专题33 基本不等式中常见的方法求最值-2021年高考数学微专题复习（新高考地区专用）练习

专题33  基本不等式中常见的方法求最值

一、题型选讲

题型一 、消参法

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例1、【2020年高考江苏】已知，则的最小值是   ▲    ．

【答案】

【解析】∵

∴且

∴，当且仅当，即时取等号.

∴的最小值为.

故答案为：.

例2、.【江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研】已知，且，则的最小值为_______________.

【答案】10

【解析】因为,所以,

所以

,

因为,所以,

当且仅当,解得,此时,

所以的最小值为:10.

故答案为10

例3、(2017苏北四市期末）. 若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．

【答案】. 8　

【解析】、解法1 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，

所以＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号，此时x＝，所以＋的最小值为8.

解法2 因为实数x，y满足xy＋3x＝3，所以y＝－3(y＞3)，y－3＝－6＞0，

所以＋＝＋＝－6＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当－6＝，即x＝时取等号，此时y＝4，所以＋的最小值为8.

题型二、双换元

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系

例4、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】已知，，且，则的最小值是______.

【答案】

【解析】

设，则，

∵，，

∴

又

当时，，在题目要求范围内，

即

故答案为：

例5、（2013徐州、宿迁三检）若，且，则的最小值为    ．

【答案】：

【解析】、

所以，

因为

所以

题型三、“1”的代换

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形。

例6、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】C

【解析】∵，

∴，

∴，且，，

∴，

∴

，

当且仅当且即时，等号成立；

故选：C．

例7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图可知x，y均为正，设，

共线， ，

，

则，

，

则的最小值为，故选D.

例8、（2020·全国高三专题练习（理））已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意可知直线过圆心，即

当且仅当时，又

即时等号成立，

故的最小值为9.

故答案为：9

题型四、齐次化

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解。

例9、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】已知为正实数，则的最小值为______.

【答案】.

【解析】解：令，

则，

当且仅当，即时，等号成立，

故答案为：.

例10、.【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】若实数满足：，则的最小值为____.

【答案】

【解析】由题意得：，

令，则， ，

设，可得：

，

令，可得，其中舍去，

可得当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

可得当时，原式有最小值，代入可得：

，

故可得的最小值为，

故答案为：.

二、达标训练

1、【2019年高考浙江卷】若，则“”是 “”的

A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件

C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；

当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(    )

A．1 B． C．9 D．18

【答案】A

【解析】奇函数在R上单调，则

故即

当即时等号成立

故选：

3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）

A．10 B．12 C．16 D．9

【答案】D

【解析】由已知，，若不等式恒成立，

所以恒成立，

转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．

4、【2020年高考天津】已知，且，则的最小值为_________．

【答案】4

【解析】，,

，当且仅当=4时取等号，

结合,解得，或时，等号成立.

故答案为：

5、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.

【答案】

【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.

故填：.

6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知实数满足则的最大值为________.

【答案】

【解析】根据柯西不等式：，故，

当，即，时等号成立.

故答案为：.

7、（2020届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）若实数满足，且，则的最大值为______.

【答案】

【解析】实数x、y满足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，则xy＝2，

则，

当且仅当x﹣y，即x﹣y＝2时取等号

故的最大值为，

故答案为．

8、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若正实数满足，则的最小值为______．

【答案】

【解析】令，则，

，即，

，且，

，即的最小值为.