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【精品】小升初数学攻克难点真题解析-计数问题全国通用试卷
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这是一份【精品】小升初数学攻克难点真题解析-计数问题全国通用试卷，共27页。试卷主要包含了握手问题，容斥原理，抽屉原理，沏茶问题，乘法原理，加法原理，排队论问题等内容，欢迎下载使用。
计数问题
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊5个队进行3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了4场，乙队打了3场，丙队打了2场，丁队打了1场，戊队打了（ ）场．
A． 1 B． 2 C． 3
3．（2012•田东县）有5名同学进行乒乓球比赛，每2个同学之间都赛一场，一共要赛（ ）
A． 20场 B． 16场 C． 10场 D． 5场
4．（2012•龙岗区）10名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）场．
A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
5．（2014•东台市）正在进行的2014年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛 场．
6．（2013•长沙）在6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有 种选法．
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握15次． （判断对错）．
8．（2012•法库县）有5位同学，每两位同学握一次手，共要握 次手．
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（ ）
A． 7人 B． 8人 C． 9人 D． 10人
10．（2012•黄岩区）六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（ ）
A． B． C． D．
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道都做错的有 人．
12．（2013•吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是 ．
13．（2013•泰州）在六年级300名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现50名同学两样都不会，有的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有 名．
14．（2013•成都）某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有 人．
15．（2012•乐清市）某市800个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，那么懂俄语的教师为 人．
16．（2011•成都）六年级二班有45名同学参加毕业考试，其中语文及格的有43人，数学及格的有40人，有1人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有 人．
17．一批外国游客，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人两种语言都不懂．这批游客共有 人．
18．（2014•长沙）某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？
19．（2014•岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报34份，北京晚报30份，参考消息22份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？
20．（2014•岳麓区）某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
21．（2012•富源县）学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？
22．（2011•福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%．有弟弟的学生是全班学生人数的50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
难点三、抽屉原理
23．（2013•浠水县）向东小学六（2）班有49名学生，他们中至少有（ ）人是同一个月出生的．
A． 2 B． 5 C． 不能确定
24．（2013•顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A． 3 B． 5 C． 7 D． 无法确定
25．（2013•广州）下列说法正确的是（ ）
A． 小明从六年级380人中居然找不到同一天过生日的同学
B． 李师傅做100个零件，合格率是95%，如果他再做2个合格零件，那么合格率就达97%
C． 把一件商品先提价20%，再降价20%，其价格变低了
26．（2013•东莞市）在任意的37个人中，至少有（ ）人属于同一种属相．
A． 3 B． 4 C． 5
27．（2013•安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（ ）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
28．（2012•盈江县）13个人里至少有（ ）个人是同一属相．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
29．（2012•明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各4个，至少要摸出（ ）个球才能保证摸到两个同颜色的球．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
30．（2012•龙海市）教室里有21名同学，至少有（ ）名同学是在同一个月出生的．
A． 2 B． 7 C． 6
31．（2012•汉阳区）六（1）班有44名同学，这个班至少有（ ）名同学是同一个月出生的．
A． 2 B． 3 C． 4
32．（2014•长沙）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取 根才能保证达到要求．
33．（2014•芜湖县）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放总有一个抽屉至少放进 本．
34．（2014•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书． （判断对错）
35．（2013•枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个8根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色的一双筷子，至少要取出 根才能保证达到要求．
36．（2013•长沙）将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有7名同学分到的卡片的张数相同．
37．（2012•盈江县）把红黄两种颜色的小棒各4根捆在一起，每次最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒． ．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
38．（2012•仙游县）五（1）班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人．统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票．在余下的票中，小红至少再得 票才能保证以最多票数当选班长．
39．（2012•恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？
候选人 乐乐 喜喜 欢欢
票数 12 10 8
40．某校有201人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数，若总分为9999分，则至少有 人的分数相同．
41．10只鸽子飞回3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只 ．
难点四、沏茶问题
42．（2013•海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． 21 B． 25 C． 26 D． 41
43．（2013•云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花 分钟．
44．（2011•商州区）奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要
分钟做完这些事情．
45．（2011•重庆）家里来客人了，你热情地为客人烧水沏茶．其中洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要1分钟．为了让客人早点儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用 分钟就能沏好茶．
难点五、乘法原理
46．（2012•成都）某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（ ）张火车票．
A． 60 B． 95 C． 110 D． 55
47．（2011•涟水县）从甲村到乙村有4条路可走，乙村到丙村有3条路可走．那么从甲村经过乙村到丙村有（ ）种不同的走法．
A． 7 B． 9 C． 12
48．（2011•邗江区）张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法．
A． 9 B． 14 C． 24 D． 6
49．（2011•淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机．那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有 种走法．
50．（2012•建华区）用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成18个的不同的四位数． ．
难点六、加法原理
51．（2012•威宁县）28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛 场．
难点七、排队论问题
52．（2012•慈溪市）2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 名．
53．（2011•云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了3排，每排人数正好相等，小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，六（3）班一共有 名学生．
参考答案与试题解析
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．[来源:Z|xx|k.Com]
分析： 五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数．
解答： 解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；
而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；
乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；
丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；
由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘．
故选：B．
点评： 本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊5个队进行3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了4场，乙队打了3场，丙队打了2场，丁队打了1场，戊队打了（ ）场．
A． 1 B． 2 C． 3
考点： 握手问题．
专题： 可能性．
分析： 5个队两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据甲、乙、丙、丁、戊四人赛的场次进行推算．
解答： 解：每人最多赛4场；
甲已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；
丁赛了1场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；
乙赛了3场，他没有和丁比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；
丙赛了2场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；
所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评： 本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出戊队进行比赛的场次．
3．（2012•田东县）有5名同学进行乒乓球比赛，每2个同学之间都赛一场，一共要赛（ ）
A． 20场 B． 16场 C． 10场 D． 5场
考点： 握手问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 由于每个选手都要和另外的4个选手赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个选手只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答．
