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2021版新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.2排列组合与二项式定理课件新人教B版202011231166
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这是一份2021版新高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.2排列组合与二项式定理课件新人教B版202011231166，共60页。PPT课件主要包含了内容索引，按照一定的顺序，排成一列，所有排列的个数，排列与组合的比较，二项式系数的性质，易错点索引，解题导思等内容，欢迎下载使用。
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
【教材·知识梳理】1.排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，____________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________________ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 .
2.组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.(2)组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，记作 .
3.排列数、组合数的公式及性质
5.二项式定理(a+b)n= __________________________________(n∈N*).6.二项展开式的通项与二项式系数Tk+1=_________，其中 是第k+1项的二项式系数(k=0，1，2，…，n).
【常用结论】1.(a+b)n的展开式的三个重要特征(1)项数：项数为n+1.(2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n.(3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2.各二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即 .(2)(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n-1，即 +…=2n-1.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1) ( ) (2)若组合式 ,则x=m成立.( )(3)(n+1)!-n!=n·n!.( )(4) . ( )(5) an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.( )(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同.( )
提示:(1)√.因为 (2)×.由组合数性质可得x=m或x=n-m.(3)√.由阶乘的定义可知,正确.
(4)√.因为 (5)×.由二项式定理可得 是第r+1项.(6)×.二项展开式的某一项的系数与这一项的二项式系数不一定相同,比如: 的第5项的系数是 24=3 360,第5项的二项式系数是 =210.
【教材·基础自测】1.(选修2-3P13例7改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,还有4个音乐节目,3个舞蹈节目,2个曲艺节目,且3个舞蹈节目要求不能相邻,2个曲艺节目出场前后顺序已定,共有________种不同排法. 【解析】先把4个音乐节目,2个曲艺节目,进行全排,且2个曲艺节目出场前后顺序已定,形成了7个空,选3个,把舞蹈节目插入,故有 =75 600(种).答案:75 600
2.(选修2-3P19例4改编)在100件产品中,有2件次品,从中任取3件,其中“至少有1件次品”的取法有________种. 【解析】方法一:第1类,“只有1件次品”,共有 种;第2类,“有2件次品”,共有 种,由分类加法计数原理知共有 =9 604(种).方法二:无任何限制共有 种,其中“没有次品”共有 种,则“至少有1件次品”共有 =9 604(种).答案:9 604
3.(选修2-3P27例2改编) 的展开式的第4项的系数为( )A.-1 320 B.1 320 C.-220 D.220【解析】选C. 的展开式的第4项T4= x9 ，其系数为- =- =-220.
4.(选修2-3P31习题1-3AT6(2)改编)若(1+ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a=_________. 【解析】展开式的通项为Tr+1= (ax)r，因为x5与x6系数相等，所以 a5= a6，解得a=3.答案：3
5.(选修2-3P12例6改编)由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为_________.(用数字作答) 【解析】问题转化为求从8个不同元素中选取2个元素的排列数，即 =8×7=56.答案：56
考点一 排列、组合的基本问题 【题组练透】1.某校根据2017版新课程标准开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种B.35种C.42种D.48种
2.在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有________种安排办法.
4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)世纪金榜导学号
【解析】1.选A.按照所选的3门课程中A类的情形分两类:第一类,2门A类选修课,1门B类选修课,有 种方法;第二类,1门A类选修课,2门B类选修课,有 种方法,所以由分类加法计数原理得不同的选法共有 =12+18=30(种).2.选C.按照首位的大小分类:(1)开头为231的,有一个.(2)开头为23的,第三位从4,5中选一个,有 种,余下的后两位,有 种,共有 =4个.
(3)开头为2,第2位从4,5中选一个,有 种,余下的后3位,有 种,共有 =12个.(4)开头为3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24个.(5)开头为4,第二位为1,2中的一个,有2种方法,后三位有3!=6种方法,共有2×6=12个.(6)开头为43,第三位从1,2中选一个,有2种方法,后两位有2!种方法,共有2×2=4个.
