2018年湖南省长沙市小升初数学入学试卷

这是一份2018年湖南省长沙市小升初数学入学试卷，共47页。试卷主要包含了判断题，选择题，填空题，应用题，整百等内容，欢迎下载使用。

2018年湖南省长沙市小升初数学入学试卷
一、判断题（每小题2分，共10分）
1．（2分）（2018•长沙）如图，甲的周长大于乙的周长．　 　．（判断对错）

2．（2分）（2018•长沙）比小比大的分数只有．　 　．（判断对错）
3．（2分）（2018•长沙）一个20°的角，透过放大3倍的放大镜看，这个角是60°．　 　．
4．（2分）（2018•长沙）彩电降价后，再按新价提价出售，这时售价比原价低．　 　．（判断对错）
5．（2分）（2018•长沙）单独做一项工程，甲用的时间比乙多，甲和乙的功效比可能是4：3．　 　．（判断对错）
二、选择题（把正确答案的序号填在括号内，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2018•长沙）两个数的比值是1.2，如果比的前项扩大2倍，后项缩小两倍，比值是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
7．（4分）（2018•青岛）在含盐30%的盐水中，加入5克盐和10克水，这时盐水含盐百分比是（　　）
A．大于30% B．等于30% C．小于30% D．无法确定
8．（4分）（2018•长沙）王师傅加工一批零件，小时加工了这批零件的，全部加工完还需要（　　）小时．
A．1 B． C． D．
9．（4分）（2018•长沙）若，则式中a最多可能表示（　　）个不同的自然数．
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（4分）（2018•青岛）甲数的与乙数的相等，甲数的25%与丙数的20%相等．比较甲、乙、丙三个数的大小，下列结果正确的是哪一个？（　　）
A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．甲＞丙＞乙 D．丙＞甲＞乙
三、填空题（每小题4分，共40分）
11．（4分）（2018•长沙）的分子增加12，要是分数的大小不变，分母应增加　 　．
12．（4分）（2018•长沙）甲、乙、丙三个数的比是2：3：5，已知甲数是28，则乙数是　 　，丙数是　 　．
13．（4分）（2018•长沙）一个长方体，如果沿水平方向切开，得到两个完全相同的正方体，已知每个正方体的表面积是60平方厘米，则这个长方体的表面积是　 　平方厘米．
14．（4分）（2018•长沙）如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是　 　平方厘米．

15．（4分）（2018•长沙）求值：1.2×[7﹣4÷（）+2÷1]＝　 　．
16．（4分）（2018•长沙）规定“*”是一种新运算：“a*b＝a+b÷（b﹣a）”，则2*（1*2）＝　 　．
17．（4分）（2018•长沙）一堆煤共2400吨，前6天运去了这批煤的40%，照这样计算，剩下的煤还要　 　运完．
18．（4分）（2018•长沙）园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有　 　人．
19．（4分）（2018•长沙）计算：20032003×2003﹣20032002×2002﹣20032002＝　 　．
20．（4分）（2018•长沙）算24点是我国传统的扑克游戏，这里有4张扑克牌，红桃3，方片5，黑桃5和梅花9，用它们凑成“24点”的算式是　 　．
四、应用题（5个小题，每小题8分，共40分）
21．（8分）（2018•长沙）一辆公共汽车到了一车站后，下车的人占40%，又上了6人，这时车上的人数是原来人数的，车上原来有多少人？
22．（8分）（2018•长沙）一件工作，甲单独做要15天完成，乙独做要20天完成，现在甲、乙合作12天才完工．在这段时间里，因天气原因，甲休息了3天，那么乙休息了多少天？
23．（8分）（2018•长沙）客车和货车同时从A地，B地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的，当货车行到全程的时，客车已行全程的．A、B两地间的路程是多少千米？
24．（8分）（2018•长沙）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求原来每小时行多少千米？
25．（8分）（2018•长沙）晒谷场上有9堆同样大小的圆锥形小麦，每堆底面周长6.28米，高0.6米，把它运进仓库，用一张长6.78米，宽2米的长方形芦苇围成一个直圆柱粮囤，接头处重叠0.5米，这些小麦能否都可以装进这粮囤？
26．（8分）（2018•长沙）一个商场打折销售，规定购买200元以下的商品不打折，200元到500元的商品全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（含500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次商品，分别用了134元和466元，那么一次购买的话可以再节省多少元？

2018年湖南省长沙市小升初数学入学试卷
参考答案与试题解析
一、判断题（每小题2分，共10分）
1．（2分）（2018•长沙）如图，甲的周长大于乙的周长．　×　．（判断对错）

【考点】O2：长度比较．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】如图：此题可通过用字母代替边长的方法，求出甲乙的周长，然后比较即可．

【解答】解：设AB＝a，BC＝b，曲线BD＝c，则：
甲的周长为：AB+AD+BD＝a+b+c，
乙的周长为：DC+BC+BD＝a+b+c，
因此甲的周长＝乙的周长．
故答案为：×．
【点评】此题解答的关键是通过用字母代替边长的方法，分别求出甲乙的周长．
2．（2分）（2018•长沙）比小比大的分数只有．　×　．（判断对错）
【考点】1C：分数大小的比较．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】大于且小于的分子相同的分数只有．而分子不同的分数有很多个，如：、等．据此解答．
【解答】解：，，
大于小于，
如，都在大于小于的范围之内，
所以题干的说法是错误的．
故答案为：×．
【点评】本题关键是让学生走出：大于小于的分数只有，而分子不同的分数有很多．
3．（2分）（2018•长沙）一个20°的角，透过放大3倍的放大镜看，这个角是60°．　错误　．
【考点】84：角的概念及其分类．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】依据角的定义就可填出正确答案．
【解答】解：角的大小只和两条边张开的大小有关，与边的长短无关，所以本题是错误的．
故此题应填：错误．
【点评】此题主要考查角的概念及分类．
4．（2分）（2018•长沙）彩电降价后，再按新价提价出售，这时售价比原价低．　√　．（判断对错）
【考点】37：分数四则复合应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】把彩电原价看作单位“1”，降价就是以原价的1出售，先依据分数乘法意义，求出降价后的单价，并把此看作单位“1”，再提价出售，就是以此价的1出售，运用分数乘法意义，求出彩电的单价，最后与原价比较即可解答．
【解答】解：1×（1）×（1）
＝1

