全国版2021届高考数学二轮复习专题检测十四直线与圆文含解析

专题检测（十四）  直线与圆

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1.“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的(　　)

A.充要条件　　　　 　　  B.充分不必要条件

C.必要不充分条件  D.既不充分也不必要条件

解析：选C　因为两直线平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选C.

2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A.相离  B.相交

C.外切  D.内切

解析：选B　圆O1：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，圆心是O1(1，0)，半径是r1＝1，

圆O2：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，

圆心是O2(0，2)，半径是r2＝2，

因为|O1O2|＝，故|r1－r2|＜|O1O2|＜|r1＋r2|

所以两圆的位置关系是相交.

3.已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A.(3，)  B.(2，)

C.(1，)  D.

解析：选C　直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，).

4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x＋1)2＋y2＝m与圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0内切，则实数m的值为(　　)

A.1  B.11

C.121  D.1或121

解析：选D　圆(x＋1)2＋y2＝m的圆心坐标为(－1，0)，半径为；圆x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为6.由两圆内切得 ＝|－6|，解得m＝1或m＝121.故选D.

5.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)

A.－2  B.－1

C.0  D.1

解析：选C　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.

法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.

6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C：x2＋y2＝1，点A(－2，0)及点B(2，a)，若直线AB与圆C没有公共点，则a的取值范围是(　　)

A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C.∪

D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)

解析：选C　由点A(－2，0)及点B(2，a)，得kAB＝，所以直线AB的方程为y＝(x＋2)，即ax－4y＋2a＝0.因为直线AB与圆C没有公共点，所以＞1，解得a＞或a＜－，所以a的取值范围是∪，故选C.

二、填空题

7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l1：y＝2x，则过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为________.

解析：由题意，圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0.

答案：x＋2y－3＝0

8.已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为________________.

解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2).显然直线x＝1不满足P(0，4)到直线l的距离为2.设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.

答案：y＝2或4x－3y＋2＝0

9.(2019·广东六校第一次联考)已知点P(－1，2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________.

解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3，4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝＝4.

答案：4

三、解答题

10.已知圆(x－1)2＋y2＝25，直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.

(1)求实数a的取值范围；

(2)若弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)，求实数a的值.

解：(1)把直线ax－y＋5＝0代入圆的方程，

消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，

由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，

故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0，

即12a2－5a>0，解得a>或a<0，

所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪.

(2)由于直线l为弦AB的垂直平分线，且直线AB的斜率为a，则直线l的斜率为－，

所以直线l的方程为y＝－(x＋2)＋4，

即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB，

故圆心M(1，0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0，

解得a＝，由于∈，

所以a＝.

11.在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为.

(1)求圆O的方程；

(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程.

解：(1)因为点O到直线x－y＋1＝0的距离为，

所以圆O的半径为 ＝，

故圆O的方程为x2＋y2＝2.

(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0，

由直线l与圆O相切，得＝，即＋＝，则|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.

12.已知A(2，0)，直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.

(1)求|PA|的最大值与最小值；

(2)圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.

解：(1)∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C：(x＋3)2＋(y－m)2＝13(m＜3)所截得的弦长为4，

∴圆心到直线的距离

d＝＝＝1.

∵m＜3，∴m＝2，

∴|AC|＝＝，

∴|PA|的最大值与最小值分别为＋，－.

(2)由(1)可得圆C的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13，

令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，

∴圆C与坐标轴相交于三点M(0，4)，O(0，0)，N(－6，0)，

∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝2，

∴△MON内切圆的半径为＝5－.

B组——大题专攻强化练

1.已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍.

(1)求曲线E的方程；

(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点.当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程.

解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，

由题意得 ＝·，

整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求.

(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0).

设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.

设直线CD：y＝－x＋t，

由解得点P，

由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝ ，

而|NP|2＝＋，|ED|2＝3，

|EP|2＝，

所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，

解得t＝0或t＝3，

所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.

2.已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.

(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；

(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为2，求a的值.

解：(1)由过点A的圆的切线只有一条，得点A在圆上，故12＋a2＝4，解得a＝±.

当a＝时，A(1，)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x＋y－4＝0；

当a＝－时，A(1，－)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x－y－4＝0.

综上所述，当a＝时，切线方程为x＋y－4＝0；当a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.

(2)设直线方程为x＋y＝b，由于直线过点A，则1＋a＝b，即a＝b－1，

又圆心(0，0)到直线x＋y＝b的距离d＝.

所以＋＝4，则b＝±，因此a＝b－1＝－1±.

3.在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上.

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.

解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，

又因为圆的半径为1，

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，

又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，

设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，

所以＝1，解得k＝0或k＝－，

所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，

即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，

所以设圆心C为(a，2a－4)，

又因为圆C的半径为1，

则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.

设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有

＝2，

整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，

所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，所以2－1≤ ≤2＋1，

解得0≤a≤，

所以圆心C的横坐标a的取值范围为.

4.在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，

所以x1x2＝－2.

又C的坐标为(0，1)，

故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，

所以不能出现AC⊥BC的情况.

(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，

可得BC的中垂线方程为y－＝x2.

由(1)可得x1＋x2＝－m，

所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2 ＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.