试卷 2021年中考数学二轮复习重难题型突破 二次函数公共点问题-（附答案）

类型一二次函数公共点问题

【典例1】平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．

（1）用含的式子表示；

（2）求点的坐标；

（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．

【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；

（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；

（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．

【典例3】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；

（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【典例4】如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．

（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．

①求证：．

②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．

答案

类型一二次函数公共点问题

【典例1】平面直角坐标系中，抛物线过点，，，顶点不在第一象限，线段上有一点，设的面积为，的面积为，．

（1）用含的式子表示；

（2）求点的坐标；

（3）若直线与抛物线的另一个交点的横坐标为，求在时的取值范围（用含的式子表示）．

【答案】（1）；（2）或；（3）当时，有＜＜

【解析】

【分析】

（1）把代入：，即可得到答案；

（2）先求解抛物线的对称轴，记对称轴与的交点为，确定顶点的位置，分情况利用，求解，从而可得答案；

（3）分情况讨论，先求解的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，再利用一元二次方程根与系数的关系求解 结合二次函数的性质可得答案．

【详解】

解：（1）把代入：，

（2）

抛物线为：

抛物线的对称轴为：

顶点不在第一象限，

顶点在第四象限，

如图，设＜ 记对称轴与的交点为，

则

，

当＞同理可得：

综上：或

（3）

当，设为：

解得：

为

消去得：

由根与系数的关系得：

解得：

当时，

当时，

当时，，

当时，有＜＜

当，

同理可得为：

同理消去得：

解得：

此时，顶点在第一象限，舍去，

综上：当时，有＜＜

【点睛】

本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．

【典例2】如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求解抛物线解析式；

（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式；

（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）；（3）存在，．

【解析】

【分析】

（1）运用待定系数法解答即可；

（2）分0<t<1、、三种情况解答即可；

（3）设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n），则有、进而求得ME，然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长，然后得到等式、化简、对比即可求得t即可．

【详解】

解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：

，解得：

∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3；

（2）∵y=-x2-2x+3=

∴抛物细的顶点坐标为（-1,4）

∵A(-3,0)在直线AD上

设抛物线解析式为y=kx+b

则有 ，解得：

∴直线AD的解析式为y=2x+6,

当在AD上时，令y=3，即3=2x+6，解得x=-

①如图所示，当0<t<1时，

∴OC=O＇C＇=3,O＇B＇=OB=1,OB＇=1-t

∵O＇C//OC

∴△∽△OM

∴,即，解得：OM=3(1-t)

S= S△O＇B＇C＇- S△OMB＇

=

②当时，完全在四边形AOCD内，

③当时，如图所示，过G点作GH⊥，设HG=x，

∵GH//AB

∴,∠HGK=∠KAO

∵

∴

∴，

∵直线AD的解析式为y=2x+6,

∴

∴ ,

∴,KO＇=2AO＇

∴

∵

∴

∵O＇C＇= C＇K+AO＇

∴

∴

S=S△O＇B＇C＇- S△C＇GK

=

∴

综上：；

（3）假设存在，设F点坐标为(-1，t)、点M（m，n）

∴

∴

∴

而

∴

∴

∴=-

∴，即

∴．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题，其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．

【典例3】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；

（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；

（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，

∴点B（0，c），

∵OA＝OB＝c，

∴点A（c，0），

∴0＝﹣c2+2c+c，

∴c＝3或0（舍去），

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点G为（1，4）；

（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴对称轴为直线x＝1，

∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，

∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，

∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），

∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，

∴﹣21≤yQ≤4．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键．

【典例4】如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为线段的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为线段上任意一点，为轴上一动点，连接，以点为中心，将逆时针旋转，记点的对应点为，点的对应点为．当直线与抛物线只有一个交点时，求点的坐标．

（3）在（2）的旋转变换下，若（如图）．

①求证：．

②当点在（1）所求的抛物线上时，求线段的长．

【答案】（1）；（2）（，0）；（3）①见解析；②=或=

【解析】

【分析】

（1）根据点C在抛物线上和已知对称轴的条件可求出解析式；

（2）根据抛物线的解析式求出点B及已知点C的坐标，证明△ABC是等腰直角三角形，根据旋转的性质推出直线EF与x轴的夹角为45°，因此设直线EF的解析式为y=x+b，设点M的坐标为（m，0），推出点F（m，6-m），直线与抛物线只有一个交点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式为0得到关于m的方程，解方程得点M的坐标．注意有两种情况，均需讨论．

（3）①过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，设点M的坐标为（m，0），由及旋转的性质，证明△EHM≌△MGP，得到点E的坐标为（m-1，5-m），再根据两点距离公式证明，注意分两种情况，均需讨论；②把E（m-1，5-m）代入抛物线解析式，解出m的值，进而求出CM的长．

【详解】

（1）∵点在抛物线上，

∴，

得到，

又∵对称轴，

∴，

解得，

∴，

∴二次函数的解析式为；

（2）当点M在点C的左侧时，如下图：

∵抛物线的解析式为，对称轴为，

∴点A（2，0），顶点B（2，4），

∴AB=AC=4，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠1=45°；

∵将逆时针旋转得到△MEF，

∴FM=CM，∠2=∠1=45°，

设点M的坐标为（m，0），

∴点F（m，6-m），

又∵∠2=45°，

∴直线EF与x轴的夹角为45°，

∴设直线EF的解析式为y=x+b，

把点F（m，6-m）代入得：6-m=m+b，解得：b=6-2m，

直线EF的解析式为y=x+6-2m，

∵直线与抛物线只有一个交点，

∴，

整理得：，

∴Δ=b2-4ac=0，解得m=，

点M的坐标为（，0）．

当点M在点C的右侧时，如下图：

由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线与抛物线不可能只有一个交点．

综上，点M的坐标为（，0）．

（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，

∵，由（2）知∠BCA=45°，

∴PG=GC=1，

∴点G（5，0），

设点M的坐标为（m，0），

∵将逆时针旋转得到△MEF，

∴EM=PM，

∵∠HEM+∠EMH=∠GMP+∠EMH =90°，

∴∠HEM=∠GMP，

在△EHM和△MGP中，

，

∴△EHM≌△MGP（AAS），

∴EH=MG=5-m，HM=PG=1，

∴点H（m-1，0），

∴点E的坐标为（m-1，5-m）；

∴EA==，

又∵为线段的中点，B（2，4），C（6，0），

∴点D（4，2），

∴ED==，

∴EA= ED．

当点M在点C的右侧时，如下图：

同理，点E的坐标仍为（m-1，5-m），因此EA= ED．

②当点在（1）所求的抛物线上时，

把E（m-1，5-m）代入，整理得：m2-10m+13=0，

解得：m=或m=，

∴=或=．