2021年中考数学专题复习 专题37 二次函数问题（教师版含解析）

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专题37 二次函数问题

1.二次函数的概念：
一般地，自变量x和y之间存在如下关系： y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。抛物线叫做二次函数的一般式。
2.二次函数y=ax2 +bx+c(a≠0)的图像与性质


y
x
O





(1)对称轴：
(2)顶点坐标：
(3)与y轴交点坐标(0，c)
(4)增减性：
当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；
当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小。
3.二次函数的解析式三种形式
(1)一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0).已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
(2)顶点式
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
(3)交点式 .已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式。
4．根据图像判断a,b,c的符号
(1)a 确定开口方向 ：当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下。
(2)b ——对称轴与a 左同右异。
(3)抛物线与y轴交点坐标(0，c)
5．二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax2 +bx+c与x轴交点的横坐标x1, x2 是一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根。
抛物线y=ax2 +bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2 +bx+c=0
>0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；
=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；
<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点。
6．函数平移规律：左加右减、上加下减.

【例题1】(2020贵州黔西南)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( )

A. 点B坐标为(5，4) B. AB＝AD C. a＝ D. OC•OD＝16
【答案】D
【解析】由抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，可得点A的坐标，然后由抛物线的对称性可得点B的坐标，由点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，可知∠ACO=∠ACB，再结合平行线的性质可判断∠BAC=∠ACB，从而可知AB=AD；过点B作BE⊥x轴于点E，由勾股定理可得EC的长，则点C坐标可得，然后由对称性可得点D的坐标，则OC•OD的值可计算；由勾股定理可得AD的长，由交点式可得抛物线的解析式，根据以上计算或推理，对各个选项作出分析即可．
解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，所以A(0，4)．因为对称轴为直线x＝，AB∥x轴，所以B(5，4)，选项A正确，不符合题意．如答图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5．因为AB∥x轴，所以∠BAC＝∠ACO．因为点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，所以∠ACO＝∠ACB，所以∠BAC＝∠ACB，所以BC＝AB＝5．在Rt△BCE中，由勾股定理得EC＝3，所以C(8，0)，因为对称轴为直线x＝，所以D(－3，0)．在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，所以AD＝5，所以AB＝AD，选项B正确，不符合题意．设y＝ax2＋bx＋4＝a(x＋3)(x－8)，将A(0，4)代入得4＝a(0＋3)(0－8)，解得a＝，选项C正确，不符合题意．因为OC＝8，OD＝3，所以OC•OD＝24，选项D错误，符合题意，因此本题选D．

【点拨】本题考查了二次函数的性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的相关性质并数形结合是解题的关键．
【对点练习】(2020湖北天门模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)．对于下列命题：①b﹣2a=0；②abc＜0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有( )

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】A
【点拨】根据图象可得：a＞0，c＞0，对称轴：。
①∵它与x轴的两个交点分别为(﹣1，0)，(3，0)，∴对称轴是x=1，
∴。∴b+2a=0。故命题①错误。
②∵a＞0，，∴b＜0。
又c＞0，∴abc＜0。故命题②正确。
③∵b+2a=0，∴a﹣2b+4c=a+2b﹣4b+4c=﹣4b+4c。
∵a﹣b+c=0，∴4a﹣4b+4c=0。∴﹣4b+4c=﹣4a。
∵a＞0，∴a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0。故命题③正确。
④根据图示知，当x=4时，y＞0，∴16a+4b+c＞0。
由①知，b=﹣2a，∴8a+c＞0。故命题④正确。
∴正确的命题为：①②③三个。故选A。
【点拨】二次函数图象与系数的关系。
【例题2】(2020•无锡)二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　 　．
【答案】(32，﹣9)或(32，6)．
【分析】把点A(6，0)代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，得到y=-16x2+12x+3，求得B(0，3)，抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，设点M的坐标为：(32，m)，当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】把点A(6，0)代入y＝ax2﹣3ax+3得，0＝36a﹣18a+3，
解得：a=-16，
∴y=-16x2+12x+3，
∴B(0，3)，抛物线的对称轴为x=-122×(-16)=32，
设点M的坐标为：(32，m)，
当∠ABM＝90°，
过B作BD⊥对称轴于D，
则∠1＝∠2＝∠3，
∴tan∠2＝tan∠1=63=2，
∴DMBD=2，
∴DM＝3，∴M(32，6)，
当∠M′AB＝90°，∴tan∠3=M'NAN=tan∠1=63=2，
∴M′N＝9，∴M′(32，﹣9)，
综上所述，点M的坐标为(32，﹣9)或(32，6)．

