2020届江西名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷

理 科 数 学

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

3．设是等差数列的前项和，，，则公差（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．设，满足约束条件，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

7．在中，，为的中点，则（    ）

A． B． C． D．

8．若存在，使成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

9．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）

A． B． C． D．

11．已知双曲线的离心率为，，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（    ）

A． B． C． D．

12．设函数在定义域上是单调函数，且，．

若不等式对恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若为定义在上的奇函数，当时，，则         ．

14．已知，

则     ．

15．已知函数只有一个零点，则       ．

16．在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，且为等边三角形，若四棱锥的体积与四棱锥外接球的表面积大小之比为，则四棱锥的表面积为       ．

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

18．（12分）某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为元，低于箱按原价销售，不低于箱则有以下两种优惠方案：①以箱为基准，每多箱送箱；②通过双方议价，买方能以优惠成交的概率为，以优惠成交的概率为．

（1）甲、乙两单位都要在该厂购买箱这种零件，两单位都选择方案②，且各自达成的成交价格相互独立，求甲单位优惠比例不低于乙单位优惠比例的概率；

（2）某单位需要这种零件箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算?

19．（12分）如图，在四面体中，，平面平面，，且．

（1）证明：平面；

（2）设为棱的中点，当四面体的体积取得最大值时，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知椭圆过点，且它的焦距是短轴长的倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，是椭圆上的两个动点（，两点不关于轴对称），为坐标原点，，的斜率分别为，，问是否存在非零常数，使时，的面积为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，求的极值；

（2）设，对任意都有成立，求实数的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．

（1）求和的普通方程；

（2）将向左平移后，得到直线，若圆上只有一个点到的距离为，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若恒成立，求的取值范围．

2020届江西名师联盟高三第一次模拟考试卷

理科数学答 案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】C

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】A

5．【答案】C

6．【答案】D

7．【答案】A

8．【答案】C

9．【答案】C

10．【答案】B

11．【答案】A

12．【答案】D

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

14．【答案】

15．【答案】

16．【答案】

三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）∵，∴，∴，

故．

（2）∵，

又，，∴，∴．

由（1）可知，从而的面积．

18．【答案】（1）；（2）选择方案①更划算．

【解析】（1）因为甲单位的优惠比例低于乙单位的优惠比例的概率为，

所以甲单位的优惠比例不低于乙单位的优惠比例的概率为．

（2）设在折扣优惠中每籍零件的价格为元，则或．

的分布列为

则．

若选择方案②，则购买总价的数字期望为元．

若选择方案①，由于购买箱能获赠箱，所以该单位只需要购买箱，

从而购买总价为元．

因为，所以选择方案①更划算．

19．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，平面平面，平面平面，

平面，所以平面．

因为平面，所以．

因为，所以，所以．

因为，所以平面．

（2）设，则，

四面体的体积．

，

当时，，单调递增；

当时， ，单调递减，

故当时，四面体的体积取得最大值．

以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，．

设平面的法向量为，

则，即，令，得．

同理可得平面的一个法向量为，

则．

由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）；（2）存在，，．

【解析】（1）因为椭圆过点，所以，

又因为该椭圆的焦距是短轴长的倍，所以，从而．

联立方程组，解得，

所以椭圆的方程为．

（2）设存在这样的常数，使，的面积为定值．

设直线的方程为，点，点，

则由知，，

所以①．

联立方程组，消去得．

所以②，③，

又点到直线的距离，

则的面积④．

将②③代入①得，化简得⑤，

将⑤代入④得

，

要使上式为定值，只需，即需，从而，

此时，，

所以存在这样的常数，此时．

21．【答案】（1）的极大值为，无极小值；（2）．

【解析】（1）当时，，所以函数的定义域为，

所以，且，

令，

所以当时，，，所以．

又，所以当时，，

所以在上单调递减，故．

同理当时，；当时，，

所以在是单调递增，在单调递减，

所以当时，的极大值为，无极小值．

（2）令，

因为对任意都有成立，

所以．

因为，所以．

令，即，解得；令，即，解得．

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．

因为，所以，当时，

令，即，解得；令，即，解得．

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，所以，即实数的取值范围为．

22．【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意可得，

故的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），

消去参数，得的普通方程为，

消去参数，得的普通方程为．

（2）的方程为，即，

因为圆上只有一个点到的距离为，圆的半径为，所以到的距离为，

即，解得（舍去）．

23．【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）当时，，

故不等式的解集为．

（2）∵，

∴，

当或时，不等式显然成立；

当时，，则．

故的取值范围为．