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2020 第1部分 专题1 第4讲 万有引力与航天
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这是一份2020 第1部分 专题1 第4讲 万有引力与航天，共15页。
第4讲 万有引力与航天
[高考统计·定方向] (教师授课资源)
考点
考向
五年考情汇总
1.万有引力定律的应用
考向1.万有引力定律及开普勒行星运动定律的应用
2019·全国卷Ⅱ T14
2018·全国卷Ⅲ T15
2017·全国卷Ⅱ T19
2016·全国卷Ⅲ T14
考向2.天体质量(密度)的估算
2018·全国卷Ⅱ T16
2.天体运行规律
考向1.天体运行参数
2019·全国卷Ⅲ T15
2018·全国卷Ⅰ T20
2017·全国卷Ⅲ T14
考向2.地球上的物体和地球卫星
2016·全国卷Ⅰ T17
考向3.卫星的变轨与对接问题
2015·全国卷 T21
万有引力定律的应用(5年5考)
❶近几年高考对本考点的考查形式以选择题为主。命题点集中在万有引力定律、开普勒第三定律的应用及天体质量和密度的估算。对开普勒第一定律和开普勒第二定律的命题常以定性分析或物理学史的形式。
❷预计2020年命题仍会保持以上特点。
1．(2018·全国卷Ⅲ·T15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
C [由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。]
2．(2019·全国卷Ⅱ·T14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
A B C D
D [由万有引力定律可知，探测器受到的万有引力F＝，其中R为地球半径。在探测器“奔向”月球的过程中，离地面距离h增大，其所受的万有引力非线性减小，故选项D正确。]
3．(多选)(2017·全国卷Ⅱ·T19)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
CD [从P到Q的时间为T0，根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确；故选C、D。]
4．(2018·全国卷Ⅱ·T16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
C [毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。]
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅲ·T14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B [开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A、C、D错误，B正确。]
1．开普勒第三定律
(1)＝k，其中k与中心天体有关，r是椭圆轨道的半长轴。(如上T1)
(2)对同一中心天体的所有行星，该公式都成立。
2．估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。(如上T4)
考向1 开普勒行星运动定律的应用
1．(2019·重庆七校联考)2018年2月7日凌晨，太空技术探索公司Space X成功通过猎鹰重型火箭将一辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。如图所示，已知地球中心到太阳中心的距离为rD，火星中心到太阳中心的距离为rH，地球和火星绕太阳运动的轨迹均可看成圆，且rH＝1.4rD，若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移，则其在椭圆轨道上的环绕周期约为( )
A．1.69年 B．1.3年
C．1.44年 D．2年
B [设跑车在椭圆轨道上的运行周期为T，椭圆轨道的半长轴为R，由开普勒第三定律有＝，其中R＝，TD＝1年，解得跑车在椭圆轨道上的运行周期T≈1.3年，B正确。]
考向2 天体质量(密度)的估算
2．(2019·合肥市高三质检)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航空工程进入了一个新高度。已知地球和月球的半径之比为4∶1，表面重力加速度之比为6∶1。则地球和月球的密度之比为( )
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1
B [对于天体表面的物体，由重力近似等于万有引力，有G＝mg，解得M＝，又ρ＝，V＝πR3，整理得ρ＝。结合题中的信息可知地球和月球的密度之比为3∶2，B正确，A、C、D错误。]
3．(多选)18世纪末，英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，可以计算出( )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．月球、地球及太阳的密度
AB [设地球表面的一个物体的质量为m0，则有m0g＝，解得地球质量m地＝，选项A正确；对地球绕太阳运动，有＝m地L2，解得太阳的质量m太＝，选项B正确；已知地球质量和地球半径，能求地球密度，不知道月球的相关参量及月球卫星的运动参量，无法求出月球的质量和密度，选项C、D错误。]
天体的运行规律(5年5考)
❶高考对本考点的考查形式以选择题为主，命题点集中在卫星运行中物理量的变化规律，涉及单星运行和多星运行，题目难度不大。
❷2020年备考要关注以卫星变轨为背景的物理量变化的题目。
1．(2019·全国卷Ⅲ·T15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D均错误。]
2．(2017·全国卷Ⅲ·T14)2017年4月，我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
C [“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确。]