【对点练习】已知抛物线y=ax2﹣3x+c(a≠0)经过点(﹣2，4)，则4a+c﹣1=　 　．
【答案】-3
【解析】二次函数图象上点的坐标特征．将点(﹣2，4)代入y=ax2﹣3x+c(a≠0)，即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．
把点(﹣2，4)代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴4a+c﹣1=﹣3，
故答案为﹣3．
【例题3】(2020•河南)如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【答案】见解析。
【分析】(1)先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；
(2)先求出点M，点N坐标，即可求解．
【解析】(1)∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B(0，c)，
∵OA＝OB＝c，∴点A(c，0)，∴0＝﹣c2+2c+c，∴c＝3或0(舍去)，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
∴顶点G为(1，4)；
(2)∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣1)2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为(﹣2，﹣5)或(4，﹣5)，点N坐标(6，﹣21)，
∵点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤4．
【对点练习】如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴
是x=2．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析。

【解析】(1)由题意得，，
解得b=4，c=3，
∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；
(2)∵点A与点C关于x=2对称，
∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3，0)，
y=x2﹣4x+3与y轴的交点为(0，3)，
∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，
，
解得，k=﹣1，b=3，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
则直线BC与x=2的交点坐标为：(2，1)
∴点P的交点坐标为：(2，1)．

【点拨】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．

一、选择题
1．(2020•鄂州)如图，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．
【解析】①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；②对称轴为x=-b2a＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
2．(2020•株洲)二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则(　　)
A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2
C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定
【答案】B
【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．
【解析】∵a﹣b2＞0，b2≥0，
∴a＞0．
又∵ab＜0，
∴b＜0，
∵x1＜x2，x1+x2＝0，
∴x2＝﹣x1，x1＜0．
∵点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，
∴y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12-bx1+c．
∴y1﹣y2＝2bx1＞0．
∴y1＞y2．
3．(2020•襄阳)二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有(　　)

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．
【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴-b2a=1，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线经过点(﹣1，0)，
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；
③∵抛物线与x轴由两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；

4．(2020•广东)把函数y＝(x﹣1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为(　　)
A．y＝x2+2 B．y＝(x﹣1)2+1 C．y＝(x﹣2)2+2 D．y＝(x﹣1)2﹣3
【答案】C
【分析】先求出y＝(x﹣1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解析】二次函数y＝(x﹣1)2+2的图象的顶点坐标为(1，2)，
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2，2)，
∴所得的图象解析式为y＝(x﹣2)2+2．
5．(2020•菏泽)一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由二二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较看是否一致．
【解析】A.由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；
B.由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；
C.由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；
D.由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．
6．(2020•天津)已知抛物线y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0，c＞1)经过点(2，0)，其对称轴是直线x=12．有下列结论：
①abc＞0；
②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；
③a＜-12．
其中，正确结论的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴-b2a=12，b＝﹣a，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；
根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；
根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点(2，0)以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=12，
而点(2，0)关于直线x=12的对称点的坐标为(﹣1，0)，
∵c＞1，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x=12，
∴-b2a=12，
∴b＝﹣a＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，
∴顶点在x轴的上方，
∵a＜0，
∴抛物线与直线y＝a有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点(2，0)，
∴4a+2b+c＝0，
∵b＝﹣a，
∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，
∴﹣2a＝c，
∵c＞1，
∴﹣2a＞1，
∴a＜-12，故③正确，
7．(2020•陕西)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣(m﹣1)x+m(m＞1)沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
【解析】∵y＝x2﹣(m﹣1)x+m＝(x-m-12)2+m-(m-1)24，
∴该抛物线顶点坐标是(m-12，m-(m-1)24)，
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是(m-12，m-(m-1)24-3)，
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴m-12＞0，
∵m-(m-1)24-3=4m-(m2-2m+1)-124=-(m-3)2-44=-(m-3)24-1＜0，
∴点(m-12，m-(m-1)24-3)在第四象限；
8.(2019哈尔滨)将抛物线向上平移3个单位长度,再向右平移2个单位长度,所得到的抛物线
为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2(x﹣2)2+3，故选B．
9.(2019年陕西省)已知抛物线，当时，，且当时， y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是( )．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据“当时，”，得到一个关于m不等式，在根据抛物线，可知抛物线开口向上，再在根据“当时， y的值随x值的增大而减小”，可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，从而列出第二个关于m的不等式，两个不等式联立，即可解得答案．
因为抛物线，
所以抛物线开口向上．
因为当时，，
所以 ①，
因为当时， y的值随x值的增大而减小，
所以可知抛物线的对称轴在直线的右侧或者是直线，
所以②，
联立不等式①，②，解得．
10.(2019广西梧州)已知，关于的一元二次方程的解为，，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】关于的一元二次方程的解为，，可以看作二次函数与轴交点的横坐标，
二次函数与轴交点坐标为，，如图：
当时，就是抛物线位于轴上方的部分，此时，或；
又
，；
，
故选：A．

