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2021届新高考二轮复习 7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 学案
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7.4.2 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题
必备知识精要梳理
1.圆锥曲线的弦长
(1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a;
(2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|,
如何求|x1-x2|,若x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,x1+x2=-ba,x1x2=ca,
方法一:|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2;
方法二:利用求根公式,|x1-x2|=-b+Δ2a--b-Δ2a=Δ|a|.
2.处理中点弦问题常用的求解方法
(1)已知AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,则有x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0,
∴(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,
∴y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=-b2x0a2y0,故kAB=-b2x0a2y0.
(2)已知AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则用点差法同理可得kAB=b2x0a2y0.
(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减得y12-y22=2p(x1-x2),
∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
∴y1-y2x1-x2=2py1+y2=py0,即kAB=py0.
3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题
(1)求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.
(2)圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
①两类最值问题:(ⅰ)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(ⅱ)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.
②两种常见解法:(ⅰ)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;(ⅱ)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决.
(3)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
常用的证明方法有:
①证A、B、C三点共线,可证kAB=kAC或AB=λBC;
②证直线MA⊥MB,可证kMA·kMB=-1或MA·MB=0;
③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.
关键能力学案突破
热点一
圆锥曲线中的最值问题
【例1】(2020百校联考,理21)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过C右焦点的直线与圆O相切于点D12,32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求原点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值.
解题心得目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
【对点训练1】(2020陕西渭南高三模拟,21)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.
热点二
圆锥曲线中的范围问题
【例2】(2020山东济宁一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,且椭圆C过点32,22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.
解题心得范围问题的解题策略
解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系,其方法有:
(1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围;
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系或不等关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出所求范围;
(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定所求范围(如本例);
(6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围.
【对点训练2】已知A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a>0),过A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点.
(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率;
(2)若O为坐标原点,记△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求S1S2的取值范围.
热点三
圆锥曲线中的证明问题
【例3】(2020河北张家口模拟,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点-1,142.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),过B点且斜率为k(k>0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQ∥OC.
解题心得(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:①证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;②证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
【对点训练3】(2020北京海淀一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
核心素养微专题(八)
解析几何中的最值、范围问题
【例1】(2020湖南长沙高三模拟,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是 .
核心素养分析本题是解析几何中的最值、范围问题,综合性较强,对核心素养要求较高.先用“数学运算”将圆的一般方程x2+y2-2mx-4y+m2-28=0转化为标准方程(x-m)2+(y-2)2=32,从而确定圆的圆心C(m,2)和半径r=42;其次用“直观想象”和“逻辑推理”分析当S△ABC取得最大值时须满足∠ACB=90°,即△ABC为等腰直角三角形,所以|AB|=2r=8,得出|PC|满足的不等式,继而利用“数学运算”求得实数m的取值范围.
【跟踪训练1】(2020河北衡水模拟,15)在平面直角坐标系xOy中,设圆M的半径为1,圆心在直线2x-y-4=0上,若圆M上不存在点N,使NO=12NA,其中A(0,3),则圆心M横坐标的取值范围是 .
【例2】(2020河南中原名校高三模拟,14)已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值是 .
核心素养分析解决此题关键是用“直观想象”画出抛物线草图,再用“逻辑推理”结合抛物线定义分析确定点P的位置,使得|MP|+|MF|取得最小值.
【跟踪训练2】(2020安徽定远重点中学高三模拟,15)设P是双曲线x29-y216=1上一点,M,N分别是两圆:(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
7.4.2 圆锥曲线中的最值、
范围、证明问题
关键能力·学案突破
【例1】解(1)
如图,设椭圆的右焦点为F,由于直线FD与圆O相切于点D,所以△FOD是以∠ODF为直角的直角三角形.因为切点的坐标为D12,32,所以tan∠DOF=3,所以∠DOF=60°.由条件知r2=122+322=1,所以圆的半径r=1,b=1.所以在Rt△FOD中,1|OF|=cos60°,所以|OF|=2.从而a2=b2+c2=5.所以椭圆C的方程为x25+y2=1.
