2020届甘肃省天水市一中高三上学期第四次考试数学理试题

天水一中2020届2019-2020学年度第一学期第四次考试

数学理科试题

一、选择题(每题5分，共60分)

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．以下四个命题：

①“若，则”的逆否命题为真命题

②“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件

③若为假命题，则，均为假命题

④对于命题：，，则为：，

其中真命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．已知，，，则，，的大小关系是

A． B． C． D．

4．函数f(x)=Asin(ωx+φ)，（A，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图，则f(x)=（    ）

A．     B．

C．   D．

5．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若，则|AB|= (   )

A．6 B．7 C．5 D．8

6．将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，另两人各2本，则不同的分配方法是(      )种(用数字作答）

A．108 B．90 C．18 D．120

7．定义在上的奇函数满足：当时，，则函数的零点的个数是(    )

A． B． C． D．

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=1，=，若A=2B，则△ABC的周长为（    ）

A．3     B．4 C．    D．

9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个侧面中最大的侧面的面积为（    ）

A． B． C． D．

10．实数满足条件.当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点，且，则此双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（    ）

A．  B．  C．   D．

二、填空题(每题5分，共20分)

13．已知向量，，，则|______.

14．由曲线，直线y=2x，x=2所围成的封闭的图形面积为______．

15．已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答）

16．如图所示，两半径相等的圆，圆相交，为它们的公切线段，且两块阴影部分的面积相等，在线段上任取一点，则在线段上的概率为        .

三、解答题（共70分）

17．(本小题满分12分)已知等差数列的前项和为，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

18．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥，平面平面，，．

（1）证明：；

（2）设点为中点，求直线与平面所成角的正弦值．

19．(本小题满分12分)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响且无平局.求：

（1）前三局比赛甲队领先的概率；

（2）设本场比赛的局数为，求的概率分布和数学期望. (用分数表示)

20．(本小题满分12分)已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，，求的最小值.

21．(本小题满分12分) 已知函数（其中a是实数）．

（1）求的单调区间；

（2）若设，且有两个极值点 ，求取值范围．（其中e为自然对数的底数

选做：共10分。请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22．(本小题满分10分)在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程，设与的交点为，，求的面积.

23．(本小题满分10分)设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若，求实数m的取值范围．

理科答案

一、选择题：

BCBAD  BCDBD  DB

12.构造函数，因为，所以

则，所以为偶数

当时，，所以在上单调递增，

所以有，则，即，即.

故选：

一、填空题

13. 3   14 . 3-2ln2   15. 28   16.

16.设圆的半径为。由题意可得

所以，

所以

二、解答题

17.【答案】（1）；（2）.

（1）由题得，

解之得，

所以，

所以数列的通项公式为.

（2）由题得，

所以数列的前项和，

所以.

18.(1) ,,由余弦定理得

,故.

又,故.又平面平面,且平面平面,故平面.又平面,故.

证毕.
(2)由(1)有平面,故以为坐标原点,垂直为轴,为轴正向,为轴正向建如图空间直角坐标系.

则,,,,.

故,,,

设平面的法向量则,

令有 ,故,设与平面所成角为,则

故答案为：

19.解：（1）设“甲队胜三局”为事件，“甲队胜二局”为事件，

则，，

所以，前三局比赛甲队领先的概率为

（2）甲队胜三局或乙胜三局，

甲队或乙队前三局胜局，第 局获胜

甲队或乙队前四局胜局，第局获胜

的分部列为：

数学期望为

20.（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，

将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，

所以有，，，因此，抛物线的方程；

（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，

联立抛物线的方程，所以，，

则有，，

因此

.

因此，当且仅当时，有最小值.

21.解析：（1） (其中是实数)，

的定义域，，

令，=-16,对称轴，，

当=-160，即-4时，，

函数的单调递增区间为，无单调递减区间，

当=-160,即或

若，则恒成立，

的单调递增区间为，无单调递减区间。

若4，令，得

=，=，

当(0,)(,+时，当（）时，

的单调递增区间为（0，），（），单调递减区间为（）

综上所述当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，

当时，的单调递增区间为（0，）和（），单调递减区间为（）

(2)由(1)知，若有两个极值点，则4，且，，又，，，，

又，解得，

令， 则恒成立

在单调递减，，

即

故的取值范围为

22.（1）

的极坐标方程为.

由的直角坐标方程，

展开得，

的极坐标方程为.

（2）将代入，

得，

解得，

即.

由于的半径为1，即.

易知，

即为等腰直角三角形，

.

23.（1）当时，．

当时，，解得；

当时，，

无解．

当时，，

解得；

综上，原不等式的解集为．

（2）∵

当且仅当等号成立

∴，

∴或，

即或，

∴实数m的取值范围是．