考点08 一元二次方程与运用-2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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真题回顾

1．(2020广州)直线y=x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．1个或2个
【分析】因为直线y=x+a不经过第二象限，所以a≤0。在根据a的情况进行分类讨论。本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C
【解析】∵直线y=x+a不经过第二象限,∴a≤0.
当a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解;
当a<0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,Δ=4-4a>0,∴方程有两个解.
故方程有1个解或2个解.
故选D.
2．（2020临沂）一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣B．x1＝2+，x2＝2﹣
C．x1＝2+，x2＝2﹣D．x1＝，x2＝﹣
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解析】一元二次方程x2﹣4x﹣8＝0，
移项得：x2﹣4x＝8，
配方得：x2﹣4x+4＝12，即（x﹣2）2＝12，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
故选：B．
3．（2020菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2﹣4x+k＝0的两个根，则k的值为（ ）
A．3B．4C．3或4D．7
【分析】当3为腰长时，将x＝3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式△＝0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．
【解析】当3为腰长时，将x＝3代入x2﹣4x+k＝0，得：32﹣4×3+k＝0，
解得：k＝3；
当3为底边长时，关于x的方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得：k＝4，此时两腰之和为4，4＞3，符合题意．
∴k的值为3或4．
故选：C．
4．（2020凉山州）一元二次方程x2＝2x的根为（ ）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
5．（2020泰安）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解析】∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
6．（2020黑龙江）已知2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（ ）
A．0B．1C．﹣3D．﹣1
【分析】把x＝2代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解析】根据题意，得
（2）2﹣4×（2）+m＝0，
解得m＝1；
故选：B．
7．（2020河南）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．则方程1☆x＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．只有一个实数根
【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．
【解析】由题意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，
∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，
故选：A．
8．（2020鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（ ）
A．20%B．30%C．40%D．50%
【分析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设全市5G用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5G用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5G用户数为2（1+x）2万户，
依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.72，
整理，得：x2+3x﹣1.36＝0，
解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣3.4（不合题意，舍去）．
故选：C．
9．（2020衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（ ）
A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600
C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600
【分析】若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35﹣2x）米，宽为（20﹣x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解析】依题意，得：（35﹣2x）（20﹣x）＝600．
故选：C．
10．（2020安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．x2+1＝2xB．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．
【解析】A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；
B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．
故选：A．
11．（2020黔东南州）若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16B．24C．16或24D．48
【分析】解方程得出x＝4，或x＝6，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
12．（2020铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7B．7或6C．6或﹣7D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解析】∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
13．（2020咸宁）若关于x的一元二次方程（x+2）2＝n有实数根，则n的取值范围是 ．
【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围（利用偶次方的非负性也可以找出n的取值范围）．
【解析】原方程可变形为x2+4x+4﹣n＝0．
∵该方程有实数根，
∴△＝42﹣4×1×（4﹣n）≥0，
解得：n≥0．
故答案为：n≥0．
14．（2020甘孜州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝6，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长．
【解析】x2﹣8x+12＝0，
（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
若x＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；
当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，
故答案为：17．
15．（2020德州）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为 ．
【分析】解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣9x+20＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，
解得：x＝4或x＝5，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．
故答案为：20．
16．（2020黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，则第二轮后共有[1+x+x（x+1）]人患了流感，而此时患流感人数为121，根据这个等量关系列出方程．
【解析】设每轮传染中平均每人传染了x人．
依题意，得1+x+x（1+x）＝121，
即（1+x）2＝121，
解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．
答：每轮传染中平均每人传染了10人．
模拟预测
1．(2020深圳龙岗)哈尔滨自由贸易区挂牌之后,富力城楼盘的价格连续两个月上涨,从9 000元/平方米涨到10 890元/平方米,则平均每月上涨率为 ( )
A．10% B．15% C．20% D．25%
【分析】设平均增长率为x，则第一个月后价格为9000（1+x）元/平方米，第二个月价格为9000（1+x）2元，根据到第二个月后涨到10890元/平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】设平均每月上涨率为x,
依题意,得9 000(1+x)2=10 890,
解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).
故选A.
2．(2020深圳龙岗一模)若关于x的一元二次方程kx2-x-=0有实数根，则实数k的取值范围是 ( )
A．k=0 B．k≥-
C．k≥-且k≠0 D．k>-
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的
实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
【解析】由题意可知Δ=(-1)2-4k×=1+3k≥0,∴k≥-.又∵k≠0,∴k≥-且k≠0,
故选C.
3．(2020梅州大埔模拟)关于x的方程x2+3x+k-1=0有两个相等的实数根，则k的值为
【分析】元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
【解析】根据题意得Δ=32-4×1×(k-1)=0，解得k=.