解答： 解：（5﹣1）×5÷2，
=20÷2，
=10（场）；
答：每2个同学之间都赛一场，一共要赛10场．
故选：C．
点评： 本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数=n（n﹣1）÷2解答（n表示选手总数）．
4．（2012•龙岗区）10名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）场．
A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的9人进行一场比赛，每个同学打9场，共有10×9场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打10×9÷2=45场即可．
解答： 解：（10×9）÷2，
=90÷2，
=45（场）；
答：一共要进行45场比赛．
故选：C．
点评： 在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数×（人数﹣1）÷2．
5．（2014•东台市）正在进行的2014年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛 6 场．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，则每个队都要和其他3个队比赛一场，共有4个队，所以共打3×4=12场，打比赛是在两个队之间进行的，所以他们共要比赛12÷2=6场．
解答： 解：3×4÷2=6（场）
答：一共要比赛6场．
故答案为：6．
点评： 本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2，握手次数的公式要记住，并灵活运用．
6．（2013•长沙）在6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有 15 种选法．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意，此题可看作两两握手，每个人都要和另外的5个人组合一组，6个人共有6×5=30中选法，由于每两人组合一组，应算作一种选法，去掉重复的情况，实际共有30÷2=15种选法，据此解答．
解答： 解：6×（6﹣1）÷2
=30÷2
=15（种）
答：一共有15种选法．
故答案为：15．
点评： 本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答．
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握15次． √ （判断对错）．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 每两人握一次，那么每个人要和其他5人握手5次；6个人一共握5×6次，但这样算每次握手就算成了2次，所以再除以2即可．
解答： 解：（6﹣1）×6÷2
=30÷2
=15（次）；
答：一共要握15次．
故答案为：√．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2求解．
8．（2012•法库县）有5位同学，每两位同学握一次手，共要握 10 次手．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 5位同学，每个人都要和剩下的4人握手，要握4次，一共是5×4次，由于是两两之间握手，甲与乙握手和乙与甲握手是一样的，所以再除以2即可．
解答： 解：5×（5﹣1）÷2，
=5×4÷2，
=10（次）；
答：共要握10次手．
故答案为：10．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2求解．
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（ ）
A． 7人 B． 8人 C． 9人 D． 10人
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用27+24求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两个小组都参加的人数．
解答： 解：27+24﹣42，
=51﹣42，
=9（人）；
答：两个小组都参加的有9人，
故选：C．
点评： 解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题．
10．（2012•黄岩区）六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（ ）
A． B． C． D．
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题．
分析： 把总人数看作单位“1”，根据“有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．”可知：包括三部分，只订阅《小学生数学报》的人数、只订阅《数学小灵通》的人数、两种都订阅的人数的2倍，所以都订阅的人数是：﹣1=，据此解答．
解答： 解：﹣1，
=﹣1，
=；
答：既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的．
故选：C．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道都做错的有 3 人．
考点： 容斥原理．
分析： 第一题做对的25人中，有10人是全部做对，则有25﹣10=15人是只做对第一题，而做错第二题的；已知第二题总共有18人做错，那么多余的三人就是全错的．
解答： 解：18﹣（25﹣10），
=18﹣15，
=3（人）；
答：两道题都做错的有3人．
故答案为：3．
点评： 根据第一题做对的人数和两题全对的人数，得出第一题对，而第二题错的人数是解决本题的关键．
12．（2013•吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是 8：7 ．
考点： 容斥原理．
分析： 此题可以设出同时参加两个小组的人数为x人，利用未知数x来分别表示只参加体育小组的人数和只参加歌唱小组的人数，从而进行化简，求得它们的人数的比．
解答： 解：设同时参加两个小组的人数为x人，
则：体育小组的人数为：x÷=5x，
歌唱小组的人数为：x=x，
那么只参加体育小组的人数为：5x﹣x=4x，
只参加歌唱小组的人数为：x﹣x=x
所以只参加体育小组与只参加唱歌小组的人数的比为：4x：x=4：=8：7．
答：这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之8：7．
故答案为：8：7．
点评： 此题此题属于不直接解出方程的题型，借助于未知数x来表示体育小组的人数和歌唱小组的人数，从而通过化简求得比值．
13．（2013•泰州）在六年级300名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现50名同学两样都不会，有的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有 50 名．
考点： 容斥原理；分数四则复合应用题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 两样都会的学生有：300×=40人，会下中国象棋的学生有300×=240人，会下中国象棋和国际象棋的人数是：300﹣50=250人，那么会下国际象棋的有：250﹣240+40=50（名），据此解答．
解答： 解：300﹣50﹣300×+300×
=250﹣240+40
=50（名）
答：会下国际数棋的学生有50名．
故答案为：50．
点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
14．（2013•成都）某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有 450 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 在懂英语的750人中有200人懂俄语，那么就有550人只懂英语，那么剩下的450人就肯定懂俄语了．
解答： 解：1000﹣（750﹣200）
=1000﹣550
=450（人）．
答：懂俄语的教师有450人．
点评： 此题属于容斥问题，关键是求出只懂英语的人数，进而求得懂俄语的人数．
15．（2012•乐清市）某市800个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，那么懂俄语的教师为 390 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，则只懂英语的有550﹣140=410人，共有800个外语教师懂英语或俄语，则懂俄语的有800﹣410人．
解答： 解：800﹣（550﹣140）
=800﹣410，
=390（人）．
答：懂俄语的教师为 390人．
故答案为：390．
点评： 首先求出只懂英语的人数是完成本题的关键，在本题中懂俄语的390人中，也包括既懂英语又懂俄语的人．
16．（2011•成都）六年级二班有45名同学参加毕业考试，其中语文及格的有43人，数学及格的有40人，有1人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有 39 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 45名同学参包括四部分：只语文及格的、只数学及格的、语文和数字都没有及格的、语文数学都及格的；又由于语文数学都及格的既属于语文及格的43人，又属于数学及格的40人，所以，语文数学都及格的有：43+40﹣（45﹣1）=39（人）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
43+40﹣（45﹣1），
=83﹣44，
=39（人）；
答：语文数学都及格的有39人．
故答案为：39．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是知道45人包括四部分，难点是理解重叠部分（语文数学都及格的人数），既包含在43人里，又包含在40人里；知识点是：既A又B的人数=总人数﹣（A+B）﹣既不是A又不是B．
17．一批外国游客，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人两种语言都不懂．这批游客共有 124 人．
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 只会说英语的有88﹣40=48人；只会说法语的有60﹣40=20人，那么这批游客共有48+20+40+16=124人，据此解答．
解答： 解：88﹣40=48（人），
60﹣40=20（人），
48+20+40+16=124（人）；
答：这批游客共有124人．
故答案为：124．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解总人数包括四部分，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B+既不属于A又不属于B．
18．（2014•长沙）某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 只参加一组的人有：16+15+21=52；那么剩下110﹣52=58人至少参加两组，总活动人数52+61+63=176；176﹣110=66；剩下的58人每人再参加一组，66﹣58=8；剩下的活动人数只能是三组都参加的人，由此即可解答．
解答： 解：只参加一组活动的有：16+15+21=52（人），
则至少参加两组活动的有：110﹣52=58（人），
总活动人数是：52+61+63=176（人），
每人至少参加一组活动，则剩下活动人数为：176﹣110=66；
则：66﹣58=8（人），
答：三组都参加的有8人．
点评： 此题关键是找出参加这三个活动小组的总活动人数和只参加一个小组的人数；减去每人至少参加一次的活动人数，则得出剩下的活动人数对应的就是至少参加两个小组的人数，由此即可解答．
19．（2014•岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报34份，北京晚报30份，参考消息22份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？
考点： 容斥原理．
分析： 先根据每家订2份不同报纸，以及报纸的总数求出一共有多少家；不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；再用总家数减去中国电视报34份即可．
解答： 解：每家订2份不同报纸，而共订了
34+30+22=86（份）；
86÷2=43（家）；
43﹣34=9（家）；
答：订北京晚报和参考消息的共有9家．
点评： 本题关键是求出总家数，然后理解不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；由此列式求解．
20．（2014•岳麓区）某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题属于三者容斥原理，根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，所以A∪B∪C=135﹣15﹣
10﹣8+4=106（人），都没参加的有120﹣106=14（人），据此解答．
解答： 解：根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，
这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，
所以A∪B∪C=135﹣15﹣10﹣8+4=106（人），
都没参加的有120﹣106=14（人），
答：三个兴趣小组都没有参加的有14人．
点评： 此题考查了三者容斥原理公式的运用．