1
故答案为：√．
【点评】分数乘法意义是解答本题的依据，关键是明确单位“1”的变化．
5．（2分）（2018•长沙）单独做一项工程，甲用的时间比乙多，甲和乙的功效比可能是4：3．　×　．（判断对错）
【考点】3A：简单的工程问题；61：比的意义．菁优网版权所有
【专题】45D：工程问题．
【分析】根据工作量＝工作效率×工作时间，可得工作量一定时，工作效率和工作时间成反比；单独做一项工程，甲用的时间比乙多，所以甲的工作效率一定比乙低，所以甲和乙的功效比不可能是4：3，据此判断即可．
【解答】解：根据工作量＝工作效率×工作时间，
可得工作量一定时，工作效率和工作时间成反比；
单独做一项工程，甲用的时间比乙多，
所以甲的工作效率一定比乙低，
所以甲和乙的功效比不可能是4：3．
故答案为；×．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，解答此题的关键是根据工作量＝工作效率×工作时间，工作量一定时，工作效率和工作时间成反比．
二、选择题（把正确答案的序号填在括号内，每小题4分，共20分）
6．（4分）（2018•长沙）两个数的比值是1.2，如果比的前项扩大2倍，后项缩小两倍，比值是（　　）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
【考点】64：比的性质．菁优网版权所有
【专题】433：比和比例．
【分析】根据比的性质，如果比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，比值会扩大2×2＝4倍，进而用1.2乘4求得现在的比值．
【解答】解：如果比的前项扩大2倍，后项缩小两倍，比值会扩大4倍
那么现在的比值为：1.2×4＝4.8．
故选：C．
【点评】解决此题关键是明确如果比的前项扩大2倍，后项缩小2倍，比值会扩大2×2＝4倍．
7．（4分）（2018•青岛）在含盐30%的盐水中，加入5克盐和10克水，这时盐水含盐百分比是（　　）
A．大于30% B．等于30% C．小于30% D．无法确定
【考点】3V：百分率应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】如果5克盐和10克水放在一起，浓度是5÷（10+5）≈33.3%，加入的盐水含盐率大于原来盐水的含盐率，所以这时盐水含盐率应大于原来的含盐率30%；解答即可．
【解答】解：100%，
≈33.3%；
因为加入的盐水的浓度大于原来盐水中的盐的浓度，所以这时盐水的含盐率应大于30%；
故选：A．
【点评】解答此题应根据题意，把后来加入的盐水的含盐率和原来盐水的含盐率进行比较，继而得出结论．
8．（4分）（2018•长沙）王师傅加工一批零件，小时加工了这批零件的，全部加工完还需要（　　）小时．
A．1 B． C． D．
【考点】3A：简单的工程问题．菁优网版权所有
【专题】45D：工程问题．
【分析】首先根据王师傅加工一批零件，小时加工了这批零件的，工作效率＝工作量÷工作时间，求出每小时加工这批零件的几分之几；求出剩下的工作量，然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，求出全部加工完还需要多少小时即可．
【解答】解；
（1）

（小时）
答：全部加工完还需要小时．
故选：D．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
9．（4分）（2018•长沙）若，则式中a最多可能表示（　　）个不同的自然数．
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】1C：分数大小的比较．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】先把三个分数化成分母相同的分数，再据“分母相同的分数大小比较，分子大的分数就大”即可得出a的取值范围，从而解决问题．
【解答】解：因为若，则若，
所以6＜a+4＜15，
所以2＜a＜11，a可以是3、4、5、6、7、8、9、10，共8个不同的自然数．
故选：B．
【点评】此题主要考查分母相同的分数的大小比较方法的灵活应用．
10．（4分）（2018•青岛）甲数的与乙数的相等，甲数的25%与丙数的20%相等．比较甲、乙、丙三个数的大小，下列结果正确的是哪一个？（　　）
A．甲＞乙＞丙 B．丙＞乙＞甲 C．甲＞丙＞乙 D．丙＞甲＞乙
【考点】HB：比较大小．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】由题意可得：甲数乙数，甲数×25%＝丙数×20%，则可以求出三个数的比，继而确定出三个数的大小关系．
【解答】解：因为甲数乙数，甲数×25%＝丙数×20%，
甲数：乙数：5：4；
甲数：丙数＝20%：25%＝4：5；
乙数甲数，丙数甲数，
所以丙数＞甲数＞乙数；
故选：D．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．
三、填空题（每小题4分，共40分）
11．（4分）（2018•长沙）的分子增加12，要是分数的大小不变，分母应增加　15　．
【考点】1A：分数的基本性质．菁优网版权所有
【专题】414：分数和百分数．
【分析】首先发现分子之间的变化，由4变为（4+12）＝16，扩大了4倍，要使分数的大小相等，分母也应扩大4倍，由此通过计算就可以得出．
【解答】解：原分数分子是4，现在分数的分子是4+12＝16，扩大4倍，
要使分数大小不变，分母也应扩大4倍，
原分数分母是5，变为5×4＝20，即分母增加了20﹣5＝15．
故答案为：15．
【点评】此题主要利用分数的基本性质解答问题，先观察分子或分母之间的变化，发现规律，再进一步通过计算解答问题．
12．（4分）（2018•长沙）甲、乙、丙三个数的比是2：3：5，已知甲数是28，则乙数是　42　，丙数是　70　．
【考点】6A：比的应用．菁优网版权所有
【专题】45C：比和比例应用题．
【分析】甲、乙、丙三个数的比是2：3：5，又知甲数是28，可求出每份的值，28÷2＝14，乙数等于14×3，丙数是14×5求解．
【解答】解：乙数是：
28÷2×3
＝14×3
＝42
丙数是
28÷2×5
＝14×5
＝70
故答案为：42，70．
【点评】本题的关键是求出每份的数，再求出乙数与丙数．
13．（4分）（2018•长沙）一个长方体，如果沿水平方向切开，得到两个完全相同的正方体，已知每个正方体的表面积是60平方厘米，则这个长方体的表面积是　100　平方厘米．
【考点】8S：简单的立方体切拼问题．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】两个正方体拼在一起组成原来的长方体，减少了2个面，所以只要用两个正方体的表面积之和减去2个面的面积即可．
【解答】解：60×2﹣（60÷6）×2
＝120﹣20
＝100（平方厘米）．
答：这个长方体的表面积是100平方厘米．
故答案为：100．
【点评】解答此题应明确把一个长方体分成n个小长方体，切n﹣1次，增加2（n﹣1）个面．
14．（4分）（2018•长沙）如图，两个正方形的边长分别是8厘米和4厘米，则阴影部分的面积是　64　平方厘米．