3．(多选)(2018·全国卷Ⅰ·T20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。]
[教师备选题]
1．(多选)(2015·全国卷Ⅰ·T21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
BD [设月球表面的重力加速度为g月，则＝＝·＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2。
A．由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝＝ m/s≈3.7 m/s，选项A错误。
B．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确。
C．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误。
D．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则＝＝＝＜1，故v1＜v2，选项D正确。]
2．(2016·全国卷Ⅰ·T17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
B [万有引力提供向心力，对同步卫星有：
＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星A、B、C如图所示分布
则有＝
解得T′≈＝4 h，选项B正确。]
1．重力与万有引力的关系
(1)在赤道上：G＝mg1＋F向。
(2)在两极：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与F向的矢量和。
2．卫星运行参量计算及比较问题须掌握“一模型、两思路”
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma，(如上T1，T3)。
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换式”。
3．变轨问题“四点注意”
(1)点火加速，v突然增大，G
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
如图所示是“嫦娥四号”环月变轨的示意图。在圆轨道Ⅰ上运行的“嫦娥四号”通过变轨后绕圆轨道Ⅱ运行，则下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的线速度大于在轨道Ⅱ上的线速度
B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的角速度大于在轨道Ⅱ上的角速度
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
D．“嫦娥四号”由轨道Ⅰ通过加速才能变轨到轨道Ⅱ
C [“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，由此可知＝mω2r＝m＝mr，线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝2π，轨道Ⅰ的半径大，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的线速度小、角速度小、周期大，故A、B错误，C正确；“嫦娥四号”从较高轨道向较低轨道运行时，需在较高轨道上减速，使得万有引力大于“嫦娥四号”在该轨道上做匀速圆周运动所需的向心力，从而做向心运动，减小轨道半径，D错误。]
反思：本题以变轨为背景，考查了圆周轨道上物理量的变化，要注意以下两点：
(1)圆轨道物理量的比较要分析v、ω、T与r的关系。
(2)“变轨”要分清“离心”运动还是“近心”运动。
考向1 天体的运行参数
1．(多选)(2019·福建省五校第二次联考)2018年2月12日13时03分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五、第六颗北斗三号全球组网卫星。北斗导航系统中，某颗卫星绕地球做圆周运动，其向心加速度大小为a，线速度大小为v，引力常量为G，由以上数据可知( )
A．该卫星的轨道半径为
B．该卫星的角速度大小为
C．该卫星的周期为
D．该卫星的质量为
BC [根据a＝可得，该卫星的轨道半径为r＝，选项A错误；根据a＝ωv得，该卫星的角速度为ω＝，选项B正确；该卫星的周期为T＝＝，选项C正确；该卫星绕地球做圆周运动，该卫星是环绕天体，无法通过万有引力提供向心力求出该卫星的质量，选项D错误。]
2．(易错题)(2019·江西抚州七校联考)2018年7月10日，我国成功发射了第32颗北斗导航卫星，该卫星的轨道半径为36 000 km,7月29日又以“一箭双星”的方式成功发射了第33、34颗北斗导航卫星，这两颗卫星的轨道半径均为21 500 km。下列说法正确的是( )
A．这三颗卫星的发射速度均小于7.9 km/s
B．第32颗北斗导航卫星在轨道上运行时的速率比第33颗北斗导航卫星的大
C．第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的加速度大小之比为
D．第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的运动周期之比为
C [7.9 km/s是发射卫星的最小发射速度，A错误；根据万有引力提供向心力有＝，解得v＝，因为第32颗北斗导航卫星的轨道半径比第33颗北斗导航卫星的大，所以第32颗北斗导航卫星在轨道上运行时的速率比第33颗北斗导航卫星的小，B错误；根据万有引力提供向心力有＝ma，解得a＝，代入数据解得第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的加速度大小之比为，C正确；根据万有引力提供向心力有＝，解得T＝，代入数据解得第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的运动周期之比为，D错误。]
易错点评：在于对卫星运行各物理量的关系理解不深刻。
考向2 地面物体与地球卫星的比较
3．(多选)(2019·安徽示范高中期末联考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是，a在2小时内转过的圆心角是
