2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省丹东市高三总复习阶段测试数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.

【详解】

，则

【点睛】

易于理解集补集的概念、交集概念有误.

2．设复数满足，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于复数除法计算，通过分母实数化计算的值，再求的值.

【详解】

因为，所以.

故选：D.

【点睛】

本题考查复数的计算以及共轭复数的概念，难度较易.分式型复数计算，常用的方法是分母实数化.

3．一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意知X～B（50，0.02），由二项分布的性质计算E（X）的值．

【详解】

由题意知，随机变量服从二项分布，

即，

故．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分列与数学期望的计算问题，属于容易题．

4．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（　  　）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排即可．

【详解】

相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它人，全排，

故甲、乙二人相邻的不同排法共种．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了相邻问题，采用捆绑法是解题关键，属于容易题．

5．设为所在平面内一点，若，则（　 　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意，直接利用向量的线性运算的性质求出结果．

【详解】

由于，

所以，

所以．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算的性质，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于容易题．

6．函数是（     ）

A．奇函数，且在上是增函数     B．奇函数，且在上是减函数

C．偶函数，且在上是增函数      D．偶函数，且在上是减函数

【答案】A

【解析】试题分析：易知f(x)的的定义域为R，又，所以f(x)是奇函数；

又，因为在R上都是单调递增函数，所以也是R上的单调递增函数，故选A。

【考点】函数的单调性和奇偶性；指数函数的单调性。

点评：此题主要考查函数单调性的判断，属于基础题型。

7．已知是第三象限的角，若，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知可求sinα，然后结合及两角和的正切公式可求．

【详解】

是第三象限的角，，

，

，

则．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了半角公式及两角差的正切公式在求解三角函数值中的简单应用，属于中档题．

8．函数在的图象大致为（　  　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】判断函数f（x）为奇函数，由此排除选项A、B，再观察C、D选项，即可得出正确答案．

【详解】

，

易知，函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项，

又f′（x）＝（cosx﹣1）′sinx+（cosx﹣1）（sinx）′

＝﹣sin2x﹣cosx+cos2x＝﹣cosx+cos2x，

故可得f′（0）＝0，可排除C，

故选：．

【点睛】

本题主要考查了由函数解析式判断函数图象，考查导数的应用，属于中档题．

9．已设都是正数，则“”是“”的（  　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由和分别求出a，b的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案．

【详解】

由，

得或或，

由，得，

“”是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．

10．已知单位向量满足，那么与的夹角为（　  　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据平面向量的数量积求夹角即可．

【详解】

单位向量满足，

那么，

则，

化简得，

解得，

所以；

又，

所以与的夹角为．

故选：．

【点睛】

本题考查了利用平面向量的数量积求夹角的问题，属于中档题．

11．若，则（　  　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由已知结合诱导公式可求，然后结合二倍角公式及诱导公式可求．

【详解】

，

，

，

，

则，

，

，

故．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的性质及倍角公式和半角公式的简单应用，属于中档题．

12．若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（　  　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】分别设，，分两种情况讨论，即可求出a的范围．

【详解】

设，，

若在时，与轴有一个交点，

所以，并且当时，，所以，

而函数有一个交点，所以，且，

所以，

若函数在时，与轴没有交点，

则函数有两个交点，

当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去），

当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的，

综上所述的取值范围是，或．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．

二、填空题

13．在的展开式中，含项的系数是_____，各项系数和是_____．

【答案】    0   

【解析】在的展开式中，由通项公式，能求出含x3项的系数是：，展开式各项系数和为.

【详解】

在的展开式中，

，

当时，含项的系数是：，

在的展开式中，各项系数和是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了二项展开式中含x3项的系数、各项系数和的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于容易题．

14．已知为偶函数，当时，，则_____．

【答案】2

【解析】根据题意，由函数的奇偶性与解析式分析可得f（x）在上的解析式，求出其导数，将代入计算可得答案．

【详解】

根据题意，设，则，

则，

又由为偶函数，则，

则，

则有；

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了函数的导数计算，涉及函数的奇偶性的性质以及应用，属于中档题．

15．中，，，，则_____．

【答案】3

【解析】直接利用余弦定理得方程，解方程即可求解．

【详解】

在中，，，，

设，利用余弦定理，

整理得，解得或（负值舍去）．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力，属于容易题．

16．已知函数的图象关于直线对称，则_____，的最大值为_____．

【答案】4    16   

【解析】由可得函数零点，然后结合方程的根与系数关系可求a，b，然后利用导数即可求解最大值．

【详解】

由可得或，即是函数的零点，

的图象关于直线对称，

故关于对称的点，

所以也是函数的零点，

故是的根，

故，

又，

，

令可得，

当或，，此时函数单调递减，

当或时，，此时函数单调递增，

又当时，，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了函数图象的对称性，函数图象的对称变换，函数的零点，函数与方程，属于难题．