【考点】AA：组合图形的面积．菁优网版权所有
【专题】461：平面图形的认识与计算．
【分析】阴影部分的面积等于梯形ABCD的面积减去一个三角形AED的面积，如图：

【解答】解：（8+4）×（8+4）÷2﹣4×4÷2
＝12×12÷2﹣8
＝72﹣8
＝64（平方厘米）
答：阴影部分的面积是64平方厘米．
【点评】本题运用梯形的面积公式及三角形的年级公式进行解答即可．
15．（4分）（2018•长沙）求值：1.2×[7﹣4÷（）+2÷1]＝　4　．
【考点】2O：整数、分数、小数、百分数四则混合运算．菁优网版权所有
【专题】421：运算顺序及法则．
【分析】按照先算小括号里面的，再同时算中括号里面的除法，然后算中括号里面的减法，以及中括号里面的加法，最后算括号外面的乘法顺序计算即可解答．
【解答】解：1.2×[7﹣4÷（）+2÷1]
＝1.2×[7﹣42÷1]
＝1.2×[7﹣5+1]
＝1.2×3
＝4
故答案为：4．
【点评】依据四则运算计算方法正确进行计算，是本题考查知识点．
16．（4分）（2018•长沙）规定“*”是一种新运算：“a*b＝a+b÷（b﹣a）”，则2*（1*2）＝　5　．
【考点】HD：定义新运算．菁优网版权所有
【专题】48P：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
【分析】因为a*b＝a+b÷（b﹣a），法则是；等于第一个数加上第二个数与第二个数与第一个数差的商，据此规律解决即可．
【解答】解；因为：a*b＝a+b÷（b﹣a），
所以：
1*2
＝1+2÷（2﹣1）
＝1+2÷1
＝1+2
＝3
所以：
2*（1*2）
＝2*3
＝2+3÷（3﹣2）
＝2+3
＝5
故答案为：5．
【点评】解答本题的依据是；搞清楚规律是怎么样的，然后按照该规律去解答即可．
17．（4分）（2018•长沙）一堆煤共2400吨，前6天运去了这批煤的40%，照这样计算，剩下的煤还要　9天　运完．
【考点】38：百分数的实际应用．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】前6天运去了这批煤的40%，根据分数除法的意义，运走全部煤需要6÷40%天，则剩下的还要6÷40%﹣6天运完．
【解答】解：6÷40%﹣6
＝15﹣6
＝9（天）
答：剩下的还要9天完成．
故答案为：9天．
【点评】首先根据分数除法的意义求出需要总天数是完成本题的关键．完成本题不需要计算具体吨数．
18．（4分）（2018•长沙）园林处需要60﹣70人帮忙植树，附近某中学组织一批学生参加这次植树活动，到现场分组时，发现每2人一组，或每3人一组，或每5人一组均多一人，参加这次植树活动的学生有　61　人．
【考点】3X：公因数和公倍数应用题．菁优网版权所有
【专题】45E：约数倍数应用题．
【分析】明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，先求出2、3、5的公倍数，然后加上1，进而找出符合题意的即可．
【解答】解：2、3、5的公倍数有：30、60、90、…，
所以60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数是：60+1＝61，
即：参加这次植树活动的学生有61人；
故答案为：61．
【点评】明确要求的问题即：60和70之间的比2、3、5的公倍数多1的数，是解答此题的关键．
19．（4分）（2018•长沙）计算：20032003×2003﹣20032002×2002﹣20032002＝　2003　．
【考点】H5：四则混合运算中的巧算．菁优网版权所有
【专题】481：计算问题（巧算速算）．
【分析】根据乘法交换律以及减法的性质先计算后两项，再次运用乘法分配律进行简便计算．
【解答】解：20032003×2003﹣20032002×2002﹣20032002
＝20032003×2003﹣20032002×（2002+1）
＝20032003×2003﹣20032002×2003
＝2003×（20032003﹣20032002）
＝2003×1
＝2003
故答案为：2003．
【点评】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．
20．（4分）（2018•长沙）算24点是我国传统的扑克游戏，这里有4张扑克牌，红桃3，方片5，黑桃5和梅花9，用它们凑成“24点”的算式是　（9﹣5÷5）×3　．
【考点】I2：横式数字谜．菁优网版权所有
【专题】48P：填运算符号、字母等的竖式与横式问题．
【分析】先用“5÷5＝1”，再用“9﹣1＝8”，最后用“8×3”得出最后的结果为24
【解答】解：（9﹣5÷5）×3
＝8×3
＝24
故答案为：（9﹣5÷5）×3．
【点评】观察数字特点，结合运算符号进行分析，关键是让最后一步变成几乘几、几除以几、几加几、或几减几等于24，从中找到解决问题的方法．
四、应用题（5个小题，每小题8分，共40分）
21．（8分）（2018•长沙）一辆公共汽车到了一车站后，下车的人占40%，又上了6人，这时车上的人数是原来人数的，车上原来有多少人？
【考点】39：分数、百分数复合应用题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题．
【分析】公共汽车到了一车站后，下车的人占40%，则此时剩下人数是原来的1﹣40%，又又上了6人，这时车上的人数是原来人数的，则这6人占原来人数的（1﹣40%），根据分数除法的意义，用这6人除以其占原来人数的分率，即得车上原来有多少人．
【解答】解：6÷[（1﹣40%）]
＝6÷[60%]
＝6
＝90（人）
答：车上原来有90人．
【点评】首先根据分数减法的意义求出6人占原来人数的分率是完成本题的关键．
22．（8分）（2018•长沙）一件工作，甲单独做要15天完成，乙独做要20天完成，现在甲、乙合作12天才完工．在这段时间里，因天气原因，甲休息了3天，那么乙休息了多少天？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】45D：工程问题．
【分析】根据题意求出甲的实际工作天数12﹣3＝9天，那么甲完成的工作量即可求出，进而求出乙完成这批零件的工作量，由此求出乙的实际工作天数，再进一步求得乙休息的天数即可．
【解答】解：12﹣[1（12﹣3）]
＝12﹣[1]
＝1220
＝12﹣8
＝4（天）
答：乙休息了4天．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答．
23．（8分）（2018•长沙）客车和货车同时从A地，B地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的，当货车行到全程的时，客车已行全程的．A、B两地间的路程是多少千米？
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】先求出当货车行到全程的时用多少小时，（小时）；再求出相同时间客车行了多少千米，已知客车已行全程的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法解答．
【解答】解：60×（）
＝60
＝520（千米）；
答：A、B两地间的路程是520千米．
【点评】此题属于行程问题，解答关键是求出当货车行到全程的时，客车已行驶多少千米，然后根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，用除法解答．
24．（8分）（2018•长沙）甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，它们从同一地点同时出发，背向而行，5小时相遇，如果两车每小时各加快10千米，那么相遇点距离前一次相遇地点3千米，已知乙车比甲车快，求原来每小时行多少千米？
【考点】M5：环形跑道问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】甲、乙两车原来的速度和＝400÷5＝80（千米/小时） 现在两车的速度和＝80+10+10＝100（千米/小时）； 现在的相遇用时＝400÷100＝4（小时），由于乙车比甲车快，甲车现在4小时比原来多走：10×4＝40（千米），这40千米甲以原来的速度走（5﹣4＝）1小时，还多出3千米． 所以甲车原来的速度：（40﹣3）÷（5﹣4）＝37（千米/小时）．
【解答】解：加速后两车的相遇时间为：
400÷（400÷5+10×2）
＝400÷（80+20），
＝400÷100，
＝4（小时）；
甲车原来的速度：
（40﹣3）÷（5﹣4）
＝37÷1，
＝37（千米/小时）．
答：原来甲车每小时行37千米．
【点评】由所给条件求出两车加速后的相遇时间是完成本题的关键．
25．（8分）（2018•长沙）晒谷场上有9堆同样大小的圆锥形小麦，每堆底面周长6.28米，高0.6米，把它运进仓库，用一张长6.78米，宽2米的长方形芦苇围成一个直圆柱粮囤，接头处重叠0.5米，这些小麦能否都可以装进这粮囤？
【考点】3N：关于圆锥的应用题．菁优网版权所有
【专题】462：立体图形的认识与计算．
【分析】首先由C＝6.28，求出半径；再根据圆锥的体积公式：vsh，h＝0.6米，求出9堆小麦的体积；再张长6.78米，宽2米的长方形芦苇围成一个直圆柱粮囤，接头处重叠0.5米；求出圆柱的底面半径；再根据圆柱的容积公式：v＝sh，求出圆柱形粮囤的容积；比较小麦体积和粮囤容积的大小，即可求解．
【解答】解：小麦的体积：6.28÷3.14÷2＝1（米）
3.14×12×0.6×9
＝3.14×1×0.6×3
＝5.652（立方米）
粮囤的容积：6.78﹣0.5＝6.28（米）
6.28÷3.14÷2＝1（米）
3.14×12×2＝6.28（立方米）
5.652＜6.28
所以这些小麦都可以装进这粮囤．
【点评】此题主要考查圆锥的体积公式、圆柱的容积公式的灵活运用．
26．（8分）（2018•长沙）一个商场打折销售，规定购买200元以下的商品不打折，200元到500元的商品全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（含500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次商品，分别用了134元和466元，那么一次购买的话可以再节省多少元？
【考点】P5：最佳方法问题．菁优网版权所有
【专题】45A：分数百分数应用题；45I：优化问题．
【分析】先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
【解答】解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%）
＝134×20%
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
【点评】本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．