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时
BC [a在地球表面随地球一起转动，其万有引力等于重力与向心力之和，且重力远大于向心力，故a的向心加速度远小于重力加速度g，根据牛顿第二定律，万有引力提供向心力，G＝man，解得向心加速度an＝，由于卫星d的轨道半径大于卫星c的轨道半径，所以卫星c的向心加速度大于d的向心加速度，选项A错误；地球同步卫星c绕地球运动的角速度与地球自转角速度相同，相同时间内a、c转过的弧长对应的角度相等，由＝m可得v＝，轨道半径越小速度越大，则vb>vc>vd，又a与c角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，故vc>va，即b的速度最大，所以在相同时间内b转过的弧长最长，选项B正确；a、c角速度相同，在4小时内转过的圆心角都为＝，在2小时内转过的圆心角都为＝，选项C正确；c和b的轨道半径都小于d的轨道半径，由开普勒第三定律可知，b的运动周期一定小于d的运动周期，d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时)，选项D错误。]
考向3 卫星变轨与对接
4．(多选)(2019·唐山市高三摸底)2018年5月9日2时28分，高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射，它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图，先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星的质量变化。下列叙述正确的是( )
A．高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能小于在轨道Ⅲ上的动能
B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小、在轨道Ⅲ上最大
C．高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度
D．高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨要减速
BC [卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m，动能Ek＝mv2，联立解得Ek＝，由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上的运行半径小于在轨道Ⅲ上的运行半径，所以高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能大于在轨道Ⅲ上运动的动能，选项A错误；由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小，在轨道Ⅲ上最大，选项B正确；由G＝ma，可知高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，选项C正确；高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨也要加速，选项D错误。]
中国探月工程，又称“嫦娥工程”。2004年，中国正式开展月球探测工程。嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段。2007年10月24日18时05分，“嫦娥一号”成功发射升空，在圆满完成各项使命后，于2009年按预定计划受控撞月。2010年10月1日18时57分59秒“嫦娥二号”顺利发射，也已圆满并超额完成各项既定任务。2011年离开拉格朗日点L2点后，向深空进发，现今仍在前进，意在对深空通信系统进行测试。2013年9月19日，探月工程进行了嫦娥三号卫星和玉免号月球车的月面勘测任务。“嫦娥四号”2019年1月3日成功落在月球的背面，进一步揭开月球神秘面纱。
[典例1] (多选)如图是“嫦娥四号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”飞行速度一定越来越小
B．“嫦娥四号”的动能可能增大
C．“嫦娥四号”的动能和引力势能之和一定不变
D．“嫦娥四号”的动能和引力势能之和可能增大
AC [在地月转移段“嫦娥四号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥四号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误。关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥四号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。]
[典例2] 如图所示为“嫦娥四号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
[解析] (1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为v1，则有mg′＝G，
mg＝G
解得g′＝g
由v－v2＝2g′h2得vt＝。
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp，有ΔE＝ΔEk＋ΔEp
则ΔE＝mv2＋－mgh1＝mv2－mg(h1－h2)。
[答案] (1)g
(2)mv2－mg(h1－h2)
第4讲 万有引力与航天
[高考统计·定方向] (教师授课资源)
考点
考向
五年考情汇总
1.万有引力定律的应用
考向1.万有引力定律及开普勒行星运动定律的应用
2019·全国卷Ⅱ T14
2018·全国卷Ⅲ T15
2017·全国卷Ⅱ T19
2016·全国卷Ⅲ T14
考向2.天体质量(密度)的估算
2018·全国卷Ⅱ T16
2.天体运行规律
考向1.天体运行参数
2019·全国卷Ⅲ T15
2018·全国卷Ⅰ T20
2017·全国卷Ⅲ T14
考向2.地球上的物体和地球卫星
2016·全国卷Ⅰ T17
考向3.卫星的变轨与对接问题
2015·全国卷 T21
万有引力定律的应用(5年5考)
❶近几年高考对本考点的考查形式以选择题为主。命题点集中在万有引力定律、开普勒第三定律的应用及天体质量和密度的估算。对开普勒第一定律和开普勒第二定律的命题常以定性分析或物理学史的形式。
