全国统考2022高考数学一轮复习第三章导数及其应用学案理含解析打包4套北师大版 学案

第三章　导数及其应用

3.1　导数的概念及运算

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为.

2.函数y=f(x)在x=x0处的导数

(1)定义:f'(x0)=.

(2)几何意义:f'(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的　　　　. 

3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f'(x),则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的　　　　　,通常也简称为导数. 

4.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)

5.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　　; 

(2)[f(x)·g(x)]'=　; 

(3)'=(g(x)≠0).

6.复合函数的导数

复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=

g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　　　,即y对x的导数等于　　　　　的导数与　　　　　的导数的乘积. 

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　　)

(2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0). (　　)

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. (　　)

(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　　)

(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同. (　　)

2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为s=t3-t2+2t,那么速度为零的时刻是(　　)

A.0 s B.1 s末

C.2 s末 D.1 s末和2 s末

3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1))处的切线方程为(　　)

A.y=-2x-1 

B.y=-2x+1 

C.y=2x-3 

D.y=2x+1

4.(2020山东淄博一模,13)曲线f(x)=+ln在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　　. 

5.(2020全国3,文15)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　　. 

关键能力学案突破　

【例1】分别求下列函数的导数.

(1)y=ex·cos x;

(2)y=x;

(3)y=x-sin cos ;

(4)y=ln.

思考函数求导应遵循怎样的原则?

解题心得函数求导应遵循的原则

(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.

(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.

(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.

对点训练1求下列函数的导数.

(1)y=x2sin x;

(2)y=ln x+;

(3)y=;

(4)y=ln(2x-5).

考向1　过函数图像上一点求切线方程

【例2】已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.

(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.

解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.

对点训练2(1)已知函数f(x)=xln x(x>0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(　　)

A.x+y-1=0 B.x-y-1=0

C.x+y+1=0 D.x-y+1=0

(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为　　　　　. 

考向2　已知曲线切线方程(或斜率)求切点

【例3】(1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是　　　　. 

(2)设a∈R,函数f(x)=ex+的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为　　　　. 

解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.

对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　　. 

考向3　已知切线方程(或斜率)求参数的值

【例4】若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.

(1)求实数m的值;

(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.

解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.

对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,b∈R)在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为　　　,　　　. 

第三章　导数及其应用

3.1　导数的概念及运算

必备知识·预案自诊

知识梳理

2.(2)斜率　3.导函数

4.αxα-1　cos x　-sin x　　-　axln a　ex　

5.(1)f'(x)±g'(x)　(2)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

6.y'u·u'x　y对u　u对x

考点自诊

1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

2.D　∵s=t3-t2+2t,∴v=s'=t2-3t+2.令v=0,则t2-3t+2=0,解得t1=1,t2=2.故选D.

3.B　对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.

4.2x+y-3=0　由已知,f'(x)=-,所以f'(1)=-2.又因为f(1)=1,所以切线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.

5.1　对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.

关键能力·学案突破

例1解(1)y'=(ex)'cosx+ex(cosx)'

=excosx-exsinx.

(2)∵y=x3+1+,∴y'=3x2-.

(3)∵y=x-sincos=x-sinx,

∴y'='=1-cosx.

(4)y=lnln(1+x2),

∴y'=(1+x2)'=·2x=.

对点训练1解(1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)'

=2xsinx+x2cosx.

(2)y'=lnx+'=(lnx)'+'=.

(3)y'='

=

=-.

(4)令u=2x-5,y=lnu,则y'=(lnu)'u'=·2=,即y'=.

例2解(1)∵f'(x)=3x2-8x+5,∴f'(2)=1,又f(2)=-2,

∴曲线在点(2,f(2))处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.

(2)设曲线与经过点A(2,-2)的切线相切于点P(x0,-4+5x0-4).

∵f'(x0)=3-8x0+5,∴切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2).

又切线过点P(x0,-4+5x0-4),

∴-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2),整理得(x0-2)2(x0-1)=0,解得x0=2或1,∴经过A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程为x-y-4=0或y+2=0.

对点训练2(1)B　(2)y=2x　(1)f'(x)=lnx+1,x>0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像的切点为(x0,y0),

则解得所以直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.

(2)设切点坐标为(x0,y0).对y=lnx+x+1求导可得y'=+1.

由题意得,+1=2,解得x0=1,故y0=ln1+1+1=2,

切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

例3(1)(0,2)　(2)ln 2　(1)由题意,得y'=ex,且切线斜率为1,设切点为P(x,y),

则ex=1,所以x=0,y=e0+1=2,故切点P的坐标为(0,2).

(2)函数f(x)=ex+的导函数是f'(x)=ex-.

又因为f'(x)是奇函数,所以f'(x)=-f'(-x),即ex-=-(e-x-a·ex),则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(+1)·(1-a)=0,解得a=1.

所以f'(x)=ex-.令ex-,解得ex=2或ex=-(舍去),所以x=ln2.

对点训练3(1,1)　∵函数y=ex的导函数为y'=ex,

∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0).

∵函数y=的导函数为y'=-,

∴曲线y=(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-.由题意可知,k1k2=-1,即1·=-1,所以=1.又x0>0,∴x0=1.又点P在曲线y=(x>0)上,∴y0=1.故点P的坐标为(1,1).

例4解(1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xlnx+2m的导数为f'(x)=1+lnx,点P(n,n)处的切线斜率为1+lnn=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m=.

(2)f(x)=xlnx+1.

设切点为(u,v),则切线的斜率为f'(u)=1+lnu,即有切线的方程为y-ulnu-1=(1+lnu)(x-u).

代入点Q(1,t),

即有t-ulnu-1=(1+lnu)(1-u).

即为t-2=lnu-u,在(0,+∞)上有两实数解,记g(u)=lnu-u,导数为g'(u)=-1.

当u>1时,g(u)递减,当0<u<1时,g(u)递增,可得当u=1时,取得最大值g(1)=-1,即有t-2<-1,解得t<1.

故实数t的取值范围为(-∞,1).

对点训练41　-1　将点(e,f(e))代入直线y=3x-e的方程得f(e)=3e-e=2e.

f(x)=axlnx-bx,则f'(x)=alnx+a-b.由题意得解得