的中点

∴

∵点在双曲线上

∴，即

∴

故答案为.

点睛：解决双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

16．若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数.已知函数为函数的“友导”函数，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】首先求出的导数，由题意可知有解即可，

再采用分离参数法可得，令，求的最值即可求得的取值范围.

【详解】

由可得，

函数为函数的“友导”函数，

有解，即有解，

令，则，

令，则，

令，则，

令，则，

 所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查了函数的新定义，考查了导函数在研究函数单调性中的应用以及分离参数法求参数的取值范围，综合性比较强.

三、解答题

17．在中，对应的边为.已知.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若，求和的值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（Ⅱ）根据余弦定理求，代入条件求得，解得，最后根据两角和余弦定理得结果.

【详解】

（Ⅰ）解：由条件，得，又由，得.

由，得，故.    

（Ⅱ）解：在中，由余弦定理及，

有，故.

由得，因为，故.

因此，.

所以.

【点睛】

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

18．设数列的前项和为，且，为等比数列，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）

【解析】（1）由与的关系可求，由等比数列的通项公式可求；

（2）由（1）的通项公式，利用裂项求和法即可求解.

【详解】

（1）当时，，

当时，，

此式对也成立..

从而，.

又因为为等比数列，.

（2）由（1）可知，，

所以

【点睛】

本题主要考查了与的关系，等比数列的通项公式以及裂项求和法，考查了数列中的基本知识，需熟记公式，属于基础题.

19．2014年7月18日15时，超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计，本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元，适逢暑假，小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失，作出如下频率分布直方图：

（1）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如上表，在表格空白处填写正确数字，并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

（2）台风造成了小区多户居民门窗损坏，若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修，李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区，张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区，求李师傅比张师傅早到小区的概率.

附：临界值表

参考公式：，.

【答案】（1）有把握；（2）.

【解析】(1)由直方图得到列联表，利用公式求得的值，与临界值比较即可作出判定，得到结论.(2)设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，得到试验的全部结果所构成的区域及事件表示“李师傅比张师傅早到小区”， 根据几何概型，利用面积比可求，则李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，利用二项分布的期望公式可得结果.

【详解】

(1)如下表：

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．

(2)

设李师傅、张师傅到小区的时间分别为，则)可以看成平面中的点．试验的全部结果所构成的区域为，则SΩ＝1，事件A表示“李师傅比张师傅早到小区”，所构成的区域为A＝{(x，y)|y≥x，7≤x≤8,7.5≤y≤8.5}，

即图中的阴影部分面积为，所以，

李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列为二项分布，.

【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用，以及几何概型概率的计算问题，以及二项分布的数学期望公式的应用，属于中档试题. “求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式()求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．

20．如图，在正三棱柱中，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求三棱锥的体积．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，由三角形性质得且，结合已知得到且，则四边形为平行四边形，可得，再由线面平行的判定可得平面；

（Ⅱ）设为的中点，由已知得到平面，然后利用等积法求三棱锥的体积．

【详解】

（Ⅰ）证明：取的中点，连结，，

在中，∵、分别为，的中点，∴且，

又为的中点，，∴且，

即且，

故四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，

∴平面；

（Ⅱ）解：设为的中点，

∵棱柱底面是正三角形，，∴有，

又因为为正三角形，且为的中点，所以,

又由正三棱柱，所以平面平面，

由面面垂直的性质定理可得平面，即三棱锥的高为，

所以．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明，以及利用等体积法七届多面体的体积问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及合理利用等体积法求解体积是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．

21．已知点在椭圆上，，是长轴的两个端点，且．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，若点总在以为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）由题意可得，又点在椭圆上，即，即可求出椭圆方程，

（Ⅱ）联立方程组，利用根的判别式、向量的数量积，即可直线斜率的取值范围．

【详解】

（Ⅰ）由已知可得，解得，

又点在椭圆上，即，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（Ⅱ）设，当直线垂直于轴时，点在以为直径的圆上，不合题意，

因此设直线的方程为，

代入椭圆方程消去得，

则有，即，，

且判别式，即，又点总在以为直径的圆内，

所以必有，即有，

将，代入得，解得，

所以满足条件的直线的斜率的取值范围是．

【点睛】

本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程的方程组，合理利用判别式，以及向量的数量积进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．

22．已知函数， 在点处的切线与轴平行.

（1）求的单调区间；

（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.

【答案】(1)增区间 减区间 (2)

【解析】试题分析：先求出函数的导数，令导函数大于，解出即可；

（2）构造新函数，求导，分类讨论的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果

解析：（1）由已知可得的定义域为

（2）不等式可化为，

，不适合题意.

适合题意.

适合题意.

综上，的取值范围是

点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围