2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（文）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试

高三数学(文科)试题

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．设复数满足，则在复平面内对应的点在（）

A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限

3．命题“任意，”的否定是(   )

A．存在， B．存在，

C．任意， D．任意，

4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

7816    6572    0802    6314    0702    4369    9728    0198

3204    9234    4935    8200    3623    4869    6938    7481

A．08    B．07    C．02    D．01

5．若直线，被圆截得弦长为4，则的最小值是（    ）．

A．9 B．4 C．D．

6．若函数 满足：，且都有，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（    ）

A． B． C． D．

8．数列{an}满足a1=1，对任意n∈N*都有an+1=an+n+1，则=（　）

A． B． C． D．

9．函数的图象大致是（    ）

A．B．C．D．

10．向量，，，则向量与的夹角为（  ）

A． B． 

C． D．

11．执行如右的程序框图，则输出的是（）

A．B．

C．D．

12．已知函数满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B．C． D．

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将正确答案填写在答题纸相应位置.）

13．若是等比数列，且公比，，则________.

14．已知实数、满足条件则的最大值为________.

15．已知在中，角，，的对边分别为，，，，，的面积等于，则外接圆的面积为________.

16．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2（|F1F2|＝2c），以坐标原点O为圆心，以c为半径作圆A，圆A与双曲线C的一个交点为P，若三角形F1PF2的面积为a2，则C的离心率为________.

三、解答题：(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

（一）必考题：共60分.

17．（12分）已知函数

（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；

（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值.

18．（12分）某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．

（1）求样本容量和频率分布直方图中的x，y的值；

（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；

（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．

19．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是平行四边形,四边形是矩形.

(1)求证：平面；

(2)若，，，，求三棱锥的体积.

20．（12分）设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点，求证：直线过定点，并求出定点的坐标．

21．（12分）已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.

22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点 ，直线和曲线交于两点，求的值．

23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设 ，且当时，都有，求的取值范围．

一.    选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分.）

二.填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分.）

13.      14.15.16.

三.解答题（本大题包括6小题，共70分.）

17. 解：解：（1）

则函数的周期;   函数的增区间………6分

（2）,令可得换元可得，对称轴为……………12分

18．解：（1）由题意可知，样本容量n==50，

，x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030；   ………………4分

（2）设本次竞赛学生成绩的中位数为m，平均分为，

则[0.016+0.03]×10+（m﹣70）×0.040 =0.5，解得，      ………………8分

（3）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有5人，记这5人分别为a1，a2，a3，a4，a5，

分数在[90，100]内的学生有2人，记这2人分别为b1，b2．抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为:（a1，a2）,（a1，a3），（a1，a4）,（a1，a5）,（a1，b1）,（a1，b2），（a2，a3）,（a2，a4）,（a2，a5）,（a2，b1），（a2，b2）,（a3，a4）,（a3，a5）,（a3，b1）,（a3，b2）,（a4，a5）,（a4，b1）,（a4，b2）,（a5，b1）,（a5，b2）,（b1，b2）．

其中2名同学的分数都不在[90，100]内的情况有10种，分别为:（a1，a2）,（a1，a3）,（a1，a4）,（a1，a5）,（a2，a3）,（a2，a4）,（a2，a5）,（a3，a4）,（a3，a5）,（a4，a5）．

∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率.  …………12分

19. 解：（1）四边形为平行四边形

又平面，平面平面

四边形为矩形又平面，平面

平面平面，

平面平面又平面平面……………6分

（2）设，连接

四边形为平行四边形为中点

在中，由余弦定理得：

又，平面，平面

点到平面的距离为

，

……………………12分

20. 解：（1）因为，则

故，所以椭圆的方程为………………………4分

（2）设，，联立，消去整理可得所以，，

所以

因为，所以

所以

整理可得解得或（舍去）所以直线过定点………12分

21.解：（1）∵依题意可知：函数的定义域为，∴，

当时，在恒成立，所以在上单调递增.

当时，由得；由得；

综上可得当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减；在上单调递增.………………6分

（2）因为，由（1）知，函数在上单调递增，

不妨设，则，可化为，

设，则，所以为上的减函数，

即在上恒成立，等价于在上恒成立，

设，所以，

因，所以，所以函数在上是增函数，

所以（当且仅当时等号成立）所以．………12分

22.解:（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.因为，

所以.所以直线的直角坐标方程为.…5分

（2）由题得点在直线l上，直线l的参数方程为，

代入椭圆的方程得，所以，

所以.…………………10分

23.解：（1）当 时，，

故不等式 可化为：或 或，

解得：或， 所求解集为或．…………5分

（2）（2）当 时，由有：。

 不等式 可变形为：

故对恒成立，即 ，解得

而，故．的取值范围是.……………………10分