21．（2012•富源县）学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 因为有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．一共有22+12+10=44人，其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳，根据容斥原理可知，参加比赛的一共有44﹣6﹣8=30人；又因为有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，所以参加接力赛跑的12人中，去掉6人，还剩下6人，又有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．所以这8人中至少有8﹣6=2人三项比赛都参加，据此即可解答．
解答： 解：总人数：22+12+10﹣6﹣8=30（人），
三项都参加的至少有：8﹣（12﹣6），
=8﹣6，
=2（人），
答：一共有30人参加比赛，至少有2人三项比赛都参加．
点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
22．（2011•福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%．有弟弟的学生是全班学生人数的50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：1﹣（55%+50%﹣25%）=20%，根据分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：8÷[1﹣（55%+50%﹣25%）]，然后解答即可得出答案．
解答： 解：8÷[1﹣（55%+50%﹣25%）]，
=8÷20%，
=40（人）；
答：小明班上共有学生40名．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B．本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
难点三、抽屉原理
23．（2013•浠水县）向东小学六（2）班有49名学生，他们中至少有（ ）人是同一个月出生的．
A． 2 B． 5 C． 不能确定
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 因一年有12个月，考虑到最差情况就是49人中有每月4个同月出生的人，剩下的一人不论是哪个月出生的，都有4+1=5人是同一月出生的．据此解答．
解答： 解：49÷12=4（人）…1（人），
4+1=5（人）．
答：他们中至少有5人是同一个月出生的．
故选B．
点评： 本题考查到抽屉原理中的最差情况是解答本题的关键．
24．（2013•顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A． 3 B． 5 C． 7 D． 无法确定
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答．
解答： 解：根据题干分析可得：
2×3+1=7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选：C．
点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．
25．（2013•广州）下列说法正确的是（ ）
A． 小明从六年级380人中居然找不到同一天过生日的同学
B． 李师傅做100个零件，合格率是95%，如果他再做2个合格零件，那么合格率就达97%
C． 把一件商品先提价20%，再降价20%，其价格变低了
考点： 抽屉原理；百分数的实际应用；存款利息与纳税相关问题．
专题： 分数百分数应用题；传统应用题专题．
分析： 对各选项进行分析，然后得出正确结果．
解答： 解：A、一年最多有366天，380÷366=1…14人，最坏的情况是，每天都有1名学生过生日的话，还余14人，根据抽屉原理，至少有1+1=2人在同一天过生日；
B、先用“100×95%”求出原来合格零件的个数，进而求出后来合格零件个数和零件总个数，进而根据公式：×100%；所以合格率是（100×95%+2）÷（100+2）×100%=95.1%；
C、把原价看做1，则降价20%后的价格：1×（1﹣20%）=1×0.80=0.8；
再提价20%的现价：0.8×（1+20%）=0.8×1.2=0.96，因为0.96＜1，所以它的价格变低了；
故选：C．
点评： 此题涉及的知识面较多，注意平时知识的积累．
26．（2013•东莞市）在任意的37个人中，至少有（ ）人属于同一种属相．
A． 3 B． 4 C． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答．
解答： 解：37÷12=3…1
3+1=4（人）
答：至少有4人的属相相同．
故选：B．
点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．
27．（2013•安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（ ）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 因有三种颜色的球，所以最差情况是取3次各取到一种颜色的球，所以要取把3个同一颜色球的最差机会是取（4﹣1）×3=9次，再取1次，不论取的是什么颜色的球，都可以保证取到4个颜色相同的球．据此解答．
解答： 解：（4﹣1）×3+1，
=3×3+1，
=9+1，
=10（个）．
答：至少取出10个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
故选：C．
点评： 本题的关键是先求出保证几次取到3个颜色相同的球，再根据抽屉原理，求出取到4个相同颜色球的个数．
28．（2012•盈江县）13个人里至少有（ ）个人是同一属相．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 共有12个生肖，考虑最差情况：13个人中，其中12个人的生肖各不相同，根据抽屉原理可知：第13个人的属相无论是哪一个，都会出现有2个人的生肖相同，据此即可选择．
解答： 解：考虑最差情况：13个人中，其中12个人的生肖各不相同，
根据抽屉原理可知：第13个人的属相无论是哪一个，都会出现有2个人的生肖相同，
即13个人中至少有2人属相相同．
故选：A．
点评： 因为有12个生肖，有可能12个人生肖各不相同，所以第13个人无论属什么，都能保证2个人的属相相同．
29．（2012•明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各4个，至少要摸出（ ）个球才能保证摸到两个同颜色的球．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 从最极端情况分析，假设前2个都摸出红、黄各一个球，再摸1个只能是两种颜色中的一个，进而得出结论．
解答： 解：2+1=3（个）；
答：至少要摸出3个球才能保证摸到两个同颜色的球；
故选：B．
点评： 此题属于典型的抽屉原理习题，做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．
30．（2012•龙海市）教室里有21名同学，至少有（ ）名同学是在同一个月出生的．
A． 2 B． 7 C． 6
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 一年共有12个月，将这12个月当做12个抽屉，21÷12=1名…9名，即平均每月出生一个，还剩下9人，根据抽屉原理可知，至少有1+1=2名同学是在同一个月出生的．
解答： 解：21÷12=1名…9名，
1+1=2名．
即至少有2名同学是在同一个月出生的．
故选：A．
点评： 在此类问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）．
31．（2012•汉阳区）六（1）班有44名同学，这个班至少有（ ）名同学是同一个月出生的．
A． 2 B． 3 C． 4
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 把一年12个月看作12个抽屉，把44名同学看作44个元素，那么每个抽屉需要放44÷12=3（个）…8（个），所以每个抽屉需要放3个，剩下的8个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3+1=4（个），据此解答．
解答： 解：44÷12=3（个）…8（个），
3+1=4（个）；
答：这个班至少有4名同学是同一个月出生的．
故选：C．
点评： 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答．
32．（2014•长沙）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取 11 根才能保证达到要求．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色，比如一个抽屉需要先放8根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放2根白色或2根红色还是1根白色和一根红色，不可能组成颜色不同的两双筷子，所以还需要再取1根，因此至少要取出：8+2+1=11（根）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
8+2+1=11（根）；
答：至少要取11根才能保证达到要求．
故答案为：11．
点评： 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，本题的难点是理解要求“至少数”必须先取尽同色的一种8根．
33．（2014•芜湖县）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放总有一个抽屉至少放进 3 本．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把7本书放进3个抽屉中，7÷3=2本…1本，即平均每个抽屉放入2本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进2+1=3本书．
解答： 解：7÷3=2（本）…1（本），
2+1=3（本）．
答：总有一个抽屉至少会放进3本书；
故答案为：3．
点评： 把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里至少有m+1个或者m+1个以上的元素．
34．（2014•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书． √ （判断对错）
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 7本书放进2个抽屉，7÷2=3本…1本，即每平均每个抽屉放3本后，还余1本，所以至少有一个抽屉至少要放3+1=4本．
解答： 解：7÷2=3（本）…1本．
3+1=4（本）．
答：有一个抽屉至少要放4本．
故答案为：√．
点评： 在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．
35．（2013•枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个8根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色的一双筷子，至少要取出 4 根才能保证达到要求．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情况考虑，取出三根，颜色各不相同，此时再任意取出一根，即可出现一双颜色相同的筷子，据此即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：3+1=4（个）
答：要想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出4根才能保证达到要求．
故答案为：4．
点评： 解答此题的关键是明确：要想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求，用颜色数+1即可解答问题．
36．（2013•长沙）将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有7名同学分到的卡片的张数相同．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题干，假设没有7人以上分到的卡片数相同，那么最多就6人分得的卡片张数相等，根据题意，那么1﹣11每个数字最多有6个人分到那分的卡片数最多为1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6+8×6+9×6+10×6+11×6=396张，不到400张，说明此假设不成立，至少有7名同学分得的卡片张数相等．
解答： 解：假设没有7人以上分到的卡片数相同，那么最多就6人分得的卡片张数相等，
根据题意，那么1﹣11每个数字最多有6个人分到那分的卡片数最多为：
1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6+8×6+9×6+10×6+11×6=396张，
不到400张，说明此假设不成立，
所以至少有7名同学分得的卡片张数相等．
点评： 解答此题的关键是利用假设法进行推理少于7名同学的情况不成立，从而得出原命题成立．
37．（2012•盈江县）把红黄两种颜色的小棒各4根捆在一起，每次最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒． 正确 ．
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 根据题意可知，小棒的颜色共有2种，各4根，根据抽屉原理可知，一次至少要拿出4+1=5根小棒一定保证有2根小棒是不同颜色．
解答： 解：4+1=5（根），
即最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒，原题说法正确．
故答案为：正确．
点评： 此题考查了抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况．[来源:学科网ZXXK]
38．（2012•仙游县）五（1）班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人．统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票．在余下的票中，小红至少再得 5 票才能保证以最多票数当选班长．
考点： 抽屉原理．