二、填空题
11．(2020•南京)下列关于二次函数y＝﹣(x﹣m)2+m2+1(m为常数)的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0，1)；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④．
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【解析】①∵二次函数y＝﹣(x﹣m)2+m+1(m为常数)与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，
∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝﹣(x﹣m)2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，
∴该函数的图象一定经过点(0，1)，故结论②正确；
③∵y＝﹣(x﹣m)2+m2+1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，
∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确.
12．(2020•连云港)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x(单位：min)满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　 　min．
【答案】3.75．
【分析】根据二次函数的性质可得．
【解析】根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x=-1.52×(-0.2)=3.75时，y取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
13．(2020•泰安)已知二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的y与x的部分对应值如下表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
下列结论：
①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点(﹣8，y1)，点(8，y2)在二次函数图象上，则y1＜y2；
④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　 　．(把所有正确结论的序号都填上)
【答案】①③④．
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
【解析】将(﹣4，0)(0，﹣4)(2，6)代入y＝ax2+bx+c得，
16a-4b+c=0c=-44a+2b+c=6，解得，a=1b=3c=-4，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4，
a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x=-32，即当x=-32时，函数的值最小，因此②不正确；
把(﹣8，y1)(8，y2)代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④
14．(2020•哈尔滨)抛物线y＝3(x﹣1)2+8的顶点坐标为　 　．
【答案】(1，8)．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a(x﹣h)2+k，顶点坐标是(h，k)．
【解析】∵抛物线y＝3(x﹣1)2+8是顶点式，
∴顶点坐标是(1，8)．
15．(2020•无锡)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　 　．
【答案】y＝x2(答案不唯一)．
【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的性质直接写出即可．
【解析】∵图象的对称轴是y轴，
∴函数表达式y＝x2(答案不唯一)，
故答案为：y＝x2(答案不唯一)．
16．(2020•上海)如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　 　．
【答案】y＝x2+3．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
17．(2020•黔东南州)抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是　 　．

【答案】﹣3＜x＜1．
【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解析】∵物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标为(﹣3，0)，对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
18．(2020•灌南县一模)二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为　 　．
【答案】(﹣1，4)．
【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
【解析】∵y＝﹣x2﹣2x+3
＝﹣(x2+2x+1﹣1)+3
＝﹣(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(﹣1，4)．
19.(2019黑龙江哈尔滨)二次函数的最大值是 ．
【答案】8
【解析】∵a＝﹣1＜0，∴y有最大值，
当x＝6时，y有最大值8．故答案为8．
20.(2019江苏镇江)已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)，B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是 ．
【答案】．
【解析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据线段AB的长不大于4，求出a的取值范围，再利用二次函数的增减性求代数式a2＋a＋1的最小值．
∵y＝ax2＋4ax＋4a＋1＝a(x＋2)2＋1，
∴该抛物线的顶点坐标为(－2，1)，对称轴为直线x＝－2．
∵抛物线过点A(m，3)，B(n，3)两点，
∴当y＝3时，a(x＋2)2＋1＝3，(x＋2)2＝，当a＞0时，x＝－2±．
∴A(－2－，3)，B(－2＋，3)．
∴AB＝2．
∵线段AB的长不大于4，
∴2≤4．
∴a≥．
∵a2＋a＋1＝(a＋)2＋，
∴当a＝，(a2＋a＋1)min＝(a＋)2＋＝．
21.(2019内蒙古赤峰)二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①b＞0；②a﹣b+c＝0；③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；④当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．上述结论中正确的是　 　．(填上所有正确结论的序号)


