江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第十二次周考数学（理）（B）试卷 Word版含答案

数学（理科B）

满分150分       时间120分钟

一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．已知复数，则在复平面上对应的点所在象限是（       ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合， ，则(        )

A．        B．        C．       D．

3．若，，，则，，的大小关系为（      ）

A． B． C． D．

4．的值是（　   　）

A.​      B.          C.              D.

5．已知则=（       ）

A.               B.              C.             D.

6．给出下列四个命题：

①命题“若，则”的逆否命题为假命题；

②命题，．则，使；

③在中，若，则；

④命题：“，使”．其中正确的个数是（      ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在中，，，，为边上一点，且，则（   ）

A.              B.            C.               D.

8．函数f(x)＝的图象大致是（       ）

A． B． C．D．

9．已知，函数为奇函数，则是成立的(　    　)

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件   C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件

10．使函数为偶函数，且在区间上是减函数的的一个值为（        ）

A．            B．            C．              D．

11.关于函数有下列三个结论：①π是f(x)的一个周期；②f(x)在上单调递增；③f(x)的值域为[－2，2]．则上述结论中，正确的个数为(       )

A.0              B.1                  C.2                  D.3

12．函数（为自然对数的底数，，为常数）有三个不同零点，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知为角终边上一点，且，则________．

14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则          ．

15．已知定义在R上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数a满足，则a的取值范围是              ． 

16．已知分别为三个内角的对边，a=1，且则面积的最大值为____________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－b)2＝c2－ab．

(1）求角C；

(2）若，a＝1，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，点D，E分别在线段AA1，CC1上，且AD＝AA1，DE//AC，F是线段AB的中点．

(1）求证：EF//平面B1C1D；

(2）若AB⊥AC，AB＝AC，AA1＝3AB，求直线BC与平面B1DE所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

函数，其图象上相邻两个最高点之间的距离为．

（1）求的值；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，求在上的单调增区间．

20.（本小题满分12分）2019年某饮料公司计划从两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，现对这两款饮料进行市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两种饮料，并分别对两款饮料进行评分，现对接受调查的100万名受访者的评分进行整理得到如下统计图.

从对以往调查数据分析可以得出如下结论：评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买，评分在的受访者中有会购买.

(Ⅰ)在受访的100万人中，求对款饮料评分在60分以下的人数（单位:万人）；

(Ⅱ)现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率；

(Ⅲ)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你理由.

21.（错题再现）已知函数，在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围；

（2）记两个极值点为，且，证明：.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，直线：.

（1）求曲线和直线的直角坐标方程；

（2）设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求的值

23．设的最小值为.

（1）求实数的值；

（2）设，，，求证：.

数学（理）答案

一一、1-5  DCDAD       6-10  BBCCC             11-12  BA

二、13.     14.        15.       16.

三、17.

19.

18．（1）函数，

其图象上相邻两个最高点之间的距离为，，．

（2）将函数的向右平移个单位，可得的图象；

再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象．

由，可得，

令，求得，

故在上的单调增区间为和

20．依题意，函数的定义域为（1，＋∞）．

（1）当m＝4时，．

，

令，解得或；令，解得．

可知函数的单调递增区间为（1，2）和（5，＋∞），单调递减区间为．

（2）．

若函数有两个极值点，则，解得．

20.(Ⅰ)由对款饮料的评分饼状图，得对款饮料评分在60分以下的频率为为，

对款饮料评分在60分以下的人数为（万人）

(Ⅱ)设受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性为事件.

记购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件；购买款饮料的可能性为为事件.购买款饮料的可能性为为事件.

则，，，

由用频率估计概率得：，，

事件与相互独立，其中.

该受访者购买款饮料的可能性高于购买款饮料的可能性的概率为 ；

(Ⅲ)从受访者对，两款饮料购买期望角度看：款饮料购买期望的分布列为：

方案“选择倾向指数”的分布列为：

，，

根据上述期望可知，故新品推介应该主推款饮料.

21解：（1）由题意知，函数的定义域为，

方程在有两个不同根；

即方程在有两个不同根；

转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图．

可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须．

令切点，

故，又

故，解得，，

故，故的取值范围为

(2)由(1)可知分别是方程的两个根，

即， ，作差得，即

对于，取对数得，即

又因为，所以，得

令，则，，即

设， ，，所以函数在上单调递增，

所以，

即不等式成立，

故所证不等式成立．

22（1）由曲线：得直角坐标方程为，

即的直角坐标方程为：.

由直线：展开的， 即．

（2）由（1）得直线的倾斜角为.所以的参数方程为（为参数），

代入曲线得：.

设交点所对应的参数分别为，则

.

23.（1）

当时，取得最小值，即.

（2）证明：依题意，，则.

所以

，

当且仅当，即，时，等号成立.

所以.