2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数满足（为虚数单位),则复数（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】运用复数的除法运算法则求出复数,在根据共轭复数的定义求出复数.

【详解】

由题意,可变形为.

则复数.

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.

2．已知全集,则（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据集合补集的定义和并集的定义,结合数轴即可求出.

【详解】

因为,所以,又，

所以，

故选：A

【点睛】

本题考查了集合补集和并集的运算,利用数轴是常用的方法.

3．曲线在点处的切线方程为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可.

【详解】

,故切线的斜率为.又.所以曲线在点处的切线方程为.即.

故选:C

【点睛】

本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.

4．已知抛物线的准线与圆相切，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出抛物线的准线方程,根据直线与圆的相切关系即可求出的值.

【详解】

抛物线的准线为.

由题意与圆相切.所以解得.

故选：C

【点睛】

本题考查了抛物线的准线方程,考查了直线与圆的相切关系,考查了数学运算能力.

5．《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（  ）

A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲

C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少

【答案】B

【解析】通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.

【详解】

甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.

故选:B

【点睛】

本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.

6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（  ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】将三视图还原直观图，即可找到最长的棱，计算其长度即可.

【详解】

由题意得：该几何体的直观图是一个四棱锥如图所示.

其中为最长棱.由勾股定理得.

故选：

【点睛】

本题主要考查三视图，将三视图还原直观图是解决本题的关键，属于简单题.

7．如图，在平行四边形中,为的中点，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用向量的加减法的几何意义将转化为，即可.

【详解】

故选：

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，熟练掌握向量的加减法是解题的关键，属于中档题.

8．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量的值，可发现周期为，即可得到，，，此时输出.

【详解】

，.，.，.

，.，.

可发现周期，，，.

此时输出.

故选：

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是是解决本题的关键，属于简单题.

9．公元前5世纪下半叶开奥斯地方的希波克拉底解决了与化圆为方有关的化月牙形为方.如图，以O为圆心的大圆直径为4,以AB为直径的半圆面积等于AO与BO所夹四分之一大圆的面积,由此可知，月牙形区域的面积与△AOB的面积相等.现在在两个圆所覆盖的区域内随机取一点，则该点来自于阴影部分的概率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】分别计算出上方阴影部分的面积和下方阴影部分面积，再代入几何概型公式即可.

【详解】

上方阴影部分的面积等于的面积.

下方阴影部分面积等于.

所以根据几何概型得所求概率：.

故选：

【点睛】

本题主要考查几何概型，求出方阴影部分的面积和下方阴影部分面积是解决本题的关键，属于中档题.

10．已知函数为定义在上的奇函数,当时,.若函数存在四个不同的零点,则的取值范围为（  ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时,对函数进行求导，判断出函数的单调性,再根据奇函数的性质画出函数的一致图象,最后利用数形结合思想示出的取值范围.

【详解】

当时, ,故在上单调递增,因为.故f在上单调递战，在上单调递增.如图为大致图象.由存在四个不同的零点知与的图象有四个不同交点,故.

故选：A

【点睛】

本题考查了已知函数的零点个数求参数取值问题,利用数形结合是解题的关键.

11．已知正六棱锥的所有顶点都在一个半径为的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】首先过作平面，取为球心，设，.然后计算出正六棱锥的体积.设，利用导数求出设最大值即可得到正六棱锥体积的最大值.

【详解】

过作平面，取为球心，设，.

在中有，即.

正六棱锥的体积.

设.

由得.

在上单调递增，在上单调递减.

所以当时取得最大值.

所以正六棱锥体积的最大值为.

故选：

【点睛】

本题主要考查了正六面体的外接球和体积，将体积的最大值用导数的方法求解是解决本题的关键，属于难题.

12．已知,将的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的得到的图象，下列关于函数的说法中正确的个数为（   ）

①函数的周期为;②函数的值域为;③函数的图象关于对称;④函数的图象关于对称.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先通过三角化简得到且，通过平移变换得到且.再进一步求出的周期、奇偶、值域、对称即可得到答案.