考点卡片
1．分数的基本性质
【知识解释】
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变．这叫做分数的基本性质．

【命题方向】
常考例题：
例1：的分子加上6，如果要使这个分数的大小不变，分母应该（　　）
A、加上20 B、加上6 C、扩大2倍 D、增加3倍
分析：分子加上6后是原来的几倍，根据分数的基本性质，那么分母也是原来的几倍，分数的大小才不变．
解：分子：3+6＝9 9÷3＝3 说明分子扩大了3倍．要想分数的大小不变，那么分母也要扩大3倍，或10×3＝30 30﹣10＝20说明分母应加上20．
故选：A．
本题主要考查分数的基本性质，根据这一性质解答即可．

例2：一个假分数，如果分子、分母同时加上1，则分数的值小于原分数．　×　．
分析：分子大于或者等于分母的分数叫假分数，假分数大于1或等于1．可以用赋值法来判断这道题目的正误即可．
解：假设这个假分数是，分子和分母同时加上1，，因1，1，则这两个分数相等，与分数的值小于原分数不相符．
故答案为：×．
本题是考查假分数的定义，用赋值法来判断正误就比较容易解决．
2．分数大小的比较
【知识点归纳】
分数比较大小的方法：
（1）真、假分数或整数部分相同的带分数；分母相同，分子大则分数大；分子相同，则分母小的分数大；分子和分母都不相同，通分后化成同分母或者同分子的分数再进行比较大小．
（2）整数部分不同的带分数，整数部分大的带分数就比较大．

【命题方向】
常考题型：
例1：小于而大于的分数只有一个分数．　×　（判断对错）
分析：依据分数的基本性质，将两个分数的分子和分母同时扩大若干倍，介于它们中间的真分数就会有无数个，据此即可进行判断．
解：分别将和的分子和分母扩大若干个相同的倍数，在和间会出现无数个真分数，所以，大于而小于的真分数只有一个是错误的．
故答案为：×．
点评：解答此题的关键是依据分数的基本性质将两个的分子和分母扩大若干倍，即可找到无数个介于它们中间的真分数，从而能推翻题干的说法．
3．整数、分数、小数、百分数四则混合运算
【知识点归纳】
1、加法运算：
①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a
②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c）
2、乘法运算：
①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a．
②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c）
③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac
④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc＝c×（a+b）
3、除法运算：
①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c）
②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0）
4、减法运算：
减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c）

运算顺序：同级运算，从左往右依次运算，两级运算，先算乘除，后算加减；有括号的，先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算大括号里面的，最后算括号外面的．