三、解答题

17．设函数．

（1）若点是图象的一个对称中心，求；

（2）当时，取得最小值，求．

【答案】(1)2 (2)

【解析】（1）化简函数解析式得，由点是图象的一个对称中心即可求出（2）由题意，展开后结合x=β时，f（x）取得最小值，也是极值，结合导数可求．

【详解】

（1），

是图象的一个对称中心，

，

，可得，

，

（2）由题意可得，，

，①

时，取得最小值，

时，取得极小值，

故，

，

，②

①②联立可得，，

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的余弦公式，辅助角公式，导数，正弦函数的图象与性质，属于中档题．

18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为配方和配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：

配方的频数分布表

配方的频数分布表

（Ⅰ）分别估计用配方，配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其指标值的关系式为

估计用配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用配方生产的上述产品平均每件的利润。

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）。

【解析】试题分析：（Ⅰ）借助题设条件运用频率分布表提供的数据分析求解；（Ⅱ）借助题设条件运用加权平均数公式求解.

试题解析：

（Ⅰ）由实验结果知，用配方生产的产品的优质的频率的估计值为，

∴用配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用配方生产的产品中优质品的频率为，

∴用配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42。

（Ⅱ）解：由条件知，用配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标，

由试验结果知，指标值的频率为0.96，

所以用配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96。

用配方生产的产品平均每件的利润为元。

【考点】频率分布表和加权平均数公式等有关知识的综合运用。

19．的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若平分线交于点，求的长．

【答案】(1) (2)

【解析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sinB≠0，可得，利用三角形内角和化简，进而可求A的值（2）由已知利用三角形的面积公式可得，即可求解.

【详解】

如图：

（1），

∴由正弦定理可得，

，

，

，

，

，

，

，

．

（2），

，

，

，

∴由，可得．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

20．已知是定义域为R的奇函数，满足．

（1）证明：；

（2）若，求式子的值．

【答案】(1)证明见解析 (2)2

【解析】（1）根据题意，由函数的奇偶性以及分析可得，变形即可得答案（2）由（1）的结论分析可得f（2）、f（3）、f（4）的值，利用函数的周期分析可得答案．

【详解】

（1）证明：根据题意，是定义域为的奇函数，则，

又由满足，则，则有，

变形可得：，

即可得证明；

（2）由（1）的结论，，

又由是定义域为的奇函数，则，

则，

则，

则有

．

【点睛】

本题主要考查了抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与周期性的综合应用，属于中档题．

21．已知函数，曲线在处的切线经过点.

（1）求实数的值；

（2）设，求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1）1；（2）最大值-1，最小值

【解析】（1）根据导数求出切线斜率为，再利用与连线斜率为构造出方程，求出结果；（2）由导函数可判断出在单调递增，在上单调递减；由此可得最大值为；再判断与的大小，较小的为最小值.

【详解】

（1）的导函数为   

依题意，有，即

解得

（2）由（1）得

当时，，

，故在上单调递增；

当时，，

，故在上单调递减

在区间单调递增，在区间上单调递减

    最大值为.

设，其中

则

故在区间单调递增

当时，       

故最小值

【点睛】

本题考查导数的几何意义、利用导数求解函数的最值问题.关键在于能够通过导函数的正负得到原函数的单调性，则最大值即为极大值，最小值必产生在区间端点处，进而判断出最小值的取值.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）求的极坐标方程；

（2）将曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线，若与的交点为（异于坐标原点），与的交点为，求．

【答案】(1) (2)1

【解析】（1）直接把曲线参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线的极坐标方程（2）由图象变换可得曲线C3的方程，进一步得到曲线C3的极坐标方程，把分别代入两极坐标方程求得A，B的极径，作差可得|AB|．

【详解】

（1）由曲线的参数方程为（为参数），消去参数，

可得的普通方程为，代入，

可得的极坐标方程为；

（2）由题意可得曲线，将代入，

化简得的极坐标方程为．

将分别代入与．

得两点的极径，

．

【点睛】

本题主要考查了曲线极坐标方程，参数方程化普通方程，极径的几何意义，考查了计算能力，属于中档题．

23．设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）证明：，并指出等号的成立条件．

【答案】(1){x|或}  (2)证明见解析，等号成立的条件是．

【解析】（1）将代入f（x）中，然后将f（x）写成分段函数的形式，再根据f（x）＞3分别解不等式即可（2）由绝对值三角不等式可得，再由，即可证明．

【详解】

（1）当时，，

，或，

或，

不等式的解集为或；

（2），

，

此时等号成立的条件是．

【点睛】

本题主要考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．