2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届湖南省怀化市高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】化简集合，由交集定义即可求解.

【详解】

或，

.

故选:D

【点睛】

本题考查交集运算，属于基础题.

2．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部．

详解：由有，则z 的虚部为，故选B.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题．若复数，则复数的虚部为．

3．将的展开式按照的升幂排列，若倒数第三项的系数是，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据二项式展开式的通项公式列式解得即可．

【详解】

依题意：，得到

解得.

故选：B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，属于基础题.

4．已知等差数列的前项和为，若，且三点共线(该直线不过原点)，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据三点共线的充要条件得出，运用等差数列的前项和公式，以及等差数列序号和相等性质，即可求解.

【详解】

，且三点共线(该直线不过原点)，

，.

故选:A

【点睛】

本题以三点共线为背景，考查数列的前项和以及等差数列的性质，属于基础题.

5．我国古代数学名著《孙子算经》中有鸡兔同笼问题:“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡只，兔只，则输出的分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由开始验证，直到满足，退出循环体，输出.

【详解】

,；,；；

,.退出循环，输出.

故选:B

【点睛】

本题考查循环结构运行结果，属于基础题.

6．函数的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状．

【详解】

由题意得函数的解析式为，

∵，

∴函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

∴可排除C,D．

又当x→0时，cos(πx)→1，→0，

∴f(x)→+∞，所以可排除B．

故选A．

【点睛】

根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除，逐步可得结果．

7．如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是

A．2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省

B．与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长

C．2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元

D．2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个

【答案】D

【解析】解决本题需要从统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源以及所表示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息。

【详解】

对于A，从折线统计图可得，2018年第一季度GDP增速由高到低排位依次为江苏、辽宁、山东、河南、浙江，故浙江省排在第五，

对于B，从折线统计图可得，与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长率都为正值，所以与2017年同期相比，各省2018年第一季度的GDP总量实现了增长，

对于C，根据统计图可计算2017年同期河南省的GDP总量为，所以2017年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，

对于D, 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有两个，江苏、河南，

综述只有D选项不正确，

故答案选D

【点睛】

本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题

8．已知函数是定义在上的奇函数，满足，且时，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】得出函数的周期为4，以及是定义在上的奇函数，将自变量-2019可转化为，即可求解.

【详解】

，

周期为4，且在上的奇函数，

.

故选:C

【点睛】

本题考查函数的性质在函数求值中的应用，属于基础题.

9．已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：

①命题“”是真命题    ②命题“”是假命题

③命题“”是真命题    ④命题“”是假命题

其中正确的是（   ）

A．①②③ B．②③ C．②④ D．③④

【答案】B

【解析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．

【详解】

解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx错误，即命题p是假命题，

∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，

则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，

②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，

③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，

④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件先判断命题p，q的真假是解决本题的关键．

10．若向量，，函数，则的图象的一条对称轴方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据向量数列积公式，求出，运用三角恒等变换公式，化简，结合正弦函数的对称轴即特征可求解.

【详解】

，

一条对称轴为.

故选:B

【点睛】

本题考查三角恒等变换，涉及到二倍角公式、降幂公式，考查三角函数的对称性，属于基础题.

11．对于函数，定义:设是的导数， 是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心.设函数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据拐点的定义，求出对称中心，然后运用倒序相加法求值.

【详解】

，，令，

得，且，关于点对称，

，

故选:C

【点睛】

本题考查对新定义的理解，仔细审题是解题的关键，考查倒序法求和，属于中档题.

12．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．因此，而，，，可得，求出即可．

【详解】

如图所示：

设椭圆的左焦点为，连接，

则四边形为矩形，

因此，

，

，，

，

，

，

，

，

,

.

故选：A.

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质]的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

二、填空题

13．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为__________．

【答案】

【解析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值.

【详解】

作出可行域，如下图所示：

当目标函数过时，

取最大值为8.

故答案为:

【点睛】

本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.

14．函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为____________________.

【答案】8.

【解析】根据对数函数的性质先求出的坐标，代入直线方程可得的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

【详解】

解：时，，
∴函数的图象恒过定点，
∵点在直线上，
，即，
，
，
当且仅当时取等号．
故答案为：8

【点睛】

本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换思想，是高考考查的重点内容．

15．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒中，平面，且，则此鳖儒的外接球的表面积为__________．

【答案】

【解析】利用四个面都是直角三角形，平面，且，将三棱锥补成以为棱的正方体，则此鳖儒的外接球即为边长为1的正方体的外接球，即可求解.