【命题方向】
常考题型：
例：计算
（1）3.41÷25.875﹣（2119.18）
（2）[（13.75﹣7）×2]÷[（112.5%）÷（29）]．
分析：本题根据四则混合运算的运算顺序计算即可：先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的．
（1）的计算过程中可利用一个数减两个数的差，等于用这个数减去两个数中的被减数，加上减数的减法性质计算．
（2）可根据一个数除以两个数的商等于除以这两个数中的被除数乘以除数的除法性质计算．
解：（1）3.41÷25.875﹣（2119.18）
（2119），
＝61921，
＝26﹣21，
＝4；

（2）[（13.75﹣7）×2]÷[（112.5%）÷（29）]
＝[（137）]÷[（1）÷（）]，
＝[]÷[]，
，
＝3．
点评：本题中数据较为复杂，完成时要细心，注意小数、分数之间的互化及通分约分．
4．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（　　）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．

例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（　　）
A、120×（1） B、120÷（1） C、120×（1） D、120÷（1）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
5．分数四则复合应用题
【知识点归纳】



【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（　　）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩（1）（千克），再加千克，这时油重（）千克，计算即可．
解：现在油重：
（1），
，
，
（千克）；
原来油重：
（千克）；
因为．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
6．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间

【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（　　）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．

例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
7．分数、百分数复合应用题
【知识点归纳】
含有三个已知条件的两步计算的应用题，有两个或两个以上的基本数量关系组成的，通常叫做复合应用题；分数、百分数复合应用题，运算按照分数和百分数的运算法则进行运算即可，通常是将分数化成百分数．
成数：在求甲数对于乙数的比时，把比值化成纯小数，所得的纯小数叫做甲数对乙数的成数．如：8成＝0.880%
打折：打折就是在原来售价的基础上降价销售，几折则表示实际售价占原来售价的成数．如：7折＝0.770%

【命题方向】
常考题型：
例1：一捆电线，第一次用去全长的，第二次用去全长的33%，第一次比第二次少用了16米，这捆电线长多少米？
分析：把全长看作单位“1”，16米也就是占全长的（33%），要求全长用除法解答即可．
解：16÷（33%），
＝16，
＝200（米）．
答：这捆电线长200米．
点评：解答此题的关键在于，找出16米所占的分率，也就是占全长的几分之几．

例2：一台洗衣机原价1450元，现降价20%出售，但售价仍比成本高．这台洗衣机成本多少元？
分析：一台洗衣机原价1450元，现降价20%出售，现价就是原价的（1﹣20%），既[1450×（1﹣20%）]元，但售价仍比成本高，就是现价是成本的（1），即[1450×（1﹣20%）÷（1）]元，据此解答．
解：1450×（1﹣20%）÷（1），
＝1450×0.8，
＝1044（元）．
答：这台洗衣机成本1044元．
点评：本题考查了学生根据分数乘法和分数除法的意义解答应用题的能力．
8．简单的工程问题
【知识点归纳】
探讨工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题．
解题关键：把工作总量看做单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后，根据题目的具体情况，灵活运用公式．
数量关系式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
合作时间＝工作总量÷工作效率和

【命题方向】
常考题型：
例1：打一份文件，甲用4小时，乙用6小时，两人合打（　　）小时能完成．
A、 B、 C、10
分析：把这项工程看做单位“1”，那么甲的工作效率是，乙的工作效率是，利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求得两人合打需要的时间，由此即可进行选择．
解：根据题干分析可得：
1÷（），
＝1，
；
答：两人合打小时能完成．
故选：A．
点评：此题考查了工作时间＝工作总量÷工作效率在实际问题中的灵活应用，把工作总量看做单位“1”得出甲和乙的工作效率是解决本题的关键．

例2：要装配210台电脑，已经装了6天，每天装配15台，剩下的每天装配20台，还要几天才能装完？
分析：我们运用要装配电脑的台数减去已经装的台数，除以剩下的每天装配的台数，就是要用的天数．
解：
（210﹣15×6）÷20
＝120÷20
＝6（天）；
答：还要6天才能装完．
点评：本题运用“工作总量÷工作效率＝工作时间”进行解答即可．
9．关于圆锥的应用题
【知识点归纳】

以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥的性质：圆锥的底面是一个圆，圆锥的轴截面都是等腰三角形，圆锥侧面展开图是扇形．
圆锥的高：圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高．
底面周长＝2πr，
圆锥的表面积由侧面积和底面积两部分组成，全面积（S）＝S侧+S底．
一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的．
圆锥体积公式：VSh，其中S是圆柱的底面积，h是圆柱的高，r是圆柱的底面半径．

【命题方向】
常考题型：
例1：把一根体积是27立方分米的圆柱形木料削成一个体积最大的圆锥体．这个圆锥体的体积是　9　立方分米．剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是　2：3　．
分析：把一个圆柱体削成一个最大的圆锥体，说明圆柱与圆锥等底等高，那么圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份，由此即可解答．
解：把圆柱的体积平均分成3份，则圆锥的体积就占其中1份，则剩下部分的体积就是2份，
所以圆锥的体积是：27÷3＝9（立方分米），
剩下木料的体积与原圆柱形木料体积的比是2：3，
故答案为：9，2：3．
点评：此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥的关系：圆柱体积就是圆锥的体积的3倍，或圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的．

例2：一个圆锥形沙堆，底面积是16平方米，高是2.4米，如果每立方米沙重1.7吨，这堆沙重多少吨？
分析：圆锥的体积公式为：Vsh，在此题中，底面积为16平方米，高为2.4米，代入数据计算即可求得这个沙堆的体积，再根据“沙堆的体积×每立方米沙的重量＝这堆沙的总重量”解答即可．
解：16×2.41.7，
＝21.76（吨）；
答：这堆沙重21.76吨．
点评：此题考查了圆锥体积的求解方法，要注意最后不要忘记．
10．百分率应用题
【知识点归纳】
出勤率：
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

【命题方向】
常考题型：
例1：一种树苗实验成活率是98%，为了保证成活380棵，至少要种多少棵树苗？
分析：首先理解“成活率”的概念，成活率是指成活的棵数占总棵数的百分比，即成活率100%．
已知成活率是98%，成活380棵，求至少要种多少棵，根据成活棵数÷成活率，即380÷98%，计算即可．
解：380÷98%，
＝380÷0.98，
≈388（棵）；
答：至少要种388棵树苗．
点评：此题考查了成活率的概念，同时应注意在处理结果时应该用“进一法”．