【详解】

，

.

即：且.

且.

①因为函数的周期为，因此①正确.

②因为，故因此②错误.

③令，得.故③正确

④因为.故图象不是中心对称图形,故④错误..

综上,正确的个数为.

故选：

【点睛】

本题为三角函数的章内综合题，考查了三角函数的化简、周期、奇偶、对称、以及平移变换.属于难题.

二、填空题

13．已知等差数列中, ,则__________．

【答案】

【解析】设出等差数列的公差,根据等差数列的通项公式,结合已知可以出公差,再利用等差数列的通项公式可以求出所求代数式的值.

【详解】

设等差数列的公差为.则.解得.所以.

故答案为：6

【点睛】

本题考查了等差数列的基本量计算,属于基础题.

14．若实数满足约束条件,则的最大值是__________．

【答案】

【解析】作出可行解域, 平移直线,找到直线经过可行域内的点,使得目标函数最大即可.

【详解】

作出不等式组，表示的可行域如图所示，平移直线.易知当直线经过可行域内的点时，目标函数取得最大值，

且.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了线性规划的应用,考查了数形结合思想.

15．现有排成一排的个不同的盒子，将红、黄、蓝色的个小球全部放人这个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻的不同放法共有_________ 种. (结果用数字表示)

【答案】

【解析】先考虑两个空盒相邻排列数，再考虑每种相邻情况下,排红、黄、蓝颜色的个小球排列数,最后求出恰有两个空盒相邻的不同放法的个数.

【详解】

恰有两个空盒相邻，则有种排法.然后每种相邻情况下,排红、黄、蓝颜色的个小球有种排法.因此.所求放法为种.

故答案为：24

【点睛】

本题考查了排列的应用,考查了数学运算能力.

16．已知点为双曲线右支上一点，双曲线的左，右焦点分别为且的角平分线与x轴的交点为，满足，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

【解析】化简,得到得，故，结合三角形面积公式和双曲线的定义、余弦定理可以求出离心率.

【详解】

由，得，故，

再由，故，

再根据双曲线定义知，即，在中，

由余弦定理知,

故，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了共线向量的性质应用,考查了三角形面积公式、余弦定理、双曲线的定义.

三、解答题

17．在中,内角的对边分别为,设的面积为,若.

(1)求的值;

(2)若,求的值.

【答案】(1) ,(2)

【解析】(1)根据三角形面积，结合已知和余弦定理,化简，最后利用同角的三角函数关系式中的商关系求出即可；

(2)由(1)的结果,三角形面积公式,结合已知化简,得到关于的方程,解方程即可求出的值.

【详解】

(1)由題意得.即整理可得

又.所以,所以

(2)由，得,又

则,解得.

将代入中，得,

解得.

【点睛】

本题考查了余弦定理、三角形面积公式、同角的三角函数关系式,考查了数学运算能力.

18．已知数列的前项和为，满足

(1)求证:数列为等比数列;

(2)记,求数列的前项和

【答案】(1)证明见解析,(2)

【解析】(1)先求出的值,再对递推公式递推一步,两个递推公式相减,根据已知的提示,可以证明出本问；

(2)结合(1)的结论,化简,最后利用错位相减法可以求出数列的前项和

【详解】

(1)当时,.解得,

由①

得.②

②一①得.,

即

故为等比数列，公比为，首项.

(2)由(1)知.故 .故.

故①,

②,

①-②得

,

所以

【点睛】

本题考查了利用递推关系证明数列是等比数列,考查了错位相减法,考查了等比数列前项和公式,考查了数学运算能力.

19．如图，在三棱柱中，侧棱底面,底面是正三角形,

(1)求证:平面;

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析,(2)

【解析】(1) 在线段上取一点.使.连结.利用线段成比例定理可以证明出线线平行以及数量关系,根据平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理可以证明出本问；

(2) 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可以求出直线与平面所成角的正弦值.