【答案】②③④
【解析】由图可知，对称轴x＝1，与x轴的一个交点为(3，0)，
∴b＝﹣2a，与x轴另一个交点(﹣1，0)，
①∵a＞0，
∴b＜0；
∴①错误；
②当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0；
②正确；
③一元二次方程ax2+bx+c+1＝0可以看作函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点，
由图象可知函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1有两个不同的交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c+1＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；
∴③正确；
④由图象可知，y＞0时，x＜﹣1或x＞3
∴④正确；
故答案为②③④．
三、解答题
22．(2020•陕西)如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点(3，12)和(﹣2，﹣3)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【答案】见解析。
【分析】(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式，即可求解；
(2)由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解析】(1)将点(3，12)和(﹣2，﹣3)代入抛物线表达式得12=9+3b+c-3=4-2b+c，解得b=2c=-3，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
(2)抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为(﹣3，0)、(1，0)；点C(0，﹣3)，
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P(m，n)，当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣(﹣1)＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P(2，5)，
故点E(﹣1，2)或(﹣1，8)；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P(﹣4，5)，此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为(2，5)或(﹣4，5)；点E的坐标为(﹣1，2)或(﹣1，8)．
23．(2020•凉山州)如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O(0，0)、A(1，0)、B(32，32)三点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
(3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

【答案】见解析。
【分析】(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
(2)由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为(34，34)，将该点坐标代入CD表达式，即可求解；
(3)过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=-3x+3-(233x2-233x)=-233x2-33x+3，即可求解．
【解析】(1)将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=-233b=-233c=0，
故抛物线的表达式为：y=233x2-233x；
(2)由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线(CD)与x负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为(34，34)，
将该点坐标代入CD表达式并解得：b=3，
故直线CD的表达式为：y=-3x+3；
(3)设点P(x，233x2-233x)，则点Q(x，-3x+3)，

则PQ=-3x+3-(233x2-233x)=-233x2-33x+3，
∵-233＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为(-14，27316)．
24．(2020•黑龙江)如图，已知二次函数y＝﹣x2+(a+1)x﹣a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
(1)求a的值；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．

【答案】见解析。
【分析】(1)由y＝﹣x2+(a+1)x﹣a，令y＝0，即﹣x2+(a+1)x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
(2)根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解析】(1)∵y＝﹣x2+(a+1)x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C(0，﹣a)，
令y＝0，即﹣x2+(a+1)x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A(a，0)，B(1，0)
∵S△ABC＝6
∴12(1﹣a)(﹣a)＝6
解得：a＝﹣3，(a＝4舍去)；
(2)∵a＝﹣3，
∴C(0，3)，
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1-7，
∴P点的坐标为(﹣2，3)或(﹣1+7，﹣3)或(﹣1-7，﹣3)．
25．(2020•衡阳)在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点(﹣1，0)，(2，0)．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

【答案】见解析。
【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
(2)求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；
(3)由题意得x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0，把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12．
【解析】(1)由二次函数y＝x2+px+q的图象经过(﹣1，0)和(2，0)两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；
(2)∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴的最大值与最小值的差为：4﹣(-94)=254；
(3)∵y＝(2﹣m)x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝(2﹣m)x+2﹣m，整理得
x2+(m﹣3)x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)＝(m﹣5)2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x＝3时，(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入(2﹣m)x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12
∴m的取值范围为m＜-12．

26．(2020•甘孜州)某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．
(1)求k，b的值；
(2)求销售该商品每周的利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】见解析。
【分析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】(1)由题意可得：30=50k+b10=70k+b，
∴k=-1b=80，
答：k＝﹣1，b＝80；
(2)∵w＝(x﹣40)y＝(x﹣40)(﹣x+80)＝﹣(x﹣60)2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
27．(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【答案】见解析。
【分析】(1)根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B(2，3)在直线y＝x+m上；
(2)因为直线经过A、B和点(0，1)，所以经过点(0，1)的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
(3)设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为(p2，p24+q)，根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24-p2-1=-14(p﹣1)2+54，从而得出q的最大值．
【解析】(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A(1，2)，
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B(2，3)在直线y＝x+m上；
(2)∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点(0，1)，且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A(1，2)，C(2，1)代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
(3)由(2)知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为(p2，p24+q)，
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=p24-p2-1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=p24-p2-1=-14(p﹣1)2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
28．(2020•上海)在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y＝ax2+bx(a≠0)经过点A．
(1)求线段AB的长；
(2)如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
(3)如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