例2：一个商场打折销售，规定购买200元以下（包括200元）商品不打折，200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出的打八折，一个人买了两次，分别用了134元、466元，那么如果他一次购买这些商品的话，可节省多少元？
分析：先分析销售的办法：
（1）200元以下（包括200元）商品不打折，这种方法最多付款200元；
（2）200元以上500元以下（包括500元）全部打九折，这一阶段最少付款200×90%＝180（元）；
最多付款500×90%＝450（元）；
（3）如购买500元以上的商品，就把500元以内（包括500元）的打九折，超出500元的部分打八折；这一阶段最少付款450元．
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
466元＞450元；它属于第（3）种情况，有500元打九折，付450元；剩下的打八折；所以加上134元后也属于此阶段优惠；把134元按照8折优惠的钱数就是可以节省的钱数．
解：200×90%＝180（元）；
134元＜180元，说明原价就是134元，没有打折；
500×90%＝450（元）；
466＞450；
一次购买134元可以按照8折优惠；
134×（1﹣80%），
＝134×20%，
＝26.8（元）；
答：一次购买可节省26.8元．
点评：本题考查了分类讨论的思想的运用：分析实际付款可按不同方式打折．也考查了实际生活中的折扣问题．
11．公因数和公倍数应用题
【知识点归纳】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．

【命题方向】
常考题型：
例1：有两根木料，一根长12米，另一根长18米，现在要把它们截成长度相等的小段，每根不准有剩余，每小段最长是多少？一共可以截成多少段？
分析：根据题意，可计算出18与12的最大公约数，即是每根小段的最长，然后再用18除以最大公约数加上12除以最大公约数的商，即是一共截成的段数，列式解答即可得到答案．
解：18＝2×3×3，
12＝2×2×3，
所以最大公因数是2×3＝6，
所以每段最长6米，
18÷6+12÷6
＝3+2
＝5（段），
可以截成5段，
答：每小段木条最长6米；一共可以截成5段．
点评：解答此题的关键是利用求最大公约数的方法计算出每小段的最长，然后再计算每根木条可以截成的段数，再相加即可．

例2：甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果4月25日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？
分析：由甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，可知：他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数的数，最小公倍数是72，72天比要比两个月的时间要多，因此再求出4月里还有几天，5月和6月的天数，最后用72减去4月里剩下的天数，再减去5月和6月的天数，得数是几就是7月几日，据此解答．
解：6＝2×3，8＝2×2×2，9＝3×3，
所以6、8、9的最小公倍数：2×3×2×2×3＝72；
4月和6月是小月有30天，5月是大月有31天，
所以4月里还有：30﹣25＝5，5月里有31天，6月里有30天，
还剩下：72﹣5﹣31﹣30＝6（天）；
即下一次都到图书馆是7月6日；
答：下一次都到图书馆是7月6日．
点评：解答本题的关键是：理解他们从4月25日到下一次都到图书馆之间的天数是6、8、9的最小公倍数，再根据年月日的知识，找出4、5、6月里的天数．
12．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．

【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（　　）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1）：1，
：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．

例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（　　）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3xx，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3xx，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
13．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（　　）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．

例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2 甲、乙、丙三数的关系是（　　）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
14．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（　　）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．

例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（　　）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1，乙用的时间为1；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1，
乙用的时间为：1，
甲乙用的时间比：：（24）：（24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
15．角的概念及其分类
【知识点归纳】
1、角的基本概念：
从静态角度认识角：由一个点出发的两条射线组成的图形叫角；
从动态角度认识角：一条射线绕着它的顶点旋转到另一个位置，则这两条射线组成的图象叫角．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．
（1）因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与它的边长无关．
（2）角的大小可以度量，可以比较．
（3）根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．
角的表示：角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，如∠1，∠α，∠BAD等．
2、角的分类：
根据角的度数，角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角．
平角：180°的角，当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角．即射线OA绕点O旋转，当终边在始边OA的反向延长线上时所成的角；
直角：90°的角，即线OA绕点O旋转，当终边与始边垂直时所成的角，平角的一半叫做直角；
锐角：大于0°小于90°的角，小于直角的角叫做锐角；
钝角：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角．
周角：360°的角，即射线OA绕点O旋转，当终边与始边重合时所成的角．

【命题方向】
常考题型：
例1：在可以放大4倍的放大镜中看50°的角，你看到的角的度数是（　　）
A、50° B、100° C、200°
分析：放大镜只能改变物体的大小，而不能改变物体的形状，改变不了夹角的大小，由此判断．
解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的．如方的东西再怎么放大也是方的，圆的东西再怎么放大也是圆的，50°的角在放大镜下，只有边延长，而表示形状的角度大小是不变的，还是50°．
故选：A．
点评：解答本题的难点是：正确掌握放大镜的特性，只改变物体的大小．

例2：钟面上，6点15分时分针和时针所夹的角是（　　）
A、直角 B、锐角 C、钝角 D、平角
分析：当时针指到六点整的时候，时针和分针所夹的角是180°，当分针指到15分时，分针在3上，如时针在6上，则为直角，时针在6和7之间，夹角大于90°且小于180°，可知此角的类别．
解：钟面上，6点15分时分针和时针所夹的角，大于90°且小于180°，则此夹角是钝角．
故选：C．
点评：此题主要考查角的概念及分类．
16．简单的立方体切拼问题
【知识点归纳】
1．拼起来，表面积减小，因为面的数目减少．
2．剪切会增加表面积，因为面的数目增加．
3．两种方式的体积都没有发生变化．

【命题方向】
常考题型：
例1：把两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了（　　）平方分米．
A、4 B、8 C、16
分析：两个棱长都是2分米的正方体拼成一个长方体，表面积正好减少了2个2×2的小正方体的面，由此计算出减少的表面积即可选择．
解：2×2×2＝8（平方分米），
答：这个长方体的表面积比两个正方体的表面积的和减少了8平方分米．
故选：B．
点评：两个正方体拼成一个长方体，表面积减少2个正方体的面．

例2：有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体表面积和原来的表面积相比较，（　　）
A、大了 B、小了 C、不变 D、无法确定
分析：根据观察可得：挖去小正方体后，减少三个面，同时又增加三个面，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的．
解：由图可知，挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积是相等的，
因此，剩下图形的表面积与原来小正方体的表面积大小不变．
故选：C．
点评：本题主要考查正方体的截面．挖去的正方体中相对的面的面积都相等．