(7)开头为435的,只有1个,所以由分类加法计数原理得所求的数共有1+4+12+24+12+4+1=58(个).
3.方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法:
方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在前排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是 .在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐在前排,且乙、丙坐两排的八人坐法,”这个数目是 .其中第一个因数 表示甲坐在前排的方法数, 表示从乙、丙中任选出一人的方法数, 表示把选出的这个人安排在前排的方法数,下一个 则表示乙、丙中未安排的那个人坐在后排的方法数, 就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为 =8 640(种).答案:8 640
4.分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计数原理: =10×3×24=720;第二类:包含0的,按照分步乘法计数原理: =10×3×3×6=540,所以一共有1 260个没有重复数字的四位数.答案:1 260
【规律方法】1.求解有限制条件的排列问题的主要方法
2.两类含有附加条件的组合问题的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,可用间接法求解.
考点二 排列、组合的综合问题 【典例】1.从A,B,C,D,E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.24B.48C.72D.1202.把20个不加区别的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的方法种数为________.
3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下:当n为偶数时,n!!=n· ……6·4·2,当n为奇数时,n!!=n· ……5·3·1,现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!,②(2n)!!=2n (n!),③2018!!的个位数字是8,④ 则四个结论中正确的是________.
【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有 =48(种);A不参加时参赛方案有 =24(种),所以不同的参赛方案共72种.2.先在编号为2,3的盒内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中,即可共有 =120种方法.答案:120
3.因为(2018!!)·(2019!!)=(2018×2016×…×6×4×2)×(2019×2017×…×5×3×1)=2019×2018×2017×…×5×4×3×2×1=2019!所以①是正确的.因为(2n)!!= 所以②是正确的.
因为由②知道2018!!中有因数5,也有因数2,所以个位数字是0,所以③是错误的.因为对任意正整数n,都有 所以把上面的2n个式子作乘法,得
所以两边开方得 所以④是正确的.答案:①②④
【规律方法】解决排列、组合的综合问题的关键点(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理作最后处理.(2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一,避免出现重复或遗漏.(3)对于选择题要谨慎处理,注意答案的不同形式,处理这类选择题可采用排除法分析选项,错误的答案都有重复或遗漏的问题.(4)熟记排列数、组合数公式及其变形,准确计算.
【变式训练】1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72【解析】选D.分两步:第一步,先排个位,有 种选择;第二步,排前4位,有 种选择.由分步乘法计数原理,知有 · =72个.
2.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的种数为( )A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020【解析】选C.当A,B节目中只选一个时,共有 =960种演出顺序;当A,B节目都被选中时,由插空法得共有 =180种演出顺序.所以一共有960+180=1140种演出顺序.
3.已知i,m,n是正整数,且10,则0< <1”及不等式的可乘性,所以 所以原不等式成立.
考点三 二项式定理
【命题角度1】 二项展开式的通项及其应用【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ) 的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.802. 的展开式中常数项为( )A. B.160C.- D.-160
【解析】1.选C.展开式的通项公式为Tr+1= 令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为 =40.2.选A. 的展开式的通项为Tr+1= 令6-2r=0,得r=3,所以展开式中的常数项是T4=
【解后反思】如何解决与二项展开式的通项有关的问题?提示:(1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第k+1项,再由特定项的特点求出k值即可.(2)已知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其参数.
【命题角度2】二项式系数的性质与各项的和【典例】1.(2019·郑州模拟)若二项式 的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式所有项的系数之和为( )A.-1B.1C.27D.-272.(2019·鄂尔多斯模拟)在 的展开式中,x3的系数等于-5,则该展开式的各项的系数中最大值为( )A.5B.10C.15D.20
3.(2019·襄阳模拟)设(x2+1)(2x+1)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,则a0+a1+a2+…+a10的值为________.世纪金榜导学号
【解析】1.选A.依题意得2n=8,解得n=3,取x=1,得该二项展开式每一项的系数之和为(1-2)3=-1.2.选B. 的展开式的通项为Tr+1= 令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为 =10.