(2)(方法一) 利用斜率构建目标函数
设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d,①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;
若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.
②若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),因为l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即|m|=1+k2.由y=kx+m,x25+y2=1,消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易验证Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-10km1+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2.所以AB中点的坐标为-5km1+5k2,m1+5k2,所以弦AB的垂直平分线方程为y-m1+5k2=-1kx+5km1+5k2,即x+ky+4km1+5k2=0.所以d=4km1+5k21+k2.
将|m|=1+k2代入,得d=4km1+5k21+k2=|4k|1+5k2=41|k|+5|k|≤425=255,当且仅当|k|=55,|m|=305时,取等号.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.
(方法二) 利用点的坐标构建目标函数
设点O到弦AB的垂直平分线距离为d,
①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;
若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.
②若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为M(x0,y0),x0≠0,y0≠0,由点A,B在椭圆上,得x125+y12=1,①x225+y22=1,②
①-②,得15(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即kAB=y1-y2x1-x2=-15·x1+x2y1+y2=-x05y0,直线l的方程为y-y0=kAB(x-x0),化简得x0x+5y0y-x02-5y02=0.
因为直线l与圆O相切,所以1=|-x02-5y02|x02+25y02,即x02+5y02=x02+25y02,
又因为弦AB的垂直平分线方程为y-y0=5y0x0(x-x0),即5y0x-x0y-4x0y0=0,所以
d=|-4x0y0|x02+25y02=|4x0y0|x02+5y02=4|x0y0|+|5y0x0|≤425=255,当且仅当x02=5y02=32时,取等号.
综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.
对点训练1解(1)由x-y+1=0,y2=2px,消去x,得y2-2py+2p=0,∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,∴Δ=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去).∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由于直线m不平行于x轴,故可设直线m的方程为x=ty+1,由x=ty+1,y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0,Δ1=16t2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4t,∴x1+x2=4t2+2,
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2×|2t2-2t+2|2=22|t2-t+1|=22t-122+34,∴当t=12时,可使A,B两点到直线l的距离之和最小,距离之和的最小值为322.
【例2】解(1)由已知可得ca=33,即c2=a23,又c2=a2-b2,所以a2=32b2,所以椭圆C的方程为x232b2+y2b2=1,将点32,22代入方程,得(32) 232b2+(22) 2b2=1,解得b2=2,则a2=32b2=3,所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.
(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).
①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,易知A1,233,B1,-233,E(1,1),F(1,-1),所以|AB|=433,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=1633;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l与椭圆方程得x23+y22=1,y=k(x-1),可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,
所以|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)6k22+3k22-4×3k2-62+3k2=43(k2+1)2+3k2,因为圆心(0,0)到直线l的距离d=|k|k2+1,所以|EF|2=42-k2k2+1=4(k2+2)k2+1,所以|AB|·|EF|2=43(k2+1)2+3k2·4(k2+2)k2+1
=163(k2+2)2+3k2=1633·k2+2k2+23=16331+43k2+23,
因为k2∈[0,+∞),所以|AB|·|EF|2∈1633,163,综上,|AB|·|EF|2的取值范围是1633,163.
对点训练2解(1)由题意知Ap2,0,则Bp2+a,0,Dp2,p,则Cp2+a,p2+2pa,又a=p,所以kCD=3p-p3p2-p2=3-1.
(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),由y=kx+b,y2=2px,得ky2-2py+2pb=0,所以Δ=4p2-8pkb>0,得kb0,y1y2=2pbk>0,可知k>0,b>0,
因为|CD|=1+k2|x1-x2|=a1+k2,点O到直线CD的距离d=|b|1+k2,所以S1=12·a1+k2·|b|1+k2=12ab.又S2=12(y1+y2)·|x1-x2|=12·2pk·a=apk,所以S1S2=kb2p,因为0
由椭圆的定义知2a
=(-1+2)2+1422+(-1-2)2+1422=42,
∴a=22,b2=a2-c2=4,∴椭圆E的方程为x28+y24=1.(另解:由题可知1a2+72b2=1,a2-b2=4,解得b2=4,a2=8.)