分析： 小红比小华多了3张选票，已经统计了37张选票，还剩下12张没统计，假设这12张全部给小红和小华，只要小华的不比小红的多出3张或以上的选票，小红就会当选．只要求出小华比小红多分得2张的情况即可．
解答： 解：49﹣（15+10+12）=12（张），
小红已经比小华多了：15﹣12=3（张），
若把这12张平均分给二人：
12÷2=6（张），每人6张，小红再给小华1张，小华就比小红多分得2张，
小红分的数量6﹣1=5（张）
答：小红至少再得5张票才能当选．
故答案为：5．
点评： 小红和小华的票数较多，就考虑剩下的选票都给小红和小华，只要小红的总数比小华的总数多1张，小红就可以当选．解决本题就从这两个方面考虑．
39．（2012•恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？
候选人 乐乐 喜喜 欢欢
票数 12 10 8
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题意知一共43票，已经计了30票，还有43﹣30=13票没计，现在乐乐得了12票，喜喜得了10票，只要小刚得到的票数比喜喜多1票才能当选．用剩下的票减去乐乐比喜喜多的（12﹣10）=2票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给乐乐，就能当选．
解答： 解：43﹣30=13（票）
12﹣10=2（票）
（13﹣2）÷2，
=11÷2
=5（票）…1（票）
5+1=6（票）；
答：乐乐至少还要6票，才能保证一定当选．
点评： 本题的关键是求出和乐乐得票最近的喜喜在剩下的票里再得多少票才和乐乐的票数一样多，再根据抽屉原理求出乐乐应得的票数．
40．某校有201人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数，若总分为9999分，则至少有 3 人的分数相同．
考点： 抽屉原理．
分析： 按照百分制计分，那么得分情况有101种：即0分，1分，2分，3分，…100分；把这101种得分情况看做101个抽屉，把201个人看做是201个球，201÷101=1…100，考虑最差情况：每个抽屉都有2个人得分相同，再根据总分情况进行讨论分析即可解决问题．
解答： 解：根据题干可知得分情况有101种，把这101种得分情况看做101个抽屉，
201÷2=100…1；
考虑最差情况：有100个抽屉都有有2个得分相同，剩下1个抽屉只有1个得分情况；
此时这201个人的得分总数最少是：0×2+1×2+2×2+…+99×2+100=10000＞9999，
所以这与已知相矛盾，
答：至少有一个抽屉有3种得分情况才能满足已知条件，即至少有3人的得分相同．
故答案为：3．
点评： 此题找出101种得分情况，利用抽屉原理考虑最差情况并结合实际得分情况进行分析是解决本题的关键．
41．10只鸽子飞回3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只 正确 ．
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 10只鸽子飞进三个鸽舍，10÷3=3（只）…1只，即平均每个鸽舍飞入三只鸽子后，还有1只鸽子没有飞入，因此总有一个鸽舍至少飞进3+1=4只．
解答： 解：10÷3=3（只）…1只，
3+1=4（只）．
答：总有一个鸽舍至少飞进4只鸽子．
故答案为：正确．
点评： 此为典型的抽屉问题，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）
难点四、沏茶问题
42．（2013•海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． 21 B． 25 C． 26 D． 41
考点： 沏茶问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+5=25分钟．
解答： 解：根据题干分析，可设计如下工序：
20+5=25（分钟），
故选：B．
点评： 此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答．
43．（2013•云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花 23 分钟．
考点： 沏茶问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+3=23分钟．
解答： 解：根据题干分析，可设计如下工序：
20+3=23（分钟），
答：做完这些事至少要花23分钟．
故答案为：23．
点评： 此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答；应明确：晾衣服必须在洗完衣服的基础上再晾．
44．（2011•商州区）奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要 11 分钟做完这些事情．
考点： 沏茶问题．
分析： 煮开水的同时，可以洗茶杯、找茶叶、洗水果、整理客厅，可以节约2+1+2+3=8分钟，所以最短需要的时间是：10+1=11分钟．
解答： 解：根据题干可以设计如下：
10+1=11（分钟），
答：最短需要11分钟做完这些事情．
故答案为：11．
点评： 此题属于合理安排时间的问题，奔着既节约时间，又不使每道工序相互矛盾进行设计．
45．（2011•重庆）家里来客人了，你热情地为客人烧水沏茶．其中洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要1分钟．为了让客人早点儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用 12 分钟就能沏好茶．
考点： 沏茶问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，可得最合理安排是，洗水壶要用1分钟，再烧开水要用10分钟，同时可以洗茶杯和拿茶叶，最后用开水泡茶要1分钟，这样的安排时间最少，即1+10+1=12（分钟）．
解答： 解：根据题意可知，一边烧开水，一边还可以洗茶杯和拿茶叶，则最少时间是：1+10+1=12（分钟）．
故填：12．
点评： 根据题意可知，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情．
难点五、乘法原理
46．（2012•成都）某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（ ）张火车票．
A． 60 B． 95 C． 110 D． 55
考点： 乘法原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 这11个车站到其它的每个车站都有10趟车，由此求解．
解答： 解：11×10=110（张），
答：他一共要收集110张；
故选：C．
点评： 本题中由A站到B站和由B站到A站是不同的车票，不需要再除以2．
47．（2011•涟水县）从甲村到乙村有4条路可走，乙村到丙村有3条路可走．那么从甲村经过乙村到丙村有（ ）种不同的走法．
A． 7 B． 9 C． 12
考点： 乘法原理．
分析： 从甲村经过乙村到丙村可以看作分两步走，第一步从甲村到乙村有4种选择，第二步从乙村到丙村又有3种选择，要完成从甲村经过乙村到丙村这一件事，根据乘法原理一共有4×3=12（种）不同的走法，然后即可作出判断．
解答： 解：根据乘法原理可得：
4×3=12（种）；
答：从甲村经过乙村到丙村有12种不同的走法．
故选：C．
点评： 本题考查了乘法原理，在本题中不能用加法原理；使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每步都完成了，这件事情才得以完成．
48．（2011•邗江区）张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法．
A． 9 B． 14 C． 24 D． 6
考点： 乘法原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，则每件衬衫与4条裤子共有4种搭配方法，所以3件衬衫、4条裤子共有3×4=12种搭配方法，则根据乘法原理可知，3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配12×2=24种不同的穿法．
解答： 解：3×4×2=24（种），
答：用它们一共可以搭配24种不同的穿法．
故选：C．
点评： 乘法原理为：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有 N=m1m2…mn 种不同的方法．
49．（2011•淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机．那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有 6 种走法．
考点： 乘法原理．
专题： 压轴题．
分析： 从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，即从甲地到乙地有2种走法；从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机，即从乙地到丙地有3种走法．所以每一种从甲地到乙地的走法再到丙地都有3种走法，从甲地到乙地有两种，根据乘法原理可知，从甲地经过乙地到达丙地，一共有2×3=6种走法．
解答： 解：2×3=6（种）．
答：从甲地经过乙地到达丙地，共有6种走法．
故答案为：6．
点评： 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有 N=m1m2…mn 种不同的方法．
50．（2012•建华区）用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成18个的不同的四位数． × ．
考点： 乘法原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 先排千位，有4种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有4×3×2×1=24种，据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
共有：4×3×2×1=24（种）；
答：一共可以组成24个的不同的四位数．
故答案为：×．
点评： 本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．
难点六、加法原理
51．（2012•威宁县）28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛 27 场．
考点： 加法原理．
分析： 由于共28人参赛，采用淘汰赛，每场比赛都要淘汰一人，则打28÷2=14场决出14强，打14÷2=7场决出前七名，打7÷2=3场，一人轮空自动晋级，决出前四，然后两场决出前2，最后前二打一场决出冠军．根据加法的意义，共需打14+7+3+2+1=27场．
解答： 解：由于28人参赛，
则打先14场决出前14名，再打7场决出前7名，
此时一人轮空，另外6名打三场后，决出前4名，
前4打两场后决出前2名，
最后打1场决出冠军．
所以共需打：14+7+3+2+1=27场才能决出冠军．
故答案为：27．
点评： 在淘汰赛制中，参赛队数与比赛场数的关系为：比赛场数=队数﹣1．
难点七、排队论问题
52．（2012•慈溪市）2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 267 名．
考点： 排队论问题．
专题： 探索数的规律．
分析： 先按报数规律，写出一些数，会发现：从左至右每15个人三次报数的情况重复一次，符合要求的只有左起第8，10两人；也就是每15个人一个循环周期，每一个循环周期有两个人符合要求，然后根据2003里有几个15，再结合余数解答即可．
解答： 解：从左至右每15个人三次报数的情况重复一次．前15人的情况如下表：第一次报数：1231231 2 3 1 23123，
第二次报数：3215432 1 5 4 32154，
第三次报数：1234512 3 4 5 12345，
符合要求的只有左起第8，10两人；
2003÷15=133…8，
符合要求的学生共有：2×133+1=267（人）；
故答案为：267．
点评： 本题关键是求出找到循环周期，注意余的8人还有一人符合要求．
53．（2011•云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了3排，每排人数正好相等，小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，六（3）班一共有 45 名学生．
考点： 排队论问题． [来源:学科网]
专题： 包含与排队问题．
分析： 小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，那么小军左右两边共有7+7=14（人），再加上小军本人，这一排共有15人，3排共有学生15×3人，计算得出．
解答： 解：（7+7+1）×3，
=15×3，
=45（人）；
答：六（3）班一共有45名学生．
故答案为：45．
点评： 此题应先求出1排的人数．在列式计算时，不要忘记加上小军本人，这是容易出错的地方．
计数问题
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊5个队进行3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了4场，乙队打了3场，丙队打了2场，丁队打了1场，戊队打了（ ）场．
A． 1 B． 2 C． 3
3．（2012•田东县）有5名同学进行乒乓球比赛，每2个同学之间都赛一场，一共要赛（ ）
A． 20场 B． 16场 C． 10场 D． 5场
4．（2012•龙岗区）10名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）场．
A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
5．（2014•东台市）正在进行的2014年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛 场．
6．（2013•长沙）在6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有 种选法．