3.在所给的多项式中,令x=-1可得(1+1)×(-2+1)8=a0+a1+a2+…+a10,即a0+a1+a2+…+a10=2.答案:2
【解后反思】如何求解二项式系数或展开式系数的最值问题?提示:求解二项式系数或展开式系数的最值问题一般分两步:第一步,要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个.第二步,若是求二项式系数的最大值,则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解.
若是求展开式系数的最大值则在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组 即可求得答案.
【命题角度3】二项式定理的综合应用【典例】1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.802.(2019·枣阳模拟)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为世纪金榜导学号( )A.10B.20C.30D.60
【解析】1.选D.(2x-y)6的展开式的通项公式为Tr+1= (2x)6-r(-y)r,当r=2时,T3=240x4y2,当r=3时,T4=-160x3y3,故x4y3的系数为240-160=80.2.选C.(x2+x+y)5的展开式的通项为 令r=2,则T3= (x2+x)3y2,又(x2+x)3的展开式的通项为 令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 =30.
【解后反思】如何求解(a+b)m(c+d)n 或(a+b+c)n展开式的某一项的系数?提示:(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.(2)若三项能用完全平方公式,那当然比较简单;若三项不能用完全平方公式,只需根据题目特点,把“三项”当成“两项”看,再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数.
(3)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(4)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.
【题组通关】【变式巩固·练】1.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得 m为常数,若a5=-7,则a0=( )A.-2B.-1C.1D.2
【解析】选D.因为(x+m)5的通项公式为Tr+1=a5x5=x· x5-1m1+(-2)x5=(5m-2)x5,所以a5=5m-2,又因为a5=-7,所以5m-2=-7,所以m=-1,所以常数项a0=(-2)× (-1)5=2.
2.在 的展开式中,含x5项的系数为( )A.6B.-6C.24D.-24【解析】选B.由 可知只有 的展开式中含有x5,所以 的展开式中含x5项的系数为 =-6.
3.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________. 【解析】设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②①-②得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.答案:3
【综合创新·练】1.(2019·湘潭模拟)若(1-3x)2 020=a0+a1x+…+a2 020x2 020,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020的值为( )A.22 020-1B.82 020-1C.22 020D.82 020【解析】选B.由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=(1-9)2 020=82 020,所以a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=82 020-a0=82 020-1.
2. 的展开式中常数项为( )A.-30B.30C.-25D.25
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评
【教材·知识梳理】1.排列与排列数(1)排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，____________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_________________ 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作 .
2.组合与组合数(1)组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合.(2)组合数：从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，记作 .
3.排列数、组合数的公式及性质
5.二项式定理(a+b)n= __________________________________(n∈N*).6.二项展开式的通项与二项式系数Tk+1=_________，其中 是第k+1项的二项式系数(k=0，1，2，…，n).
【常用结论】1.(a+b)n的展开式的三个重要特征(1)项数：项数为n+1.(2)各项次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数和为n.(3)顺序：字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项增1直到n.
2.各二项式系数的和(1)(a+b)n的展开式的各个二项式系数和等于2n，即 .(2)(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2n-1，即 +…=2n-1.
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1) ( ) (2)若组合式 ,则x=m成立.( )(3)(n+1)!-n!=n·n!.( )(4) . ( )(5) an-rbr是(a+b)n的展开式中的第r项.( )(6)二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数一定相同.( )
提示:(1)√.因为 (2)×.由组合数性质可得x=m或x=n-m.(3)√.由阶乘的定义可知,正确.
(4)√.因为 (5)×.由二项式定理可得 是第r+1项.(6)×.二项展开式的某一项的系数与这一项的二项式系数不一定相同,比如: 的第5项的系数是 24=3 360,第5项的二项式系数是 =210.