(2)证明易得A(0,2),B(0,-2),C(22,2),直线l:y=kx-2与椭圆x2+2y2=8联立,得(2k2+1)x2-8kx=0,
∴xM=8k2k2+1,从而M8k2k2+1,4k2-22k2+1,Q2k,0.直线AM的斜率为4k2-22k2+1-28k2k2+1=-12k,直线AM的方程为y=-12kx+2.令x=22,得P22,-2k+2,∴直线PQ的斜率kPQ=-2k+222-2k=-2+2k22k-2=2(2k-1)2(2k-1)=22,直线OC的斜率kOC=222=22,
∴kPQ=kOC,显然直线PQ与OC不重合,从而PQ∥OC.
对点训练3(1)解由题ca=32,ab=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆方程为x24+y2=1.
(2)证明设直线A2M的方程为y=k(x-2)k≠0且k≠±12,直线A1B的方程为y=12x+1.
由y=k(x-2),y=12x+1,解得点P4k+22k-1,4k2k-1.由y=k(x-2),x24+y2=1,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0,
则2xM=16k2-44k2+1.所以xM=8k2-24k2+1,yM=-4k4k2+1.即M8k2-24k2+1,-4k4k2+1.kA1M=-4k4k2+18k2-24k2+1+2=-14k.
于是直线A1M的方程为y=-14k(x+2),直线A2B的方程为y=-12x+1.由y=-14k(x+2),y=-12x+1,解得点Q4k+22k-1,-22k-1.于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.设PQ中点为N,则N点的纵坐标为4k2k-1+-22k-12=1.故PQ中点在定直线y=1上.从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,
所以△BPQ为等腰三角形.
核心素养微专题(八)
【例1】(3-27,3-23]∪[3+23,3+27) 解析由题意得圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,所以圆心坐标为C(m,2),r=42.
S△ABC=12r2sin∠ACB=16sin∠ACB,当∠ACB=90°时,S取得最大值16.此时△ABC为等腰直角三角形,|AB|=2r=8,所以点C到直线AB的距离为d=4.由以上可得4≤|PC|<42即16≤(m-3)2+22<32,解得3-27
【例2】4 解析设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,∴要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值.当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,为3-(-1)=4,所以|MP|+|MF|的最小值是4.
跟踪训练29 解析设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A,B,则A,B正好为双曲线两焦点,
|PM|-|PN|≤|PA|+2-(|PB|-1)
=|PA|-|PB|+3=2×3+3=6+3=9,即最大值为9.
必备知识精要梳理
1.圆锥曲线的弦长
(1)直线方程的设法,已知直线过定点(x0,y0),设直线方程为y-y0=k(x-x0),若已知直线的纵截距为(0,b),设直线方程为y=kx+b,若已知直线的横截距为(a,0),设直线方程为x=ty+a;
(2)弦长公式,斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+1k2|y1-y2|,
如何求|x1-x2|,若x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,x1+x2=-ba,x1x2=ca,
方法一:|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2;
方法二:利用求根公式,|x1-x2|=-b+Δ2a--b-Δ2a=Δ|a|.
2.处理中点弦问题常用的求解方法
(1)已知AB是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一条弦,其中点M的坐标为(x0,y0).运用点差法求直线AB的斜率,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在椭圆上,则有x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0,
∴(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,
∴y1-y2x1-x2=-b2(x1+x2)a2(y1+y2)=-b2x0a2y0,故kAB=-b2x0a2y0.
(2)已知AB是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则用点差法同理可得kAB=b2x0a2y0.
(3)已知AB是抛物线y2=2px(p>0)的一条弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦的中点M(x0,y0),则y12=2px1,y22=2px2,两式相减得y12-y22=2p(x1-x2),
∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
∴y1-y2x1-x2=2py1+y2=py0,即kAB=py0.
3.圆锥曲线中常见的最值、范围、证明问题
(1)求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数,通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件,把需要的量都用我们选用的变量表示,有时为了运算的方便,在建立关系的过程中也可以采用多个变量,只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可,同时要特别注意变量的取值范围.