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握15次． （判断对错）．
8．（2012•法库县）有5位同学，每两位同学握一次手，共要握 次手．
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（ ）
A． 7人 B． 8人 C． 9人 D． 10人
10．（2012•黄岩区）六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（ ）
A． B． C． D．
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道都做错的有 人．
12．（2013•吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是 ．
13．（2013•泰州）在六年级300名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现50名同学两样都不会，有的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有 名．
14．（2013•成都）某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有 人．
15．（2012•乐清市）某市800个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，那么懂俄语的教师为 人．
16．（2011•成都）六年级二班有45名同学参加毕业考试，其中语文及格的有43人，数学及格的有40人，有1人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有 人．
17．一批外国游客，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人两种语言都不懂．这批游客共有 人．
18．（2014•长沙）某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？
19．（2014•岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报34份，北京晚报30份，参考消息22份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？
20．（2014•岳麓区）某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
21．（2012•富源县）学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？
22．（2011•福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%．有弟弟的学生是全班学生人数的50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
难点三、抽屉原理
23．（2013•浠水县）向东小学六（2）班有49名学生，他们中至少有（ ）人是同一个月出生的．
A． 2 B． 5 C． 不能确定
24．（2013•顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A． 3 B． 5 C． 7 D． 无法确定
25．（2013•广州）下列说法正确的是（ ）
A． 小明从六年级380人中居然找不到同一天过生日的同学
B． 李师傅做100个零件，合格率是95%，如果他再做2个合格零件，那么合格率就达97%
C． 把一件商品先提价20%，再降价20%，其价格变低了
26．（2013•东莞市）在任意的37个人中，至少有（ ）人属于同一种属相．
A． 3 B． 4 C． 5
27．（2013•安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（ ）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
28．（2012•盈江县）13个人里至少有（ ）个人是同一属相．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
29．（2012•明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各4个，至少要摸出（ ）个球才能保证摸到两个同颜色的球．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
30．（2012•龙海市）教室里有21名同学，至少有（ ）名同学是在同一个月出生的．
A． 2 B． 7 C． 6
31．（2012•汉阳区）六（1）班有44名同学，这个班至少有（ ）名同学是同一个月出生的．
A． 2 B． 3 C． 4
32．（2014•长沙）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取 根才能保证达到要求．
33．（2014•芜湖县）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放总有一个抽屉至少放进 本．
34．（2014•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书． （判断对错）
35．（2013•枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个8根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色的一双筷子，至少要取出 根才能保证达到要求．
36．（2013•长沙）将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有7名同学分到的卡片的张数相同．
37．（2012•盈江县）把红黄两种颜色的小棒各4根捆在一起，每次最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒． ．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
38．（2012•仙游县）五（1）班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人．统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票．在余下的票中，小红至少再得 票才能保证以最多票数当选班长．
39．（2012•恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？
候选人 乐乐 喜喜 欢欢
票数 12 10 8
40．某校有201人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数，若总分为9999分，则至少有 人的分数相同．
41．10只鸽子飞回3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只 ．
难点四、沏茶问题
42．（2013•海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． 21 B． 25 C． 26 D． 41
43．（2013•云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花 分钟．
44．（2011•商州区）奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要
分钟做完这些事情．
45．（2011•重庆）家里来客人了，你热情地为客人烧水沏茶．其中洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要1分钟．为了让客人早点儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用 分钟就能沏好茶．
难点五、乘法原理
46．（2012•成都）某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（ ）张火车票．
A． 60 B． 95 C． 110 D． 55
47．（2011•涟水县）从甲村到乙村有4条路可走，乙村到丙村有3条路可走．那么从甲村经过乙村到丙村有（ ）种不同的走法．
A． 7 B． 9 C． 12
48．（2011•邗江区）张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法．
A． 9 B． 14 C． 24 D． 6
49．（2011•淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机．那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有 种走法．
50．（2012•建华区）用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成18个的不同的四位数． ．
难点六、加法原理
51．（2012•威宁县）28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛 场．
难点七、排队论问题
52．（2012•慈溪市）2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 名．
53．（2011•云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了3排，每排人数正好相等，小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，六（3）班一共有 名学生．
参考答案与试题解析
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了4盘，乙下了3盘，丙下了2盘，丁下了1盘，问小明下了（ ）盘．
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．[来源:Z|xx|k.Com]
分析： 五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了4盘为突破口，找出小明下的盘数．
解答： 解：甲下了4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；
而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；
乙下了3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；
丙是下了2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；
由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了2盘．
故选：B．
点评： 本题根据循环比赛，得出每人最多下4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算．
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊5个队进行3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了4场，乙队打了3场，丙队打了2场，丁队打了1场，戊队打了（ ）场．
A． 1 B． 2 C． 3
考点： 握手问题．
专题： 可能性．
分析： 5个队两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据甲、乙、丙、丁、戊四人赛的场次进行推算．
解答： 解：每人最多赛4场；
甲已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；
丁赛了1场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；
乙赛了3场，他没有和丁比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；
丙赛了2场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；
所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评： 本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出戊队进行比赛的场次．
3．（2012•田东县）有5名同学进行乒乓球比赛，每2个同学之间都赛一场，一共要赛（ ）
A． 20场 B． 16场 C． 10场 D． 5场
考点： 握手问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 由于每个选手都要和另外的4个选手赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个选手只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答．
解答： 解：（5﹣1）×5÷2，
=20÷2，
=10（场）；
答：每2个同学之间都赛一场，一共要赛10场．
故选：C．
点评： 本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数=n（n﹣1）÷2解答（n表示选手总数）．
4．（2012•龙岗区）10名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（ ）场．
A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的9人进行一场比赛，每个同学打9场，共有10×9场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打10×9÷2=45场即可．
解答： 解：（10×9）÷2，
=90÷2，
=45（场）；
答：一共要进行45场比赛．
故选：C．
点评： 在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数×（人数﹣1）÷2．
