专题03 数列（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题03 数列

【重难点知识点网络】：

一、等差数列

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

①等差数列定义：定义法或。

②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

2、等差数列的判断方法：定义法或

3、等差数列的通项：或。

①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；

4、等差数列的前和：，。

①前和是关于的二次函数且常数项为0.

5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。

①当时,则有，特别地，当时，则有.

6、若是等差数列 ， ，…也成等差数列.

二、等比数列

1、等比数列的判断方法：定义法

2、等比数列的通项：或。

3、等比数列的前和：

①当时，；②当时，。

4、等比中项：若成等比数列，则A叫做与的等比中项，且。

①当时，则有。

5、若是等比数列 ， ，…也成等比数列.

【重难点题型突破】：

一、等差数列与等比数列的证明

例1、若是数列的前项和,,则是( 　　)

A．等比数列,但不是等差数列          B.等差数列,但不是等比数列

C．等差数列,而且也是等比数列       D.既非等数列又非等差数列

【变式训练1-1】、已知数列 满足 ,则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列”的（   ）

A．充分不必要条件                    B．必要不充分条件

C．充分必要条件                       D．即不充分也不必要条件

【变式训练1-2】、已知数列的前项和,则““是“数列是等比数列”的（    ）．

A．充分不必要条件         B．必要不充分条件

C．充要条件               D． 既不充分也不必要条件

【变式训练1-3】、已知数列满足： ， .

（Ⅰ）求证：数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【变式训练1-4】、已知数列满足 .

（1）证明： 是等比数列；

（2）令，求数列的前项和.

二、复杂数列的求和问题

例2、已知数列的通项公式为=,求的最大项．

【变式训练2-1】、在数列{an}中,an＝(n＋1)(n∈N*).

(1)求证：数列{an}先递增,后递减；

(2)求数列{an}的最大项.

【变式训练2-2】、在等差数列{an}中,a1＝7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n＝8时Sn取最大值,则d的取值范围是________．

【变式训练2-3】、在等差数列中， ，若它的前项和有最大值，则当时， 的最大值为（  ）

A. 11    B. 12    C. 13    D. 14

【变式训练2-4】、已知在各项为正数的等比数列中， 与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（   ）

1. 32    B. 16    C. 8    D. 4

三、数列与函数、不等式结合

例3、设等差数列的前项和为,若,, 则的最大值为______.

【变式训练3-1】、在等差数列中, ,若它的前项和有最大值,则当时, 的最大值为（  ）

A. 11    B. 12    C. 13    D. 14

【变式训练3-2】、已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意恒成立，则的取值范围是（    ）

A．   B．   C．   D．

 【变式训练3-3】、已知等差数列中， ，满足，则等于（    ）

A. 和    B. 和    C. 和    D. 和