17．组合图形的面积
【知识点归纳】
方法：
①“割法”：观察图形，把图形进行分割成容易求得的图形，再进行相加减．
②“补法”：观察图形，给图形补上一部分，形成一个容易求得的图形，再进行相加减．
③“割补结合”：观察图形，把图形分割，再进行移补，形成一个容易求得的图形．

【命题方向】
常考题型：
例1：求图中阴影部分的面积．（单位：厘米）

分析：根据图所示，可把组合图形分成一个直角梯形和一个圆，阴影部分的面积等于梯形的面积减去圆的面积再加上圆的面积减去三角形面积的差，列式解答即可得到答案．
解：[（5+8+5）×5÷23.14×52]+（3.14×52﹣5×5÷2），
＝[18×5÷2﹣0.785×25]+（0.785×25﹣25÷2），
＝[90÷2﹣19.625]+（19.625﹣12.5），
＝[45﹣19.625]+7.125，
＝25.375+7.125，
＝32.5（平方厘米）；
答：阴影部分的面积为32.5平方厘米．
点评：此题主要考查的是梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2、三角形的面积公式底×高÷2和圆的面积公式S＝πr2的应用．
18．四则混合运算中的巧算
【知识点归纳】
1．运用运算定律．
2．商不变的性质：两个数相除，被除数和除数同时扩大（或缩小相同的倍数）商不变．利用这个性质也可以进行一些简便计算．
3．从一个数里连续减去几个数，可以先把所有的减数加在一起，再一次减去．
4．加数（减数）接近整十、整百、整千、…的可以把这个加数（减数）先看作整十、整百、整千的数进行计算，然后按照“多加要减，少加要加，多减要加，少减要减”的原则进行调整．

【命题方向】
常考题型：
例1：99999×77778+33333×66666＝　9999900000　．
分析：根据算式可将666666改写成3×22222，然后用乘法结合律计算3×33333等于99999，再利用乘法分配律进行计算即可得到答案．
解：99999×77778+33333×66666，
＝99999×77778+33333×（3×22222），
＝99999×77778+（33333×3）×22222，
＝99999×77778+99999×22222，
＝99999×（77778+22222），
＝99999×100000，
＝9999900000；
故答案为：9999900000．
点评：此题主要考查的是乘法结合律和乘法分配律再整数计算中的运算．

易错题型：
例2：已知从12+22+…+102＝385，那么1×2+2×3+…+10×11＝　440　．
分析：先把1×2+2×3+…+10×11进行拆项，变为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），然后把从12+22+…+102＝385代入，计算即可．
解：1×2+2×3+…+10×11
＝1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1）
＝（12+22+…+102）+（1+2+3+…+10）
＝385+（1+10）×5
＝440
故答案为：440．
点评：把1×2+2×3+…+10×11转化为1×（1+1）+2×（2+1）+3×（3+1）+4×（4+1）+…+10×（10+1），是解答此题的关键．

【解题方法点拨】
在加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算．
在乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”，要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某数组合到一起，使复杂的计算过程简单化．
19．比较大小
【知识点归纳】

【命题方向】
常考题型：
例1：甲数的与乙数的相等，甲数的25%与丙数的20%相等．比较甲、乙、丙三个数的大小，下列结果正确的是哪一个？（　　）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、甲＞丙＞乙 D、丙＞甲＞乙
分析：由题意可得：甲数乙数，甲数×25%＝丙数×20%，则可以求出三个数的比，继而确定出三个数的大小关系．
解：因为甲数乙数，甲数×25%＝丙数×20%，
甲数：乙数：5：4；
甲数：丙数＝20%：25%＝4：5；
乙数甲数，丙数甲数，
所以丙数＞甲数＞乙数；
故选：D．
点评：此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．

经典题型：
例2：在a×b＝c中，a，b，c都不等于0，如果要使c＜a，那么b必须（　　）
A、大于1 B、等于1 C、小于1
分析：由已知条件a×b＝c，可得b；再根据c＜a，推得1，进而得出结果．
解：因为a×b＝c，所以b；
因为c＜a，所以1，即b1．
故选：C．
点评：先根据两个因数（a和b）以及它们的积（c），表示出另一个因数b，然后根据c＜a，推出1，进而解决问题．

【解题方法点拨】
1、整数的大小比较：位数越多的整数越大，如果位数相同，则从最高位起依次比较各位数字大小，相同位上数字越大的整数越大．
2、小数的大小比较：小数由整数部分和小数部分组成．整数部分的比较规则与整数的比较规则相同，整数部分越大的小数越大．如果整数部分相同，则从十分位起依次比较各位数字，相同位上数字越大的那个小数越大．
3、分数的大小比较：分母相同，分子越小的分数越小；分子相同，分母越小的分数越大．
4、循环小数的大小比较：将所有循环小数补足到足够的相同的位数，即可按照小数的比较法则进行比较．
5、循环小数和分数的大小比较：①对于较简单的情形，将分数化为小数，再按照小数比较大小的规则比较即可．②对于分数形式较复杂的情形，将循环小数化为分数与分数比较大小．
6、特殊方法：
①放缩法：根据分子不变分母改变或者分母不变分子改变，对分数进行一定的处理，得到形式简单的、大小介于两者之间的数，参与比较，简化比较过程．
②倒数法：倒数越大，数越小．某些分子分母之间的关系相差不大的分数作比较时，如果分数结构复杂不适合通分解决，取它们的倒数是比较有效的方法，但必须对分数有特定要求．
③等值放缩比较法：两个分数比较，分母或者分子相差一定的倍数时，使用通分法将分母或者分子放缩为相近的数，然后比较得到的结果．
④归一法：如果相比较的两个分数结构复杂，但是分子分母相差很小，即分数值与1很接近，则将问题转化为比较两个分数与1的差的大小．
20．定义新运算
【知识点归纳】
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算．