5．（2014•东台市）正在进行的2014年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛 6 场．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，则每个队都要和其他3个队比赛一场，共有4个队，所以共打3×4=12场，打比赛是在两个队之间进行的，所以他们共要比赛12÷2=6场．
解答： 解：3×4÷2=6（场）
答：一共要比赛6场．
故答案为：6．
点评： 本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2，握手次数的公式要记住，并灵活运用．
6．（2013•长沙）在6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有 15 种选法．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意，此题可看作两两握手，每个人都要和另外的5个人组合一组，6个人共有6×5=30中选法，由于每两人组合一组，应算作一种选法，去掉重复的情况，实际共有30÷2=15种选法，据此解答．
解答： 解：6×（6﹣1）÷2
=30÷2
=15（种）
答：一共有15种选法．
故答案为：15．
点评： 本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n﹣1）÷2解答．
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握15次． √ （判断对错）．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 每两人握一次，那么每个人要和其他5人握手5次；6个人一共握5×6次，但这样算每次握手就算成了2次，所以再除以2即可．
解答： 解：（6﹣1）×6÷2
=30÷2
=15（次）；
答：一共要握15次．
故答案为：√．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2求解．
8．（2012•法库县）有5位同学，每两位同学握一次手，共要握 10 次手．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 5位同学，每个人都要和剩下的4人握手，要握4次，一共是5×4次，由于是两两之间握手，甲与乙握手和乙与甲握手是一样的，所以再除以2即可．
解答： 解：5×（5﹣1）÷2，
=5×4÷2，
=10（次）；
答：共要握10次手．
故答案为：10．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣1）÷2求解．
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班42人都报名参加了活动，其中27人参加书画小组，24人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（ ）
A． 7人 B． 8人 C． 9人 D． 10人
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用27+24求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两个小组都参加的人数．
解答： 解：27+24﹣42，
=51﹣42，
=9（人）；
答：两个小组都参加的有9人，
故选：C．
点评： 解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题．
10．（2012•黄岩区）六（1）班有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（ ）
A． B． C． D．
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题．
分析： 把总人数看作单位“1”，根据“有的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小灵通》．”可知：包括三部分，只订阅《小学生数学报》的人数、只订阅《数学小灵通》的人数、两种都订阅的人数的2倍，所以都订阅的人数是：﹣1=，据此解答．
解答： 解：﹣1，
=﹣1，
=；
答：既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的．
故选：C．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错，那么两道都做错的有 3 人．
考点： 容斥原理．
分析： 第一题做对的25人中，有10人是全部做对，则有25﹣10=15人是只做对第一题，而做错第二题的；已知第二题总共有18人做错，那么多余的三人就是全错的．
解答： 解：18﹣（25﹣10），
=18﹣15，
=3（人）；
答：两道题都做错的有3人．
故答案为：3．
点评： 根据第一题做对的人数和两题全对的人数，得出第一题对，而第二题错的人数是解决本题的关键．
12．（2013•吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是 8：7 ．
考点： 容斥原理．
分析： 此题可以设出同时参加两个小组的人数为x人，利用未知数x来分别表示只参加体育小组的人数和只参加歌唱小组的人数，从而进行化简，求得它们的人数的比．
解答： 解：设同时参加两个小组的人数为x人，
则：体育小组的人数为：x÷=5x，
歌唱小组的人数为：x=x，
那么只参加体育小组的人数为：5x﹣x=4x，
只参加歌唱小组的人数为：x﹣x=x
所以只参加体育小组与只参加唱歌小组的人数的比为：4x：x=4：=8：7．
答：这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之8：7．
故答案为：8：7．
点评： 此题此题属于不直接解出方程的题型，借助于未知数x来表示体育小组的人数和歌唱小组的人数，从而通过化简求得比值．
13．（2013•泰州）在六年级300名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现50名同学两样都不会，有的学生两样都会，有的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有 50 名．
考点： 容斥原理；分数四则复合应用题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 两样都会的学生有：300×=40人，会下中国象棋的学生有300×=240人，会下中国象棋和国际象棋的人数是：300﹣50=250人，那么会下国际象棋的有：250﹣240+40=50（名），据此解答．
解答： 解：300﹣50﹣300×+300×
=250﹣240+40
=50（名）
答：会下国际数棋的学生有50名．
故答案为：50．
点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
14．（2013•成都）某市有1000个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有750人，既懂英语又懂俄语的有200人，那么懂俄语的教师有 450 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 在懂英语的750人中有200人懂俄语，那么就有550人只懂英语，那么剩下的450人就肯定懂俄语了．
解答： 解：1000﹣（750﹣200）
=1000﹣550
=450（人）．
答：懂俄语的教师有450人．
点评： 此题属于容斥问题，关键是求出只懂英语的人数，进而求得懂俄语的人数．
15．（2012•乐清市）某市800个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，那么懂俄语的教师为 390 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 懂英语的550人，既懂英语又懂俄语的140人，则只懂英语的有550﹣140=410人，共有800个外语教师懂英语或俄语，则懂俄语的有800﹣410人．
解答： 解：800﹣（550﹣140）
=800﹣410，
=390（人）．
答：懂俄语的教师为 390人．
故答案为：390．
点评： 首先求出只懂英语的人数是完成本题的关键，在本题中懂俄语的390人中，也包括既懂英语又懂俄语的人．
16．（2011•成都）六年级二班有45名同学参加毕业考试，其中语文及格的有43人，数学及格的有40人，有1人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有 39 人．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 45名同学参包括四部分：只语文及格的、只数学及格的、语文和数字都没有及格的、语文数学都及格的；又由于语文数学都及格的既属于语文及格的43人，又属于数学及格的40人，所以，语文数学都及格的有：43+40﹣（45﹣1）=39（人）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
43+40﹣（45﹣1），
=83﹣44，
=39（人）；
答：语文数学都及格的有39人．
故答案为：39．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是知道45人包括四部分，难点是理解重叠部分（语文数学都及格的人数），既包含在43人里，又包含在40人里；知识点是：既A又B的人数=总人数﹣（A+B）﹣既不是A又不是B．
17．一批外国游客，会说英语的有88人，会说法语的有60人，其中两种语言都能说的有40人，还有16人两种语言都不懂．这批游客共有 124 人．
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 只会说英语的有88﹣40=48人；只会说法语的有60﹣40=20人，那么这批游客共有48+20+40+16=124人，据此解答．
解答： 解：88﹣40=48（人），
60﹣40=20（人），
48+20+40+16=124（人）；
答：这批游客共有124人．
故答案为：124．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解总人数包括四部分，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B+既不属于A又不属于B．
18．（2014•长沙）某校六年级共有110人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参加一组．已知参加语文小组的有52人，只参加语文小组的有16人；参加英语小组的有61人，只参加英语小组的有15人；参加数学小组的有63人，只参加数学小组的有21人．那么三组都参加的有多少人？
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 只参加一组的人有：16+15+21=52；那么剩下110﹣52=58人至少参加两组，总活动人数52+61+63=176；176﹣110=66；剩下的58人每人再参加一组，66﹣58=8；剩下的活动人数只能是三组都参加的人，由此即可解答．
解答： 解：只参加一组活动的有：16+15+21=52（人），
则至少参加两组活动的有：110﹣52=58（人），
总活动人数是：52+61+63=176（人），
每人至少参加一组活动，则剩下活动人数为：176﹣110=66；
则：66﹣58=8（人），
答：三组都参加的有8人．
点评： 此题关键是找出参加这三个活动小组的总活动人数和只参加一个小组的人数；减去每人至少参加一次的活动人数，则得出剩下的活动人数对应的就是至少参加两个小组的人数，由此即可解答．
19．（2014•岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，其中，中国电视报34份，北京晚报30份，参考消息22份，那么订北京晚报和参考消息的共有多少家？
考点： 容斥原理．
分析： 先根据每家订2份不同报纸，以及报纸的总数求出一共有多少家；不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；再用总家数减去中国电视报34份即可．
解答： 解：每家订2份不同报纸，而共订了
34+30+22=86（份）；
86÷2=43（家）；
43﹣34=9（家）；
答：订北京晚报和参考消息的共有9家．
点评： 本题关键是求出总家数，然后理解不订中国电视报的人家，必然订的是北京晚报和参考消息；由此列式求解．
20．（2014•岳麓区）某校六年级有120名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有15人，既参加了体育兴趣小组又参加了数学兴趣小组有10人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有8人，三个兴趣小组都参加的有4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 此题属于三者容斥原理，根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，所以A∪B∪C=135﹣15﹣
10﹣8+4=106（人），都没参加的有120﹣106=14（人），据此解答．
解答： 解：根据公式A∪B∪C=A+B+C﹣A∩B﹣A∩C﹣B∩C+A∩B∩C，
这里A+B+C=135、A∩B=15、A∩C=10、B∩C=8、A∩B∩C=4，
所以A∪B∪C=135﹣15﹣10﹣8+4=106（人），
都没参加的有120﹣106=14（人），
答：三个兴趣小组都没有参加的有14人．
点评： 此题考查了三者容斥原理公式的运用．
21．（2012•富源县）学校运动会上，六（1）班同学有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都参加的同学至少有多少人？
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 因为有22人参加拔河比赛，有12人参加迎面接力赛跑，有10人参加集体跳绳．一共有22+12+10=44人，其中有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳，根据容斥原理可知，参加比赛的一共有44﹣6﹣8=30人；又因为有6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，所以参加接力赛跑的12人中，去掉6人，还剩下6人，又有8人既参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．所以这8人中至少有8﹣6=2人三项比赛都参加，据此即可解答．