❷预计2020年命题仍会保持以上特点。
1．(2018·全国卷Ⅲ·T15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1
C [由开普勒第三定律得＝k，故＝＝＝，C正确。]
2．(2019·全国卷Ⅱ·T14)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
A B C D
D [由万有引力定律可知，探测器受到的万有引力F＝，其中R为地球半径。在探测器“奔向”月球的过程中，离地面距离h增大，其所受的万有引力非线性减小，故选项D正确。]
3．(多选)(2017·全国卷Ⅱ·T19)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中( )
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
CD [从P到Q的时间为T0，根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确；故选C、D。]
4．(2018·全国卷Ⅱ·T16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
C [毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正确。]
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅲ·T14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
B [开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A、C、D错误，B正确。]
1．开普勒第三定律
(1)＝k，其中k与中心天体有关，r是椭圆轨道的半长轴。(如上T1)
(2)对同一中心天体的所有行星，该公式都成立。
2．估算中心天体的质量和密度的两条思路
(1)利用中心天体的半径和表面的重力加速度g计算。由G＝mg求出M＝，进而求得ρ＝＝＝。
(2)利用环绕天体的轨道半径r和周期T计算。由G＝mr，可得出M＝。若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝。(如上T4)
考向1 开普勒行星运动定律的应用
1．(2019·重庆七校联考)2018年2月7日凌晨，太空技术探索公司Space X成功通过猎鹰重型火箭将一辆特斯拉跑车送入绕太阳飞行的轨道。如图所示，已知地球中心到太阳中心的距离为rD，火星中心到太阳中心的距离为rH，地球和火星绕太阳运动的轨迹均可看成圆，且rH＝1.4rD，若特斯拉跑车沿图中椭圆轨道转移，则其在椭圆轨道上的环绕周期约为( )
A．1.69年 B．1.3年
C．1.44年 D．2年
B [设跑车在椭圆轨道上的运行周期为T，椭圆轨道的半长轴为R，由开普勒第三定律有＝，其中R＝，TD＝1年，解得跑车在椭圆轨道上的运行周期T≈1.3年，B正确。]
考向2 天体质量(密度)的估算
2．(2019·合肥市高三质检)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航空工程进入了一个新高度。已知地球和月球的半径之比为4∶1，表面重力加速度之比为6∶1。则地球和月球的密度之比为( )
A．2∶3 B．3∶2 C．4∶1 D．6∶1
B [对于天体表面的物体，由重力近似等于万有引力，有G＝mg，解得M＝，又ρ＝，V＝πR3，整理得ρ＝。结合题中的信息可知地球和月球的密度之比为3∶2，B正确，A、C、D错误。]
3．(多选)18世纪末，英国物理学家卡文迪许测出了引力常量G，因此卡文迪许被人们称为“能称出地球质量的人”。若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，可以计算出( )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．月球、地球及太阳的密度
AB [设地球表面的一个物体的质量为m0，则有m0g＝，解得地球质量m地＝，选项A正确；对地球绕太阳运动，有＝m地L2，解得太阳的质量m太＝，选项B正确；已知地球质量和地球半径，能求地球密度，不知道月球的相关参量及月球卫星的运动参量，无法求出月球的质量和密度，选项C、D错误。]
天体的运行规律(5年5考)
❶高考对本考点的考查形式以选择题为主，命题点集中在卫星运行中物理量的变化规律，涉及单星运行和多星运行，题目难度不大。
❷2020年备考要关注以卫星变轨为背景的物理量变化的题目。
1．(2019·全国卷Ⅲ·T15)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金＜R地＜R火，由此可以判定( )
A．a金＞a地＞a火 B．a火＞a地＞a金
C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝ma，解得a＝G，结合题中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，选项A正确，B错误；同理，有G＝m，解得v＝，再结合题中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，选项C、D均错误。]
2．(2017·全国卷Ⅲ·T14)2017年4月，我国成功发射的“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道(可视为圆轨道)运行。与“天宫二号”单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
C [“天舟一号”货运飞船与“天宫二号”空间实验室对接形成的组合体仍沿“天宫二号”原来的轨道运行，根据G＝ma＝＝mr可知，组合体运行的向心加速度、速率、周期不变，质量变大，则动能变大，选项C正确。]
3．(多选)(2018·全国卷Ⅰ·T20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