【详解】

(1)证明:在线段上取一点.使.连结.

在中.因为,

所以,

所以,

所以，且,

因为.

所以,

所以且,

故四边形为平行四边形,所以,

又平面平面,

所以平面.

(2)以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为底面是正三角形，,

所以点,

则,

设平面的法向量为.

由,

令.得平面的一个法向量为,

又,

设直线与平面BCF所成角的大小为.

则,

所以直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查利用平行四边形的性质证明线面平行,考查了利用空间向量求线面角,考查了数学运算能力.

20．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,

(1)请将下面的列联表补充完整;

(2)能否在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;

(3)已知在患伤风感冒疾病的名女性幼儿中,有名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的名女性中,选出名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为,求的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:

参考公式：，其中

【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,

【解析】(1)根据在全部名幼儿中随机抽取人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；

(2)代入公式求出的值，根据所给的表写出结论；

(3) 根据题意,的值可能为.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可.

【详解】

(1)列联表补充如下;

计算的观测值为,

所以不能在犯错误的概率不超过的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.

(3)根据题意,的值可能为.

则,,

故的分布列如下：

故的数学期望：.

21．已知椭圆上的一点到其左顶点的距离为.

(1)求椭圆的方程;

(2)若直线与椭圆交于两点(与点不重合)，若以为直径的圆经过点,试证明:直线过定点.

【答案】(1) ,(2)

【解析】(1)把点代入椭圆方程中,再根据点到其左顶点的距离为可以列出方程,联立解方程组即可求出椭圆的方程;

(2)由题意可知：以为直径的圆经过点,这样有

根据直线是否存在斜率分类讨论，当不存在斜率时，通过解方程可以证明直线过定点；当存在斜率时，设出直线方程，与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，把转化为向量的数量积最后可以确定直线过定点.

【详解】

(1)易知左顶点的坐标为.

由已知可得，解得,

所以椭圆的方程为.

(2)证明:若以为直径的圆经过点.则,即,故

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为由题意得为等腹直角三角形，设直线与椭圆在轴上方的交点为，则的坐标为.所以有，

解得 (舍去)或，所以此时直线的方程为,

当直线的斜率存在时，设直线方程为.,

联立： 消去得：

则,

,

由题意，则,

则

,

所以,

化简得,

所以，解得或,

当时，满足.此时直线方程为.过定点:

当时，满足.此时直线方程为.过定点,不合题意.综上.直线经过定点.

【点睛】

本题考查了求椭圆的标准方程,考查了利用直线与椭圆的位置关系判断直线过定点问题，考查了数学运算能力.

22．已知函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)设,当函数与的图象有三个不同的交点时,求实数的取值范围.

【答案】(1) 函数在上单调递增,在上单调递减.

(2)

【解析】(1)对函数求导,根据的不同取值,结合不等式,可以判断出函数的单调性;

(2)由题意可知：,得.得,

设,则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点.对函数进行求导,然后判断出其单调性,结合零点存在原理,最后求出实数的取值范围.

【详解】

(1)的定义域是,

,

当时.两数在上单调递增;

当时,令,得;令,得.

故函数在上单调递增,在上单洞递破.

(2)由，得.得,

设，则有三个不同的根等价于函数存在三个不同的零点.

,

当即时,，单调递减,不可能有三个不同的零点,

当即，有两个零点,

,

又开口向下，

当时, ,函数在上单调递诫:

当时.函数在上单调递增:

当时.,函数在上单调递减.

因为，又，有,

所以

,

令.则.

令.则单调递增.

由,求得,

当时，单调递减，.，

显然在上单调递增，

故.

由零点存在性定理知在区间上有一个根.设为,

又.得.所以.所以是的另一个零点,

故当时,存在三个不同的零点.

故实数的取值范围是.

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的零点.考查了数学运算能力和转化思想.