解答： 解：总人数：22+12+10﹣6﹣8=30（人），
三项都参加的至少有：8﹣（12﹣6），
=8﹣6，
=2（人），
答：一共有30人参加比赛，至少有2人三项比赛都参加．
点评： 本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
22．（2011•福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的55%．有弟弟的学生是全班学生人数的50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 全班人数包括四部分：只有哥哥的学生，只有弟弟的学生，既有哥哥，又有弟弟的学生既没有哥哥，又没有弟弟的学生，因此既没有哥哥，又没有弟弟的学生占全班的：1﹣（55%+50%﹣25%）=20%，根据分数乘法的意义，求全班的总人数，列式为：8÷[1﹣（55%+50%﹣25%）]，然后解答即可得出答案．
解答： 解：8÷[1﹣（55%+50%﹣25%）]，
=8÷20%，
=40（人）；
答：小明班上共有学生40名．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解全班人数包括四部分，知识点是：总人数=（A+B）﹣既A又B．本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B=A+B﹣总数量（两种情况）．本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
难点三、抽屉原理
23．（2013•浠水县）向东小学六（2）班有49名学生，他们中至少有（ ）人是同一个月出生的．
A． 2 B． 5 C． 不能确定
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 因一年有12个月，考虑到最差情况就是49人中有每月4个同月出生的人，剩下的一人不论是哪个月出生的，都有4+1=5人是同一月出生的．据此解答．
解答： 解：49÷12=4（人）…1（人），
4+1=5（人）．
答：他们中至少有5人是同一个月出生的．
故选B．
点评： 本题考查到抽屉原理中的最差情况是解答本题的关键．
24．（2013•顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各5粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（ ）粒玻璃珠．
A． 3 B． 5 C． 7 D． 无法确定
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把红、黄、蓝三种颜色看做3个抽屉，考虑最差情况：每种颜色都摸出2粒，则一共摸出2×3=6粒玻璃珠，此时再任意摸出一粒，必定能出现3粒玻璃珠颜色相同，据此即可解答．
解答： 解：根据题干分析可得：
2×3+1=7（粒），
答：至少摸出7粒玻璃珠，可以保证取到3粒颜色相同的玻璃珠．
故选：C．
点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用．
25．（2013•广州）下列说法正确的是（ ）
A． 小明从六年级380人中居然找不到同一天过生日的同学
B． 李师傅做100个零件，合格率是95%，如果他再做2个合格零件，那么合格率就达97%
C． 把一件商品先提价20%，再降价20%，其价格变低了
考点： 抽屉原理；百分数的实际应用；存款利息与纳税相关问题．
专题： 分数百分数应用题；传统应用题专题．
分析： 对各选项进行分析，然后得出正确结果．
解答： 解：A、一年最多有366天，380÷366=1…14人，最坏的情况是，每天都有1名学生过生日的话，还余14人，根据抽屉原理，至少有1+1=2人在同一天过生日；
B、先用“100×95%”求出原来合格零件的个数，进而求出后来合格零件个数和零件总个数，进而根据公式：×100%；所以合格率是（100×95%+2）÷（100+2）×100%=95.1%；
C、把原价看做1，则降价20%后的价格：1×（1﹣20%）=1×0.80=0.8；
再提价20%的现价：0.8×（1+20%）=0.8×1.2=0.96，因为0.96＜1，所以它的价格变低了；
故选：C．
点评： 此题涉及的知识面较多，注意平时知识的积累．
26．（2013•东莞市）在任意的37个人中，至少有（ ）人属于同一种属相．
A． 3 B． 4 C． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把12个属相看做12个抽屉，37人看做37个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答．
解答： 解：37÷12=3…1
3+1=4（人）
答：至少有4人的属相相同．
故选：B．
点评： 此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑．
27．（2013•安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（ ）个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 因有三种颜色的球，所以最差情况是取3次各取到一种颜色的球，所以要取把3个同一颜色球的最差机会是取（4﹣1）×3=9次，再取1次，不论取的是什么颜色的球，都可以保证取到4个颜色相同的球．据此解答．
解答： 解：（4﹣1）×3+1，
=3×3+1，
=9+1，
=10（个）．
答：至少取出10个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
故选：C．
点评： 本题的关键是先求出保证几次取到3个颜色相同的球，再根据抽屉原理，求出取到4个相同颜色球的个数．
28．（2012•盈江县）13个人里至少有（ ）个人是同一属相．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 共有12个生肖，考虑最差情况：13个人中，其中12个人的生肖各不相同，根据抽屉原理可知：第13个人的属相无论是哪一个，都会出现有2个人的生肖相同，据此即可选择．
解答： 解：考虑最差情况：13个人中，其中12个人的生肖各不相同，
根据抽屉原理可知：第13个人的属相无论是哪一个，都会出现有2个人的生肖相同，
即13个人中至少有2人属相相同．
故选：A．
点评： 因为有12个生肖，有可能12个人生肖各不相同，所以第13个人无论属什么，都能保证2个人的属相相同．
29．（2012•明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各4个，至少要摸出（ ）个球才能保证摸到两个同颜色的球．
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 从最极端情况分析，假设前2个都摸出红、黄各一个球，再摸1个只能是两种颜色中的一个，进而得出结论．
解答： 解：2+1=3（个）；
答：至少要摸出3个球才能保证摸到两个同颜色的球；
故选：B．
点评： 此题属于典型的抽屉原理习题，做题的关键是从最极端情况进行分析，进而通过分析得出问题答案．
30．（2012•龙海市）教室里有21名同学，至少有（ ）名同学是在同一个月出生的．
A． 2 B． 7 C． 6
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 一年共有12个月，将这12个月当做12个抽屉，21÷12=1名…9名，即平均每月出生一个，还剩下9人，根据抽屉原理可知，至少有1+1=2名同学是在同一个月出生的．
解答： 解：21÷12=1名…9名，
1+1=2名．
即至少有2名同学是在同一个月出生的．
故选：A．
点评： 在此类问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）．
31．（2012•汉阳区）六（1）班有44名同学，这个班至少有（ ）名同学是同一个月出生的．
A． 2 B． 3 C． 4
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 把一年12个月看作12个抽屉，把44名同学看作44个元素，那么每个抽屉需要放44÷12=3（个）…8（个），所以每个抽屉需要放3个，剩下的8个再不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：3+1=4（个），据此解答．
解答： 解：44÷12=3（个）…8（个），
3+1=4（个）；
答：这个班至少有4名同学是同一个月出生的．
故选：C．
点评： 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数=元素的总个数÷抽屉的个数+1（有余数的情况下）”解答．
32．（2014•长沙）有黑色、白色、红色的筷子各8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，至少要取 11 根才能保证达到要求．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情况考虑，其中一种颜色取尽，然后再取其它颜色，比如一个抽屉需要先放8根黑筷子，这时没有异色筷子，再在另外两个抽屉里不论放2根白色或2根红色还是1根白色和一根红色，不可能组成颜色不同的两双筷子，所以还需要再取1根，因此至少要取出：8+2+1=11（根）；据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
8+2+1=11（根）；
答：至少要取11根才能保证达到要求．
故答案为：11．
点评： 抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，本题的难点是理解要求“至少数”必须先取尽同色的一种8根．
33．（2014•芜湖县）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放总有一个抽屉至少放进 3 本．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把7本书放进3个抽屉中，7÷3=2本…1本，即平均每个抽屉放入2本后，还余一本书没有放入，即至少有一个抽屉里要放进2+1=3本书．
解答： 解：7÷3=2（本）…1（本），
2+1=3（本）．
答：总有一个抽屉至少会放进3本书；
故答案为：3．
点评： 把多于m×n个元素放入n个抽屉中，那么，一定有一个抽屉里至少有m+1个或者m+1个以上的元素．
34．（2014•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书． √ （判断对错）
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 7本书放进2个抽屉，7÷2=3本…1本，即每平均每个抽屉放3本后，还余1本，所以至少有一个抽屉至少要放3+1=4本．
解答： 解：7÷2=3（本）…1本．
3+1=4（本）．
答：有一个抽屉至少要放4本．
故答案为：√．
点评： 在此类抽屉问题中，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）．
35．（2013•枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个8根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色的一双筷子，至少要取出 4 根才能保证达到要求．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 把3种不同颜色看作3个抽屉，把8根不同颜色的筷子看作8个元素，从最不利情况考虑，取出三根，颜色各不相同，此时再任意取出一根，即可出现一双颜色相同的筷子，据此即可解答问题．
解答： 解：根据题干分析可得：3+1=4（个）
答：要想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出4根才能保证达到要求．
故答案为：4．
点评： 解答此题的关键是明确：要想从这些筷子中取出颜色相同的一双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求，用颜色数+1即可解答问题．
36．（2013•长沙）将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有7名同学分到的卡片的张数相同．
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题干，假设没有7人以上分到的卡片数相同，那么最多就6人分得的卡片张数相等，根据题意，那么1﹣11每个数字最多有6个人分到那分的卡片数最多为1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6+8×6+9×6+10×6+11×6=396张，不到400张，说明此假设不成立，至少有7名同学分得的卡片张数相等．
解答： 解：假设没有7人以上分到的卡片数相同，那么最多就6人分得的卡片张数相等，
根据题意，那么1﹣11每个数字最多有6个人分到那分的卡片数最多为：
1×6+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6+8×6+9×6+10×6+11×6=396张，
不到400张，说明此假设不成立，
所以至少有7名同学分得的卡片张数相等．
点评： 解答此题的关键是利用假设法进行推理少于7名同学的情况不成立，从而得出原命题成立．
37．（2012•盈江县）把红黄两种颜色的小棒各4根捆在一起，每次最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒． 正确 ．
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 根据题意可知，小棒的颜色共有2种，各4根，根据抽屉原理可知，一次至少要拿出4+1=5根小棒一定保证有2根小棒是不同颜色．
解答： 解：4+1=5（根），
即最少抽出5根小棒就可以保证一定有不同色的小棒，原题说法正确．
故答案为：正确．
点评： 此题考查了抽屉原理的灵活应用，要注意考虑最差情况．[来源:学科网ZXXK]