(2)圆锥曲线中常见的最值问题及解题方法
①两类最值问题:(ⅰ)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(ⅱ)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.
②两种常见解法:(ⅰ)几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;(ⅱ)代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、配方法或导数法解决.
(3)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
解决证明问题时,主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
常用的证明方法有:
①证A、B、C三点共线,可证kAB=kAC或AB=λBC;
②证直线MA⊥MB,可证kMA·kMB=-1或MA·MB=0;
③证|AB|=|AC|,可证A点在线段BC的垂直平分线上.
关键能力学案突破
热点一
圆锥曲线中的最值问题
【例1】(2020百校联考,理21)已知圆O:x2+y2=r2(r>0),椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短半轴长等于圆O的半径,且过C右焦点的直线与圆O相切于点D12,32.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求原点O到弦AB的垂直平分线距离的最大值.
解题心得目标函数法解圆锥曲线有关最值问题的解题模型
【对点训练1】(2020陕西渭南高三模拟,21)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F的直线m与抛物线C交于A,B两点,求A,B两点到直线l的距离之和的最小值.
热点二
圆锥曲线中的范围问题
【例2】(2020山东济宁一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,且椭圆C过点32,22.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A,B两点,且与圆:x2+y2=2交于E,F两点,求|AB|·|EF|2的取值范围.
解题心得范围问题的解题策略
解决有关范围问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等),寻找不等关系,其方法有:
(1)利用判别式或几何性质来构造不等式,从而确定所求范围;
(2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系或不等关系;
(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出所求范围;
(4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出所求范围;
(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定所求范围(如本例);
(6)利用已知,将条件转化为几个不等关系,从而求出参数的范围.
【对点训练2】已知A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a>0),过A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D,C两点.
(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率;
(2)若O为坐标原点,记△OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求S1S2的取值范围.
热点三
圆锥曲线中的证明问题
【例3】(2020河北张家口模拟,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点-1,142.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设A(0,b),B(0,-b),C(a,b),O(0,0),过B点且斜率为k(k>0)的直线l交E于另一点M,交x轴于点Q,直线AM与直线x=a相交于点P.证明:PQ∥OC.
解题心得(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:①证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如:某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;②证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).
(2)解决证明问题时,主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.
【对点训练3】(2020北京海淀一模,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),△A1BA2的面积为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆C上一点,且不与顶点重合,若直线A1B与直线A2M交于点P,直线A1M与直线A2B交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.
核心素养微专题(八)
解析几何中的最值、范围问题
【例1】(2020湖南长沙高三模拟,理16)在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0)在圆C:x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内,动直线AB过点P且交圆C于A,B两点,若△ABC的面积的最大值为16,则实数m的取值范围是 .
核心素养分析本题是解析几何中的最值、范围问题,综合性较强,对核心素养要求较高.先用“数学运算”将圆的一般方程x2+y2-2mx-4y+m2-28=0转化为标准方程(x-m)2+(y-2)2=32,从而确定圆的圆心C(m,2)和半径r=42;其次用“直观想象”和“逻辑推理”分析当S△ABC取得最大值时须满足∠ACB=90°,即△ABC为等腰直角三角形,所以|AB|=2r=8,得出|PC|满足的不等式,继而利用“数学运算”求得实数m的取值范围.
【跟踪训练1】(2020河北衡水模拟,15)在平面直角坐标系xOy中,设圆M的半径为1,圆心在直线2x-y-4=0上,若圆M上不存在点N,使NO=12NA,其中A(0,3),则圆心M横坐标的取值范围是 .
【例2】(2020河南中原名校高三模拟,14)已知F是抛物线y2=4x的焦点,M是这条抛物线上的一个动点,P(3,1)是一个定点,则|MP|+|MF|的最小值是 .
核心素养分析解决此题关键是用“直观想象”画出抛物线草图,再用“逻辑推理”结合抛物线定义分析确定点P的位置,使得|MP|+|MF|取得最小值.
【跟踪训练2】(2020安徽定远重点中学高三模拟,15)设P是双曲线x29-y216=1上一点,M,N分别是两圆:(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .
7.4.2 圆锥曲线中的最值、
范围、证明问题
关键能力·学案突破
【例1】解(1)
如图,设椭圆的右焦点为F,由于直线FD与圆O相切于点D,所以△FOD是以∠ODF为直角的直角三角形.因为切点的坐标为D12,32,所以tan∠DOF=3,所以∠DOF=60°.由条件知r2=122+322=1,所以圆的半径r=1,b=1.所以在Rt△FOD中,1|OF|=cos60°,所以|OF|=2.从而a2=b2+c2=5.所以椭圆C的方程为x25+y2=1.
(2)(方法一) 利用斜率构建目标函数
设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d,①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;
若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.
②若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),因为l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即|m|=1+k2.由y=kx+m,x25+y2=1,消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易验证Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-10km1+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2.所以AB中点的坐标为-5km1+5k2,m1+5k2,所以弦AB的垂直平分线方程为y-m1+5k2=-1kx+5km1+5k2,即x+ky+4km1+5k2=0.所以d=4km1+5k21+k2.
将|m|=1+k2代入,得d=4km1+5k21+k2=|4k|1+5k2=41|k|+5|k|≤425=255,当且仅当|k|=55,|m|=305时,取等号.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.
(方法二) 利用点的坐标构建目标函数
设点O到弦AB的垂直平分线距离为d,
①若直线l垂直于x轴,则弦AB的垂直平分线为x轴,所以d=0;
若直线l垂直于y轴,则l与椭圆C只有一个交点,不符合题意.
②若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点坐标为M(x0,y0),x0≠0,y0≠0,由点A,B在椭圆上,得x125+y12=1,①x225+y22=1,②
①-②,得15(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,即kAB=y1-y2x1-x2=-15·x1+x2y1+y2=-x05y0,直线l的方程为y-y0=kAB(x-x0),化简得x0x+5y0y-x02-5y02=0.
因为直线l与圆O相切,所以1=|-x02-5y02|x02+25y02,即x02+5y02=x02+25y02,
又因为弦AB的垂直平分线方程为y-y0=5y0x0(x-x0),即5y0x-x0y-4x0y0=0,所以
d=|-4x0y0|x02+25y02=|4x0y0|x02+5y02=4|x0y0|+|5y0x0|≤425=255,当且仅当x02=5y02=32时,取等号.
综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.
对点训练1解(1)由x-y+1=0,y2=2px,消去x,得y2-2py+2p=0,∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切,∴Δ=4p2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去).∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由于直线m不平行于x轴,故可设直线m的方程为x=ty+1,由x=ty+1,y2=4x,消去x,得y2-4ty-4=0,Δ1=16t2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),∴y1+y2=4t,∴x1+x2=4t2+2,
∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1,2t).设点A到直线l的距离为dA,点B到直线l的距离为dB,点M到直线l的距离为d,则dA+dB=2d=2×|2t2-2t+2|2=22|t2-t+1|=22t-122+34,∴当t=12时,可使A,B两点到直线l的距离之和最小,距离之和的最小值为322.
【例2】解(1)由已知可得ca=33,即c2=a23,又c2=a2-b2,所以a2=32b2,所以椭圆C的方程为x232b2+y2b2=1,将点32,22代入方程,得(32) 232b2+(22) 2b2=1,解得b2=2,则a2=32b2=3,所以椭圆C的标准方程为x23+y22=1.
(2)由(1)知椭圆的右焦点为(1,0).
①若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,易知A1,233,B1,-233,E(1,1),F(1,-1),所以|AB|=433,|EF|2=4,|AB|·|EF|2=1633;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线l与椭圆方程得x23+y22=1,y=k(x-1),可得(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,则x1+x2=6k22+3k2,x1x2=3k2-62+3k2,
所以|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=(1+k2)6k22+3k22-4×3k2-62+3k2=43(k2+1)2+3k2,因为圆心(0,0)到直线l的距离d=|k|k2+1,所以|EF|2=42-k2k2+1=4(k2+2)k2+1,所以|AB|·|EF|2=43(k2+1)2+3k2·4(k2+2)k2+1
=163(k2+2)2+3k2=1633·k2+2k2+23=16331+43k2+23,
因为k2∈[0,+∞),所以|AB|·|EF|2∈1633,163,综上,|AB|·|EF|2的取值范围是1633,163.
