2021高考数学（文）大一轮复习习题 板块命题点专练（四） word版含答案

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1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.
解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f′(1)＝3a＋1.
又f(1)＝a＋2，
∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．
∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.
答案：1
2．(2016·全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
解析：设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ex－1＋x.
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝ex－1＋x.
∵当x＞0时，f′(x)＝ex－1＋1，
∴f′(1)＝e1－1＋1＝1＋1＝2.
∴曲线y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
3．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.
解析：法一：∵y＝x＋ln x，∴y′＝1＋eq \f(1,x)，
y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,, ))x＝1＝2.
∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为
y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，
∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,y＝ax2＋a＋2x＋1，))消去y，得ax2＋ax＋2＝0.
由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.
法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.
设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，axeq \\al(2,0)＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，
∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,))x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ax0＋a＋2＝2，,ax\\al(2,0)＋a＋2x0＋1＝2x0－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝－\f(1,2)，,a＝8.))
答案：8
1.(2014·全国卷Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]
C． B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,3)))
解析：选C f′(x)＝1－eq \f(2,3)cs 2x＋acs x＝1－eq \f(2,3)(2cs2x－1)＋acs x＝－eq \f(4,3)cs2x＋acs x＋eq \f(5,3)，f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0在R上恒成立，令cs x＝t，t∈，则－eq \f(4,3)t2＋at＋eq \f(5,3)≥0在上恒成立，即4t2－3at－5≤0在上恒成立，令g(t)＝4t2－3at－5，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g1＝4－3a－5≤0，,g－1＝4＋3a－5≤0，))解得－eq \f(1,3)≤a≤eq \f(1,3)，故选C.
3．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析：选A 设y＝g(x)＝eq \f(fx,x)(x≠0)，
则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)，
当x>0时，xf′(x)－f(x)0，得g(x)>0，由图知00；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)0时，f(x)在x＝eq \f(1,a)处取得最大值，最大值为
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,a)))＝－ln a＋a－1.
因此feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))>2a－2等价于ln a＋a－1