38．（2012•仙游县）五（1）班从49名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人．统计完37张票后发现：小红15票，小明10票，小华12票．在余下的票中，小红至少再得 5 票才能保证以最多票数当选班长．
考点： 抽屉原理．
分析： 小红比小华多了3张选票，已经统计了37张选票，还剩下12张没统计，假设这12张全部给小红和小华，只要小华的不比小红的多出3张或以上的选票，小红就会当选．只要求出小华比小红多分得2张的情况即可．
解答： 解：49﹣（15+10+12）=12（张），
小红已经比小华多了：15﹣12=3（张），
若把这12张平均分给二人：
12÷2=6（张），每人6张，小红再给小华1张，小华就比小红多分得2张，
小红分的数量6﹣1=5（张）
答：小红至少再得5张票才能当选．
故答案为：5．
点评： 小红和小华的票数较多，就考虑剩下的选票都给小红和小华，只要小红的总数比小华的总数多1张，小红就可以当选．解决本题就从这两个方面考虑．
39．（2012•恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是40多，在新学期开始该校7年级1班共有43人投票选举班长，每人只能选1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？
候选人 乐乐 喜喜 欢欢
票数 12 10 8
考点： 抽屉原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 根据题意知一共43票，已经计了30票，还有43﹣30=13票没计，现在乐乐得了12票，喜喜得了10票，只要小刚得到的票数比喜喜多1票才能当选．用剩下的票减去乐乐比喜喜多的（12﹣10）=2票，再除以2，得到的商是两人再得多少票就一样，把剩下的票数给乐乐，就能当选．
解答： 解：43﹣30=13（票）
12﹣10=2（票）
（13﹣2）÷2，
=11÷2
=5（票）…1（票）
5+1=6（票）；
答：乐乐至少还要6票，才能保证一定当选．
点评： 本题的关键是求出和乐乐得票最近的喜喜在剩下的票里再得多少票才和乐乐的票数一样多，再根据抽屉原理求出乐乐应得的票数．
40．某校有201人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数，若总分为9999分，则至少有 3 人的分数相同．
考点： 抽屉原理．
分析： 按照百分制计分，那么得分情况有101种：即0分，1分，2分，3分，…100分；把这101种得分情况看做101个抽屉，把201个人看做是201个球，201÷101=1…100，考虑最差情况：每个抽屉都有2个人得分相同，再根据总分情况进行讨论分析即可解决问题．
解答： 解：根据题干可知得分情况有101种，把这101种得分情况看做101个抽屉，
201÷2=100…1；
考虑最差情况：有100个抽屉都有有2个得分相同，剩下1个抽屉只有1个得分情况；
此时这201个人的得分总数最少是：0×2+1×2+2×2+…+99×2+100=10000＞9999，
所以这与已知相矛盾，
答：至少有一个抽屉有3种得分情况才能满足已知条件，即至少有3人的得分相同．
故答案为：3．
点评： 此题找出101种得分情况，利用抽屉原理考虑最差情况并结合实际得分情况进行分析是解决本题的关键．
41．10只鸽子飞回3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只 正确 ．
考点： 抽屉原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 10只鸽子飞进三个鸽舍，10÷3=3（只）…1只，即平均每个鸽舍飞入三只鸽子后，还有1只鸽子没有飞入，因此总有一个鸽舍至少飞进3+1=4只．
解答： 解：10÷3=3（只）…1只，
3+1=4（只）．
答：总有一个鸽舍至少飞进4只鸽子．
故答案为：正确．
点评： 此为典型的抽屉问题，至少数=物体数除以抽屉数的商+1（有余数的情况下）
难点四、沏茶问题
42．（2013•海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花（ ）分钟．
A． 21 B． 25 C． 26 D． 41
考点： 沏茶问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+5=25分钟．
解答： 解：根据题干分析，可设计如下工序：
20+5=25（分钟），
故选：B．
点评： 此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答．
43．（2013•云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用20分钟；扫地要用6分钟；擦家具要用10分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花 23 分钟．
考点： 沏茶问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用洗衣机洗衣服的同时，可以扫地，擦家具，可节约6+10=16分钟，所以做完这件事至少需要20+3=23分钟．
解答： 解：根据题干分析，可设计如下工序：
20+3=23（分钟），
答：做完这些事至少要花23分钟．
故答案为：23．
点评： 此题属于合理安排时间问题，要奔着既节约时间又不使每道工序相矛盾进行解答；应明确：晾衣服必须在洗完衣服的基础上再晾．
44．（2011•商州区）奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10分钟，洗茶杯要2分钟，找茶叶1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要 11 分钟做完这些事情．
考点： 沏茶问题．
分析： 煮开水的同时，可以洗茶杯、找茶叶、洗水果、整理客厅，可以节约2+1+2+3=8分钟，所以最短需要的时间是：10+1=11分钟．
解答： 解：根据题干可以设计如下：
10+1=11（分钟），
答：最短需要11分钟做完这些事情．
故答案为：11．
点评： 此题属于合理安排时间的问题，奔着既节约时间，又不使每道工序相互矛盾进行设计．
45．（2011•重庆）家里来客人了，你热情地为客人烧水沏茶．其中洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要1分钟．为了让客人早点儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用 12 分钟就能沏好茶．
考点： 沏茶问题．
专题： 压轴题．
分析： 根据题意，可得最合理安排是，洗水壶要用1分钟，再烧开水要用10分钟，同时可以洗茶杯和拿茶叶，最后用开水泡茶要1分钟，这样的安排时间最少，即1+10+1=12（分钟）．
解答： 解：根据题意可知，一边烧开水，一边还可以洗茶杯和拿茶叶，则最少时间是：1+10+1=12（分钟）．
故填：12．
点评： 根据题意可知，当有许多事要做时，科学地安排好先后顺序，就能用较少的时间完成较多的事情．
难点五、乘法原理
46．（2012•成都）某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（ ）张火车票．
A． 60 B． 95 C． 110 D． 55
考点： 乘法原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 这11个车站到其它的每个车站都有10趟车，由此求解．
解答： 解：11×10=110（张），
答：他一共要收集110张；
故选：C．
点评： 本题中由A站到B站和由B站到A站是不同的车票，不需要再除以2．
47．（2011•涟水县）从甲村到乙村有4条路可走，乙村到丙村有3条路可走．那么从甲村经过乙村到丙村有（ ）种不同的走法．
A． 7 B． 9 C． 12
考点： 乘法原理．
分析： 从甲村经过乙村到丙村可以看作分两步走，第一步从甲村到乙村有4种选择，第二步从乙村到丙村又有3种选择，要完成从甲村经过乙村到丙村这一件事，根据乘法原理一共有4×3=12（种）不同的走法，然后即可作出判断．
解答： 解：根据乘法原理可得：
4×3=12（种）；
答：从甲村经过乙村到丙村有12种不同的走法．
故选：C．
点评： 本题考查了乘法原理，在本题中不能用加法原理；使用乘法原理与加法原理的不同之处在于：在用加法原理时，完成一件事有几类方法，不论用哪一类方法，都能完成这件事；而用乘法原理时，完成一件事情可分为几步，只有每步都完成了，这件事情才得以完成．
48．（2011•邗江区）张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配（ ）种不同的穿法．
A． 9 B． 14 C． 24 D． 6
考点： 乘法原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 张老师有3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，则每件衬衫与4条裤子共有4种搭配方法，所以3件衬衫、4条裤子共有3×4=12种搭配方法，则根据乘法原理可知，3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配12×2=24种不同的穿法．
解答： 解：3×4×2=24（种），
答：用它们一共可以搭配24种不同的穿法．
故选：C．
点评： 乘法原理为：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有 N=m1m2…mn 种不同的方法．
49．（2011•淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机．那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有 6 种走法．
考点： 乘法原理．
专题： 压轴题．
分析： 从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，即从甲地到乙地有2种走法；从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞机，即从乙地到丙地有3种走法．所以每一种从甲地到乙地的走法再到丙地都有3种走法，从甲地到乙地有两种，根据乘法原理可知，从甲地经过乙地到达丙地，一共有2×3=6种走法．
解答： 解：2×3=6（种）．
答：从甲地经过乙地到达丙地，共有6种走法．
故答案为：6．
点评： 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2不同的方法，…，做第n步有mn不同的方法．那么完成这件事共有 N=m1m2…mn 种不同的方法．
50．（2012•建华区）用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可以组成18个的不同的四位数． × ．
考点： 乘法原理．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 先排千位，有4种排法；再排百位，有3种排法；再排十位，有2种排法；再排个位，有1种排法，共有4×3×2×1=24种，据此解答．
解答： 解：根据分析可得，
共有：4×3×2×1=24（种）；
答：一共可以组成24个的不同的四位数．
故答案为：×．
点评： 本题考查了乘法原理即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有Mn种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×Mn种不同的方法．
难点六、加法原理
51．（2012•威宁县）28人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛 27 场．
考点： 加法原理．
分析： 由于共28人参赛，采用淘汰赛，每场比赛都要淘汰一人，则打28÷2=14场决出14强，打14÷2=7场决出前七名，打7÷2=3场，一人轮空自动晋级，决出前四，然后两场决出前2，最后前二打一场决出冠军．根据加法的意义，共需打14+7+3+2+1=27场．
解答： 解：由于28人参赛，
则打先14场决出前14名，再打7场决出前7名，
此时一人轮空，另外6名打三场后，决出前4名，
前4打两场后决出前2名，
最后打1场决出冠军．
所以共需打：14+7+3+2+1=27场才能决出冠军．
故答案为：27．
点评： 在淘汰赛制中，参赛队数与比赛场数的关系为：比赛场数=队数﹣1．
难点七、排队论问题
52．（2012•慈溪市）2003名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有 267 名．
考点： 排队论问题．
专题： 探索数的规律．
分析： 先按报数规律，写出一些数，会发现：从左至右每15个人三次报数的情况重复一次，符合要求的只有左起第8，10两人；也就是每15个人一个循环周期，每一个循环周期有两个人符合要求，然后根据2003里有几个15，再结合余数解答即可．
解答： 解：从左至右每15个人三次报数的情况重复一次．前15人的情况如下表：第一次报数：1231231 2 3 1 23123，
第二次报数：3215432 1 5 4 32154，
第三次报数：1234512 3 4 5 12345，
符合要求的只有左起第8，10两人；
2003÷15=133…8，
符合要求的学生共有：2×133+1=267（人）；
故答案为：267．
点评： 本题关键是求出找到循环周期，注意余的8人还有一人符合要求．
53．（2011•云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了3排，每排人数正好相等，小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，六（3）班一共有 45 名学生．
考点： 排队论问题． [来源:学科网]
专题： 包含与排队问题．
分析： 小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，那么小军左右两边共有7+7=14（人），再加上小军本人，这一排共有15人，3排共有学生15×3人，计算得出．
解答： 解：（7+7+1）×3，
=15×3，
=45（人）；
答：六（3）班一共有45名学生．
故答案为：45．
点评： 此题应先求出1排的人数．在列式计算时，不要忘记加上小军本人，这是容易出错的地方．
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