对点训练2解(1)由题意知Ap2,0,则Bp2+a,0,Dp2,p,则Cp2+a,p2+2pa,又a=p,所以kCD=3p-p3p2-p2=3-1.
(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k≠0),C(x1,y1),D(x2,y2),由y=kx+b,y2=2px,得ky2-2py+2pb=0,所以Δ=4p2-8pkb>0,得kb
因为|CD|=1+k2|x1-x2|=a1+k2,点O到直线CD的距离d=|b|1+k2,所以S1=12·a1+k2·|b|1+k2=12ab.又S2=12(y1+y2)·|x1-x2|=12·2pk·a=apk,所以S1S2=kb2p,因为0
由椭圆的定义知2a
=(-1+2)2+1422+(-1-2)2+1422=42,
∴a=22,b2=a2-c2=4,∴椭圆E的方程为x28+y24=1.(另解:由题可知1a2+72b2=1,a2-b2=4,解得b2=4,a2=8.)
(2)证明易得A(0,2),B(0,-2),C(22,2),直线l:y=kx-2与椭圆x2+2y2=8联立,得(2k2+1)x2-8kx=0,
∴xM=8k2k2+1,从而M8k2k2+1,4k2-22k2+1,Q2k,0.直线AM的斜率为4k2-22k2+1-28k2k2+1=-12k,直线AM的方程为y=-12kx+2.令x=22,得P22,-2k+2,∴直线PQ的斜率kPQ=-2k+222-2k=-2+2k22k-2=2(2k-1)2(2k-1)=22,直线OC的斜率kOC=222=22,
∴kPQ=kOC,显然直线PQ与OC不重合,从而PQ∥OC.
对点训练3(1)解由题ca=32,ab=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆方程为x24+y2=1.
(2)证明设直线A2M的方程为y=k(x-2)k≠0且k≠±12,直线A1B的方程为y=12x+1.
由y=k(x-2),y=12x+1,解得点P4k+22k-1,4k2k-1.由y=k(x-2),x24+y2=1,得(4k2+1)x2-16k2x+16k2-4=0,
则2xM=16k2-44k2+1.所以xM=8k2-24k2+1,yM=-4k4k2+1.即M8k2-24k2+1,-4k4k2+1.kA1M=-4k4k2+18k2-24k2+1+2=-14k.
于是直线A1M的方程为y=-14k(x+2),直线A2B的方程为y=-12x+1.由y=-14k(x+2),y=-12x+1,解得点Q4k+22k-1,-22k-1.于是xP=xQ,所以PQ⊥x轴.设PQ中点为N,则N点的纵坐标为4k2k-1+-22k-12=1.故PQ中点在定直线y=1上.从上边可以看出点B在PQ的垂直平分线上,所以|BP|=|BQ|,
所以△BPQ为等腰三角形.
核心素养微专题(八)
【例1】(3-27,3-23]∪[3+23,3+27) 解析由题意得圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=32,所以圆心坐标为C(m,2),r=42.
S△ABC=12r2sin∠ACB=16sin∠ACB,当∠ACB=90°时,S取得最大值16.此时△ABC为等腰直角三角形,|AB|=2r=8,所以点C到直线AB的距离为d=4.由以上可得4≤|PC|<42即16≤(m-3)2+22<32,解得3-27
【例2】4 解析设点M在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|MF|=|MD|,∴要求|MP|+|MF|的最小值,即求|MP|+|MD|的最小值.当D,M,P三点共线时,|MP|+|MD|最小,为3-(-1)=4,所以|MP|+|MF|的最小值是4.
跟踪训练29 解析设两圆(x-5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1的圆心分别为A,B,则A,B正好为双曲线两焦点,
|PM|-|PN|≤|PA|+2-(|PB|-1)
=|PA|-|PB|+3=2×3+3=6+3=9,即最大值为9.
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