2020届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三12月月考数学（文）试题

2017级高三学年12月月考   

数学文科试题

一、选择题：共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.

1、若全集，集合，，则如图阴影部分所表示的集合为
A. B.  C. D.

2、已知（为虚数单位）,则实数等于（   ）  
A.      B.        C.       D.

3、已知函数，则（  ）

A．是奇函数，且在 R 上是增函数       B．是偶函数，且在 R 上是增函数

C．是奇函数，且在 R 上是减函数       D．是偶函数，且在 R 上是减函数

4、是单位向量，“”是“的夹角为钝角”的（   ）
A.充分不必要条件   B.必要不充分条件     C.充分必要条件    D.既不充分也不必要条件

5、已知圆的圆心在坐标轴上，且经过点及椭圆的两个顶点，则该圆的标准方程为（  ）

A.  B.   C.  D.

6、古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，己知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少?”根据上述己知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（  ）

A．6天   B．7天   C．8天   D．9天

7、过点的直线，将圆形区域分两部分，使.这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（   ）

A.     B.        C.       D.

8、若，则（   ）

A．    B．   C．   D．

9、已知是双曲线的左右焦点，是右支上的动点， 垂直于 的平分线，垂足为，则点的轨迹是（    ）

A、抛物线弧           B、双曲线弧       C、椭圆弧         D、圆弧

10、已知、、是球的球面上三点,三棱锥的高为,且, ,

, 则球的表面积为(   )

A.          B.          C.        D.

11、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线在第一象限内与交于点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（    ）

A.     B.     C.     D.     

12．函数，若方程恰有三个不同的解，记为，则的取值范围是(    )

A．    B．     C．    D．

二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.

13、已知实数满足，则的最小值等于           ．

14、已知椭圆的左右焦点为，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则是的             倍。

15、已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则     

16．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列命题：

①存在点，使得//平面；

②对于任意的点，平面平面；

③存在点，使得平面；

④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.

其中正确命题的序号是______．.

三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.

17．（本题满分12分）

在锐角，中，内角的对边分别为，且

（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围。

18、（本题满分12分）

已知数列的前项和为，点（）是曲线上的点．数列 是等比数列，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面，，，，分别为，的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20、已知椭圆的焦距与椭圆的短轴长相等，且与的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为，直线与直线（为坐标原点）垂直，且与交于两点．

（1）求的方程；

（2）求的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

设，函数．

（1）讨论的单调性． （2）若，证明：．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在极坐标系中，已知两点，．

（1）求以为直径的圆的极坐标方程，然后化成直角坐标方程；

（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．若直线与圆相交于，两点，圆的圆心为，求的面积．

23、（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，不等式的解集为.

（1）求；

（2）记集合的最大元素为，若正数满足，求证：.

2017级高三学年12月月考答案

一、选择题：

   DCABC    CABDC      CD

二、填空题:

  13、5     14、    15、4    16、①②④

三、解答题:

17、（1）;（2）

18、（1）

（2）当为奇数时，；当为偶数时，

19、【解析】（1）因为是的中点，，所以，

又，所以四边形是平行四边形，

因为，所以四边形是矩形，（2分）

所以，所以．

因为底面，平面，所以，

又，，所以平面，（4分）

因为平面，所以，

因为，分别为，的中点，所以，所以，

因为，所以平面．（6分）

（2）因为为的中点，所以，（9分）

因为，所以，（11分）

所以，即三棱锥的体积为．（12分）

20、（1）由题意可得，∴ ，故的方程为.

（2）联立，得，∴ ，又在第一象限，∴.

故可设的方程为.

联立，得，

设，则， ，

∴ ，

又到直线的距离为，则的面积，

∴，当且仅当，即，满足，故的面积的最大值为.

21、（1）∵，∴定义域是又，

①当时，在单调递减；

②当时，∴在递增，在递减，

（2）时，，，

要证，问题转化为证明，

整理得：恒成立，

令，

，

故在递减，在递增，

故，

故存在，

使得，

故当或时，递增，

当时，递减，

故的最小值是或，

由，得，

，

∵，故，

故时，，原不等式成立．

22. 解（1）设为圆上任意一点，则，，

在中，，即．…..3分

∴，

∴圆的直角坐标方程为．…….5分

（2）作于，到直线的距离，

在中，，

∴的面积为．……10分

23、

三式相加得，

所以得证。