【详解】

根据题意，将鳖儒补成以为棱的正方体，

边长为1的正方体的外接球半径为，其表面积为.

故答案为:

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的表面积，运用割补法转化为特殊图形的外接球的表面积，属于基础题.

16．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为______．

【答案】

【解析】试题分析：由，则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，所以函数在单调递增，因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足，当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，故，所以，所以实数的最大值为．

【考点】导数在函数中的应用；函数的恒成立问题．

【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值、最值、函数的恒成立问题的求解等知识的综合应用，其中把函数，对于对任意的恒成立，转化为对任意的恒成立，设成新函数，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题．

三、解答题

17．已知等比数列是递减数列，，.

(1)求数列的通项公式;

(2)若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）设等比数列的公比为，根据和列出方程组，解出和

的值即可；

（2）由（1）知，，即，

可得，用裂项相消法求和即可.

【详解】

设等比数列的公比为，则解得或

所以或，即或，又为数列是递减数列，所以，

故数列的通项公式为.

(2)，

可得

即有前项和

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查裂项相消法求和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

18．已知中，内角所对边分别为，若.

(1)求角的大小；

(2)若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理化简得：，再由正弦两角和差公式和化为：，再由得出的值即可；

（2）由得出，，得到，进而得到，再根据角的范围得到的范围即可.

【详解】

(1)由，

可得：，

，

可得：，

，，

可得，

又由得：，

 (2)，，，

，

，

，，

可得：，

的取值范围.

【点睛】

本题主要考查解三角形，侧重考查正弦定理的应用，考查辅助角公式的运用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于中档题.

19．如图四棱锥中，底面是正方形，平面，且，为中点，

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）证明出即可得出平面；

（2）以点为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-BE-C的正弦值．

【详解】

(1)连接交于，

底面为正方形，

是的中点，

为中点，，

又面，面，

；

(2)底面为正方形，，

又，平面，，

同理，，平面，

建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为，

则，

设为平面的一个法向量，又，，

，令，，得，

同理是平面的一个法向量，

则，

二面角的正弦值为.

【点睛】

本题考查直线与平面平行，考查二面角的平面角及求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题.

20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价，现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的列联表如下:

(1)能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系?

(2)为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张的面额为元，元，元的三种骑行券，用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一-次获得元券，获得元券的概率分别是，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.

附:下边的临界值表仅供参考:

(参考公式:，其中)

【答案】（1）在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）详见解析.

【解析】（1）有列联表的数据求出，从而在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；

（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为，的所有可能取值为，分别能求出的分布列和数学期望.

【详解】

（1）由列联表的数据，有

因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；

（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为，

的所有可能取值为，

，，

的分布列为:

的数学期望为.

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，侧重考查离散型随机变量的期望与方差，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

21．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若不经过点的直线与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.

【答案】(1) (2) 的周长为定值.

【解析】（1）根据已知条件结合，即可求出标准方程；

（2）直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，得出关系，直线与椭圆联立，求出相交弦长，再用两点间距离公式，求出长，求出 的周长，即可判定结论.

【详解】

解: (1)由题可知，则①

直线的方程为即，所以②

联立①②，解得，又，

所以椭圆的标准方程式为.

(2)因为直线与圆相切，

所以，即

设，联立

得，

所以，

则由根与系数的关系可得

所以，

又所以，

因为

同理，所以

所以的周长为定值.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程，考查相交弦长以及焦点到椭圆上的点距离，考查计算能力，属于较难题.

22．设函数（为常数）.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）若函数在内存在唯一极值点，求实数的取值范围，并判断是在内的极大值点还是极小值点.

【答案】(1) (2) ，且为函数的极小值点.

【解析】（1）先求出函数的导函数，再求出切线的斜率，再由直线的点斜式方程求解即可；

（2）函数在内存在唯一极值点等价于方程在内存在唯一解，再构造函数，求其值域，则可得的范围，再利用导数确定是极大值点或者极小值点.

【详解】

（1）当时，，，

所求切线的斜率，又.

所以曲线在处的切线方程为：.

（2），

又，则要使得在内存在唯一极值点，则在存在唯一变号零点，即方程在内存在唯一解，即与在范围内有唯一交点，

设函数，则，在单调递减，又；当时，

时，与在范围内有唯一交点，不妨设交点横坐标为，

当时， ，，则，在为减函数；当时，，则，在为增函数，即为函数的极小值点，

综上所述：，且为函数的极小值点.

【点睛】

本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了利用导数求函数的单调区间及极值，重点考查了导数的应用，属中档题.