注意：
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．

【命题方向】
常考题型：
例1：规定：a△b＝3a﹣2b．已知x△（4△1）＝7，那么x△5＝（　　）
A、7 B、17 C、9 D、19
分析：根据所给出是等式，知道a△b等于3与a的积减去2与b的积，由此用此方法计算4△1的值，再求出x的值，进而求出x△5的值．
解：4△1＝3×4﹣2×1，
＝10，
x△（4△1）＝7，
x△10＝7，
3x﹣2×10＝7，
3x﹣20＝7，
3x＝20+7，
3x＝27，
x＝27÷3，
x＝9；
x△5＝9△5，
＝3×9﹣2×5，
＝27﹣10，
＝17，
故选：B．
点评：解答此题的关键是，根据所给出的等式找出新的运算方法，再根据新的运算方法解决问题．

经典题型：
例2：定义新运算aVb＝a+b﹣1，aWb＝ab﹣1，若xV（xW4）＝30，那么这个式子中x的值为（　　）
A、4.3 B、3.2 C、6.4 D、12.8
分析：由所给算式得出新运算方法为：aVb等于两个数的和减去1，aWb等于两个数的乘积减去1，据此计算xV（xW4）＝30即可解出x的值．
解：xV（xW4）＝30，
xV（x×4﹣1）＝30，
xV（4x﹣1）＝30，
x+4x﹣1﹣1＝30，
5x﹣2＝30，
5x＝32，
x＝32÷5，
x＝6.4．
故选：C．
点评：解决本题的关键是找出新运算方法，根据这个方法计算．

【解题方法点拨】
（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算．
（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式．它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、△、◆、■等来表示的一种运算．
（3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的．
21．横式数字谜
【知识点归纳】
1．横式数字谜问题是指算式是横式形式，并且只给出了部分运算符号和数字，有些数字或运算符号“残缺”，只要我们根据运算法则，进行判断、推理，从而把“残缺”的算式补充完整．
2．解题步骤：
第一步，要仔细审题；
第二步，选择突破口；
第三步，试验求解．

【命题方向】
常考题型：
例1：在下面的乘法算式中“骐骐×骥骥＝奇奇迹迹”，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，汉字“奇迹”表示的数是？（　　）
A、38 B、83 C、64 D、54
分析：个位和十位相同的两个相同的两位数相乘的积是四位数，并且四位数的前两位数字和后两位数字分别相同，所以应该是44×77＝3388，由此得出汉字“奇迹”表示的数．
解：因为44×77＝3388，
所以汉字“奇迹”表示的数是38；
故选：A．
点评：解答此题的关键是根据给出的乘法算式的特点，利用慢慢的尝试的方法求出汉字“奇迹”表示的数．

例2：算式：8÷好少年＝1÷新世纪，当中新、世、纪、好、少、年六个汉子分别代表1、2、3、4、5、6、7、8、9中的六个不同的数字，这个算式是　8÷984＝1÷123　．
分析：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，得1×好少年＝8×新世纪，即好少年＝8×新世纪，即8与一个三位数的积还是一个三位数，据此可知，与8相乘的三位数的最高位上的数字只能是1；且8与十位上的数字相乘的进位不能超过2，只能是1，又每个汉字代表不同的数字，所以十位上的数字只能是2；因为8与十位上的数字相乘的进位不能超过2，故个位数字与8相乘的进位只能小于4，故个位数字可能是4、3；当个位数字是4时，124×8＝992，即好少年是992，与每个汉字代表不同的数字不符，故个位数字只能是3．好少年是984．
解：8÷好少年＝1÷新世纪，所以1×好少年＝8×新世纪，即好少年＝8×新世纪，即8与一个三位数的积还是一个三位数，据此可知，与8相乘的三位数的最高位上的数字只能是1；且8与十位上的数字相乘的进位不能超过2，只能是1，又每个汉字代表不同的数字，所以十位上的数字只能是2；因为8与十位上的数字相乘的进位不能超过2，故个位数字与8相乘的进位只能小于4，故个位数字可能是4、3；当个位数字是4时，124×8＝992，即好少年是992，与每个汉字代表不同的数字不符，故个位数字只能是3．好少年是984．新世纪是123．
算式是：8÷984＝1÷123．
故答案为：8÷984＝1÷123．
点评：本题考查比例的基本性质，以及对两数相乘各个数位上的数字的特点的情况的分析和应用．

【解题方法点拨】
解横式数字谜，首先要熟知下面的运算规则：
（1）一个加数+另一个加数＝和；
（2）被减数﹣减数＝差；
（3）被乘数×乘数＝积；
（4）被除数÷除数＝商．
22．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效；
　　工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
　　1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
　　1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．

例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
x3x＝1，
xx＝1，
x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
23．环形跑道问题
【知识点归纳】
1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈．
环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长．
2．解题方法：
（1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差
（2）简单题利用公式
（3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差．

【命题方向】
经典题型：
例1：环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇．如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米．
（1）求甲乙两人原来的行走速度．
（2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？

分析：（1）根据题干不难得出甲乙的速度之和是：1920÷12＝160米/分；则提高速度后的速度之和就是160+16+16＝192米/分，所以提高速度后甲乙二人相遇的时间是：1920÷192＝10分钟；
因为甲的速度较快，提高速度之后，二人行走的时间变短，所以甲比原来少走了20米，由此设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是x+16米/分，由此根据，即可列出方程，求出x的值即可解答．
（2）甲第二次追上乙时，比乙多走了两周，用两周的路程除以速度差即可得走的时间，用甲的速度乘以时间再除以一周的路程，余数即是离出发点的距离．
解：（1）甲乙原来的速度之和是：1920÷12＝160（米），
提高速度之后的速度之和是：160+16+16＝192（米），
所以提高速度之后二人相遇的时间是：1920÷192＝10（分钟），
设甲原来的速度是x米/分，则提高速度后，甲的速度是（x+16）米/分，根据题意可得方程：
12x﹣10（x+16）＝20，
12x﹣10x﹣160＝20，
2x＝180，
x＝90，
则乙原来的速度是：160﹣90＝70（米/分），
答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分；

（2）1920×2÷（90﹣70）
＝1920×2÷20
＝192（分），
192×90÷1920＝9，说明正好在出发点．
答：甲在出发点第二次追上乙．
点评：本题考查了环形跑道问题．解答此题的关键是根据甲乙第一次相遇的时间求出甲乙的速度之和，从而得出第二次相遇的时间，设出甲的速度，利用甲前后两次行走的路程之差即可列出方程解决问题．
24．长度比较
【知识点归纳】
25．最佳方法问题
【知识点归纳】
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日期：2019/5/6 9:36:26；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902