第一章数与式第五节分式及其运算 试卷

第五节　分式及其运算

姓名：________　班级：________　

1．把分式中的x，y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值(     )

A．不变

B．扩大到原来的2倍

C．扩大到原来的4倍

D．缩小到原来的

2．若分式值为0，则x的值为(     )

A．0  B．1  C．－1 D．±1

3．已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(     )

A.＝  B．2a＝3b  C.＝  D．3a＝2b

4．计算(1＋)÷的结果是(     )

A．x＋1   B.  C.  D.

5．要使分式有意义，则x的取值范围是____________．

6．当x＝2时，代数式(＋x)÷的值是______．

7．化简：(2－)÷.

8.先化简，再求值：÷(a－1－)并从－1，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值.

9．化简代数式：(－)÷，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．

10．已知a是方程x2＋x－1＝0的一个根，则－的值为(     )

A.    B.

C．－1     D．1

11．如图，设k＝(a>b>0)，则有(     )

A．k>2   B．1<k<2  C.<k<1  D．0<k<

12．对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y＝＋.若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是________．

13.将数1个1，2个，3个，…，n个(为正整数)顺次排成一列：

1，，，，，，…，，，…，记a1＝1，a2＝，a3＝，…，S1＝a1，S2＝a1＋a2，

S3＝a1＋a2＋a3，…，Sn＝a1＋a2＋…＋an，则S2 018＝________.

14.已知a＞b＞0，且＋＋＝0，则＝__________. 

15．观察以下等式：

第1个等式：＋＋×＝1，

第2个等式：＋＋×＝1，

第3个等式：＋＋×＝1，

第4个等式：＋＋×＝1，

第5个等式：＋＋×＝1，

…

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．

16．对于正数x，规定f(x)＝，例如：f(4)＝＝，f()＝＝，求f(2 016)＋f(2 015)＋…＋f(2)＋f(1)＋f()＋…＋f()＋f()．

17.先化简，再求值：

(－)÷，其中a是方程a2＋a－6＝0的解．

18．设A＝÷(a－)．

(1)化简A；

(2)当a＝3时，记此时A的值为f(3)；当a＝4时，记此时A的值为f(4)；…

解关于x的不等式：－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，并将解集在数轴上表示出来．

19．阅读下面材料，并解答问题．

材料：将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式．

解：由分母为－x2＋1，可设－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，

则－x4－x2＋3＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．

∵对于任意x，上述等式均成立，

∴∴

∴＝

＝＋＝x2＋2＋，

这样，分式被拆分成了一个整式x2＋2与一个分式的和．

解答：

(1)将分式拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式；

(2)试说明的最小值为8.

20．设＝a(a≠0)，求的值．

参考答案

【基础训练】

1．A　2.B　3.B　4.B　5.x≠2　6.3

7．解：原式＝÷

＝·

＝.

8．解：原式＝÷(－)

＝÷

＝·

＝.

由题意可知a＋1≠0，a≠0，a－2≠0，所以a≠－1，a≠0，a≠2，

当a＝1时，原式＝－1.

9．解：解不等式①得x≤1，

解不等式②得x＞－3，

∴不等式组的解集为－3＜x≤1.

(－)÷

＝·

＝·

＝3(x＋1)－(x－1)

＝3x＋3－x＋1

＝2x＋4.

∵x≠0，x≠±1，

∴当x取－2时，原式＝2×(－2)＋4＝0.

【拔高训练】

10．D　11.B　12.－1

13.　14.

15．解：(1)＋＋×＝1

(2)＋＋×＝1

证明：∵左边＝＋＋×＝＝1，右边＝1

∴左边＝右边，∴原等式成立．

16．解：∵当x＝1时，f(1)＝；当x＝2时，f(2)＝，当x＝时，f()＝；当x＝3时，f(3)＝；当x＝时，f()＝，…，

∴f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，

∴f(n)＋…＋f(1)＋…＋f()＝f(1)＋(n－1)，

∴f(2 016)＋f(2 015)＋…＋f(2)＋f(1)＋f()＋…＋f()＋f()＝f(1)＋(2 016－1)＝＋2 015＝2 015.5.

17．解：原式＝·＝.

解a2＋a－6＝0得(a＋3)(a－2)＝0，

解得a＝－3或a＝2，

∵a－2≠0，∴a≠2，

∴a＝－3.

当a＝－3时，原式＝＝＝.

18．解：(1)A＝÷(a－)

＝÷

＝·

＝·

＝

＝.

(2)∵当a＝3时，f(3)＝＝，

a＝4时，f(4)＝＝，

a＝5时，f(5)＝＝，

…

∴－≤f(3)＋f(4)＋…＋f(11)，

即－≤＋＋…＋，

∴－≤－＋－＋…＋－，

∴－≤－，

∴－≤，

解得x≤4，

∴原不等式的解集是x≤4，在数轴上表示如下所示，

【培优训练】

19．解：(1)由分母为－x2＋1，可设－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b，

则－x4－6x2＋8＝(－x2＋1)(x2＋a)＋b＝－x4－ax2＋x2＋a＋b＝－x4－(a－1)x2＋(a＋b)．

∵对于任意x，上述等式均成立，

∴∴

∴＝＝＋

＝x2＋7＋.

这样，分式被拆分成了一个整式x2＋7与一个分式的和．

(2)由＝x2＋7＋知，

对于x2＋7＋，当x＝0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，

即的最小值为8.

20．解：∵a≠0，＝a，

∴＝，即x＋＝－1

∵＝x2＋1＋＝(x＋)2－1

＝(－1)2－1＝－＝

∴＝.