BC [由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T＝ s，两中子星的角速度均为ω＝，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m1、m2，轨道半径分别为r1、r2，速率分别为v1、v2，则有：G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A错误，B正确；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，则v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D错误。]
[教师备选题]
1．(多选)(2015·全国卷Ⅰ·T21)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器( )
A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s
B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒
D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
BD [设月球表面的重力加速度为g月，则＝＝·＝×3.72，解得g月≈1.7 m/s2。
A．由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝＝ m/s≈3.7 m/s，选项A错误。
B．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确。
C．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误。
D．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则＝＝＝＜1，故v1＜v2，选项D正确。]
2．(2016·全国卷Ⅰ·T17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
B [万有引力提供向心力，对同步卫星有：
＝mr，整理得GM＝
当r＝6.6R地时，T＝24 h
若地球的自转周期变小，轨道半径最小为2R地
三颗同步卫星A、B、C如图所示分布
则有＝
解得T′≈＝4 h，选项B正确。]
1．重力与万有引力的关系
(1)在赤道上：G＝mg1＋F向。
(2)在两极：G＝mg2。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与F向的矢量和。
2．卫星运行参量计算及比较问题须掌握“一模型、两思路”
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即G＝m＝mω2r＝mr＝ma，(如上T1，T3)。
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换式”。
3．变轨问题“四点注意”
(1)点火加速，v突然增大，G
(3)同一卫星在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(4)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。
如图所示是“嫦娥四号”环月变轨的示意图。在圆轨道Ⅰ上运行的“嫦娥四号”通过变轨后绕圆轨道Ⅱ运行，则下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的线速度大于在轨道Ⅱ上的线速度
B．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的角速度大于在轨道Ⅱ上的角速度
C．“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的运行周期大于在轨道Ⅱ上的运行周期
D．“嫦娥四号”由轨道Ⅰ通过加速才能变轨到轨道Ⅱ
C [“嫦娥四号”绕月球做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，由此可知＝mω2r＝m＝mr，线速度v＝，角速度ω＝，周期T＝2π，轨道Ⅰ的半径大，所以“嫦娥四号”在轨道Ⅰ上的线速度小、角速度小、周期大，故A、B错误，C正确；“嫦娥四号”从较高轨道向较低轨道运行时，需在较高轨道上减速，使得万有引力大于“嫦娥四号”在该轨道上做匀速圆周运动所需的向心力，从而做向心运动，减小轨道半径，D错误。]
反思：本题以变轨为背景，考查了圆周轨道上物理量的变化，要注意以下两点：
(1)圆轨道物理量的比较要分析v、ω、T与r的关系。
(2)“变轨”要分清“离心”运动还是“近心”运动。
考向1 天体的运行参数
1．(多选)(2019·福建省五校第二次联考)2018年2月12日13时03分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五、第六颗北斗三号全球组网卫星。北斗导航系统中，某颗卫星绕地球做圆周运动，其向心加速度大小为a，线速度大小为v，引力常量为G，由以上数据可知( )
A．该卫星的轨道半径为
B．该卫星的角速度大小为
C．该卫星的周期为
D．该卫星的质量为
BC [根据a＝可得，该卫星的轨道半径为r＝，选项A错误；根据a＝ωv得，该卫星的角速度为ω＝，选项B正确；该卫星的周期为T＝＝，选项C正确；该卫星绕地球做圆周运动，该卫星是环绕天体，无法通过万有引力提供向心力求出该卫星的质量，选项D错误。]
2．(易错题)(2019·江西抚州七校联考)2018年7月10日，我国成功发射了第32颗北斗导航卫星，该卫星的轨道半径为36 000 km,7月29日又以“一箭双星”的方式成功发射了第33、34颗北斗导航卫星，这两颗卫星的轨道半径均为21 500 km。下列说法正确的是( )
A．这三颗卫星的发射速度均小于7.9 km/s
B．第32颗北斗导航卫星在轨道上运行时的速率比第33颗北斗导航卫星的大
C．第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的加速度大小之比为
D．第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的运动周期之比为