【答案】见解析。
【分析】(1)先求出A，B坐标，即可得出结论；
(2)设点C(m，-12m+5)，则BC=52|m，进而求出点C(2，4)，最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
(3)将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为(5，﹣25a)，即可得出结论．
【解析】(1)针对于直线y=-12x+5，
令x＝0，y＝5，∴B(0，5)，
令y＝0，则-12x+5＝0，∴x＝10，
∴A(10，0)，
∴AB=52+102=55；
(2)设点C(m，-12m+5)，
∵B(0，5)，
∴BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，∴m＝2，∴C(2，4)，
将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y＝ax2+bx(a≠0)中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=-14b=52，
∴抛物线y=-14x2+52x；
(3)∵点A(10，0)在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a(x﹣5)2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，
将x＝5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴-110＜a＜0；
29．(2020•苏州)如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧)，与抛物线对称轴交于点D(2，﹣3)．
(1)求b的值；
(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧)，四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'(x1，y1)、Q'(x2，y2)．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．

【答案】见解析。
【分析】(1)抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解；
(2)求出点B、C的坐标分别为(1，﹣3)、(3，﹣3)，则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．
【解析】(1)直线与抛物线的对称轴交于点D(2，﹣3)，
故抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；
(2)把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为(1，﹣3)、(3，﹣3)，则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|(x12﹣4x1)﹣(x22﹣4x2)＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
30．(2020•台州)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1)．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系式为s2＝4h(H﹣h)．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【答案】见解析。
【分析】(1)将s2＝4h(20﹣h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
(2)设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20﹣a)＝4b(20﹣b)，利用因式分解变形即可得出答案；
(3)设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】(1)∵s2＝4h(H﹣h)，
∴当H＝20cm时，s2＝4h(20﹣h)＝﹣4(h﹣10)2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400，
∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
(2)∵s2＝4h(20﹣h)，
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a(20﹣a)＝4b(20﹣b)，
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴(a+b)(a﹣b)＝20(a﹣b)，
∴(a﹣b)(a+b﹣20)＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
(3)设垫高的高度为m，则s2＝4h(20+m﹣h)＝﹣4(h-20+m2)2+(20+m)2，
∴当h=20+m2cm时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此时h=20+m2=18cm．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
31．(2020•滨州)某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．
(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？
(2)当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？
(3)当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？
【答案】见解析。
【分析】(1)由月销售量＝500﹣(销售单价﹣50)×10，可求解；
(2)设每千克水果售价为x元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可列方程，即可求解；
(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由利润＝每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质可求解．
【解析】(1)当售价为55元/千克时，每月销售水果＝500﹣10×(55﹣50)＝450千克；
(2)设每千克水果售价为x元，
由题意可得：8750＝(x﹣40)[500﹣10(x﹣50)]，
解得：x1＝65，x2＝75，
答：每千克水果售价为65元或75元；
(3)设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，
由题意可得：y＝(m﹣40)[500﹣10(m﹣50)]＝﹣10(m﹣70)2+9000，
∴当m＝70时，y有最大值为9000元，
答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．
32．(2019贵州贵阳)如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为(﹣1，0)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；
(3)当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．

【答案】见解析。
【解析】(1)∵点A(﹣1，0)与点B关于直线x＝1对称，
∴点B的坐标为(3，0)，
代入y＝x2+bx+c，得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
(2)如图所示：

由抛物线解析式知C(0，﹣3)，
则OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，
若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，
∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，
∴CP＝3﹣；
若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，
∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，
∴CP＝3﹣3；
综上，CP的长为3﹣或3﹣3；
(3)若a+1＜1，即a＜0，
则函数的最小值为(a+1)2﹣2(a+1)﹣3＝2a，
解得a＝1﹣(正值舍去)；
若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，
则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，
解得：a＝﹣2(舍去)；
若a＞1，
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，
解得a＝2+(负值舍去)；
综上，a的值为1﹣或2+．
【点拨】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．