中考数学专题复习 教材改编题拓展--平行四边形练习题(含解析)

教材改编题拓展--平行四边形

1．(北师八下P138例2)已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F.

求证：OE＝OF.

第1题图

【1－变式拓展】(2018百色)平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O.

(1)求证：OE＝OF；

(2)若AD＝6，求tan∠ABD的值．

1－变式拓展题图

2．(北师八下P158页第4题)已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD、CF⊥BD，垂足分别为E、F.求证：∠BAE＝∠DCF.

第2题图

【2－变式拓展】(2018衢州)如图，在□ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：AE＝CF.

2－变式拓展题图

3．(北师九上P121 第17题)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q，求BP∶PQ∶QR.

第3题图

【3－变式拓展1】(2019烟台)如图，面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为(　　)

3－变式拓展1题图

A. 　　　　　　　B.              C.               D.

【3－变式拓展2】(2018雅安)如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC和CD于点P，Q.

(1)求证：△ABC≌△DCE；

(2)求的值．

3－变式拓展2题图

【3－变式拓展3】(2019湖州)如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.

(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；

(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．

3－变式拓展3题图

4．(北师八下P144例2)已知：如图，E、F是□ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．

第4题图

【4－变式拓展】如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F.

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若AB＝13，AD＝20，DE＝12，求□□BEDF的面积．

4－变式拓展题图

教材改编题拓展

1．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分)

AD∥BC(平行四边形的定义)

∴∠ODE＝∠OBF.

∵∠DOE＝∠BOF，

∴△DOE≌△BOF.

∴OE＝OF.

【1－变式拓展】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ODF＝∠OBE，∠OFD＝∠OEB，

∵EF垂直平分BD，

∴OD＝OB，

在△ODF和△OBE中，

∴△ODF≌△OBE(AAS)，

∴OE＝OF；

(2)解：如解图，过点D作DG⊥AB于点G，

∵∠A＝60°，AD＝6，

∴DG＝AD·sin60°＝6×＝3，AG＝AD·cos60°＝6×＝3.

∵AB＝2AD＝12，

∴BG＝AB－AG＝12－3＝9.

∴tan∠ABD＝＝＝.

1－变式拓展题解图

2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠CDF.

又∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF.

∴∠BAE＝∠DCF.

【2－变式拓展】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD.

∴∠BAE＝∠DCF.

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠BEA＝∠DFC＝90°，

在△BAE和△DCF中，

∴△BAE≌△DCF(AAS)，

∴AE＝CF.

3．解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴AD＝BC＝CE，AC＝DE，AC∥DE.

∵R为DE中点，

∴RE＝DR＝DE＝AC.

∴PC为△BER的中位线．

∴BP＝PR，PC＝RE＝DE.

∵AC∥DE，

∴△CQP∽△DQR.

∴＝＝.

∴QR＝2PQ.

∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2，

【3－变式拓展1】A　

【3－变式拓展2】证明：(1)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

∴AB＝CD，BC＝AD＝CE，AC＝DE，

∴△ABC≌△DCE(SSS)；

(2)解：在△BER中，C为BE中点且CP∥RE

∴CP为△BER的中位线，

∴CP∶RE＝1∶2，

又∵点R为DE的中点，

∴RE＝DR，

∴CP∶DR＝1∶2，

又∵CP∥DR，

∴∠CPQ＝∠DRQ，∠PCQ＝∠RDQ，

∴△CPQ∽△DRQ，

∴PQ∶QR＝CP∶DR＝1∶2，

∴＝.

【3－变式拓展3】(1)证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，

∴DF∥BC，FE∥AB.

∴四边形BEFD是平行四边形；

(2)解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，

∴DF＝DB＝DA＝AB＝3.

由(1)得，四边形BEFD是平行四边形，

∴四边形BEFD是菱形．

∵DB＝3，

∴四边形BEFD的周长为12.

4．证明：如解图，连接BD，交AC于点O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵AE＝CF，

∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

第4题解图

【4－变式拓展】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠BAF＝∠DCE，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴BF∥DE，∠AFB＝∠CED＝90°，

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE(AAS)，

∴BF＝DE，

又∵BF∥DE，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)解：∵AB＝13，

∴CD＝13.

∴EC＝＝＝5.

∴AF＝EC＝5.

∵AE＝＝＝16，

∴EF＝AE－AF＝11.

∴S□BEDF＝EF·DE＝11×12＝132.