C [7.9 km/s是发射卫星的最小发射速度，A错误；根据万有引力提供向心力有＝，解得v＝，因为第32颗北斗导航卫星的轨道半径比第33颗北斗导航卫星的大，所以第32颗北斗导航卫星在轨道上运行时的速率比第33颗北斗导航卫星的小，B错误；根据万有引力提供向心力有＝ma，解得a＝，代入数据解得第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的加速度大小之比为，C正确；根据万有引力提供向心力有＝，解得T＝，代入数据解得第32颗北斗导航卫星与第33颗北斗导航卫星的运动周期之比为，D错误。]
易错点评：在于对卫星运行各物理量的关系理解不深刻。
考向2 地面物体与地球卫星的比较
3．(多选)(2019·安徽示范高中期末联考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( )
A．a的向心加速度等于重力加速度g，c的向心加速度大于d的向心加速度
B．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等
C．c在4小时内转过的圆心角是，a在2小时内转过的圆心角是
D．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时
BC [a在地球表面随地球一起转动，其万有引力等于重力与向心力之和，且重力远大于向心力，故a的向心加速度远小于重力加速度g，根据牛顿第二定律，万有引力提供向心力，G＝man，解得向心加速度an＝，由于卫星d的轨道半径大于卫星c的轨道半径，所以卫星c的向心加速度大于d的向心加速度，选项A错误；地球同步卫星c绕地球运动的角速度与地球自转角速度相同，相同时间内a、c转过的弧长对应的角度相等，由＝m可得v＝，轨道半径越小速度越大，则vb>vc>vd，又a与c角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，故vc>va，即b的速度最大，所以在相同时间内b转过的弧长最长，选项B正确；a、c角速度相同，在4小时内转过的圆心角都为＝，在2小时内转过的圆心角都为＝，选项C正确；c和b的轨道半径都小于d的轨道半径，由开普勒第三定律可知，b的运动周期一定小于d的运动周期，d的运动周期一定大于c的运动周期(24小时)，选项D错误。]
考向3 卫星变轨与对接
4．(多选)(2019·唐山市高三摸底)2018年5月9日2时28分，高分五号卫星在太原卫星发射中心成功发射，它填补了国产卫星无法有效探测区域大气污染气体的空白。如图是高分五号卫星发射的模拟示意图，先将高分五号卫星送入圆形近地轨道Ⅰ运动，在轨道A处点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在轨道B处再次点火进入圆形预定轨道Ⅲ绕地球做圆周运动，不考虑卫星的质量变化。下列叙述正确的是( )
A．高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能小于在轨道Ⅲ上的动能
B．高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小、在轨道Ⅲ上最大
C．高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度
D．高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨要减速
BC [卫星围绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G＝m，动能Ek＝mv2，联立解得Ek＝，由于高分五号卫星在轨道Ⅰ上的运行半径小于在轨道Ⅲ上的运行半径，所以高分五号卫星在轨道Ⅰ上运动的动能大于在轨道Ⅲ上运动的动能，选项A错误；由于轨道Ⅲ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅰ的半径，根据开普勒第三定律可知，高分五号卫星在三条轨道上的运行周期，在轨道Ⅰ上最小，在轨道Ⅲ上最大，选项B正确；由G＝ma，可知高分五号卫星在轨道Ⅰ上的加速度大于在轨道Ⅲ上的加速度，选项C正确；高分五号卫星在A处变轨要加速，在B处变轨也要加速，选项D错误。]
中国探月工程，又称“嫦娥工程”。2004年，中国正式开展月球探测工程。嫦娥工程分为“无人月球探测”“载人登月”和“建立月球基地”三个阶段。2007年10月24日18时05分，“嫦娥一号”成功发射升空，在圆满完成各项使命后，于2009年按预定计划受控撞月。2010年10月1日18时57分59秒“嫦娥二号”顺利发射，也已圆满并超额完成各项既定任务。2011年离开拉格朗日点L2点后，向深空进发，现今仍在前进，意在对深空通信系统进行测试。2013年9月19日，探月工程进行了嫦娥三号卫星和玉免号月球车的月面勘测任务。“嫦娥四号”2019年1月3日成功落在月球的背面，进一步揭开月球神秘面纱。
[典例1] (多选)如图是“嫦娥四号”飞行轨道示意图，在地月转移段，若不计其他星体的影响，关闭发动机后，下列说法正确的是( )
A．“嫦娥四号”飞行速度一定越来越小
B．“嫦娥四号”的动能可能增大
C．“嫦娥四号”的动能和引力势能之和一定不变
D．“嫦娥四号”的动能和引力势能之和可能增大
AC [在地月转移段“嫦娥四号”所受地球和月球的引力之和指向地球，关闭发动机后，“嫦娥四号”向月球飞行，要克服引力做功，动能一定减小，速度一定减小，选项A正确，B错误。关闭发动机后，只有万有引力做功，“嫦娥四号”的动能和引力势能之和一定不变，选项C正确，D错误。]
[典例2] 如图所示为“嫦娥四号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。
[解析] (1)设地球质量和半径分别为M和R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度分别为M′、R′和g′，探测器刚接触月面时的速度大小为v1，则有mg′＝G，
mg＝G
解得g′＝g
由v－v2＝2g′h2得vt＝。
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp，有ΔE＝ΔEk＋ΔEp
则ΔE＝mv2＋－mgh1＝mv2－mg(h1－h2)。
[答案] (1)g
(2)mv2－mg(h1－h2)
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