【教材·基础自测】1.(选修2-3P13例7改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,还有4个音乐节目,3个舞蹈节目,2个曲艺节目,且3个舞蹈节目要求不能相邻,2个曲艺节目出场前后顺序已定,共有________种不同排法. 【解析】先把4个音乐节目,2个曲艺节目,进行全排,且2个曲艺节目出场前后顺序已定,形成了7个空,选3个,把舞蹈节目插入,故有 =75 600(种).答案:75 600
2.(选修2-3P19例4改编)在100件产品中,有2件次品,从中任取3件,其中“至少有1件次品”的取法有________种. 【解析】方法一:第1类,“只有1件次品”,共有 种;第2类,“有2件次品”,共有 种,由分类加法计数原理知共有 =9 604(种).方法二:无任何限制共有 种,其中“没有次品”共有 种,则“至少有1件次品”共有 =9 604(种).答案:9 604
3.(选修2-3P27例2改编) 的展开式的第4项的系数为( )A.-1 320 B.1 320 C.-220 D.220【解析】选C. 的展开式的第4项T4= x9 ，其系数为- =- =-220.
4.(选修2-3P31习题1-3AT6(2)改编)若(1+ax)7(a≠0)的展开式中x5与x6的系数相等，则a=_________. 【解析】展开式的通项为Tr+1= (ax)r，因为x5与x6系数相等，所以 a5= a6，解得a=3.答案：3
5.(选修2-3P12例6改编)由1，2，3，4，5，6，7，8八个数字，组成无重复数字的两位数的个数为_________.(用数字作答) 【解析】问题转化为求从8个不同元素中选取2个元素的排列数，即 =8×7=56.答案：56
考点一 排列、组合的基本问题 【题组练透】1.某校根据2017版新课程标准开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有( )A.30种B.35种C.42种D.48种
2.在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有( )A.56个B.57个C.58个D.60个3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有________种安排办法.
4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)世纪金榜导学号
【解析】1.选A.按照所选的3门课程中A类的情形分两类:第一类,2门A类选修课,1门B类选修课,有 种方法;第二类,1门A类选修课,2门B类选修课,有 种方法,所以由分类加法计数原理得不同的选法共有 =12+18=30(种).2.选C.按照首位的大小分类:(1)开头为231的,有一个.(2)开头为23的,第三位从4,5中选一个,有 种,余下的后两位,有 种,共有 =4个.
(3)开头为2,第2位从4,5中选一个,有 种,余下的后3位,有 种,共有 =12个.(4)开头为3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24个.(5)开头为4,第二位为1,2中的一个,有2种方法,后三位有3!=6种方法,共有2×6=12个.(6)开头为43,第三位从1,2中选一个,有2种方法,后两位有2!种方法,共有2×2=4个.
(7)开头为435的,只有1个,所以由分类加法计数原理得所求的数共有1+4+12+24+12+4+1=58(个).
3.方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法:
方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在前排的八人坐法数”看成“总方法数”,这个数目是 .在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐在前排,且乙、丙坐两排的八人坐法,”这个数目是 .其中第一个因数 表示甲坐在前排的方法数, 表示从乙、丙中任选出一人的方法数, 表示把选出的这个人安排在前排的方法数,下一个 则表示乙、丙中未安排的那个人坐在后排的方法数, 就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为 =8 640(种).答案:8 640
4.分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计数原理: =10×3×24=720;第二类:包含0的,按照分步乘法计数原理: =10×3×3×6=540,所以一共有1 260个没有重复数字的四位数.答案:1 260
【规律方法】1.求解有限制条件的排列问题的主要方法
2.两类含有附加条件的组合问题的方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,可用间接法求解.
考点二 排列、组合的综合问题 【典例】1.从A,B,C,D,E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为( )A.24B.48C.72D.1202.把20个不加区别的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的方法种数为________.
3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下:当n为偶数时,n!!=n· ……6·4·2,当n为奇数时,n!!=n· ……5·3·1,现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!,②(2n)!!=2n (n!),③2018!!的个位数字是8,④ 则四个结论中正确的是________.
【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有 =48(种);A不参加时参赛方案有 =24(种),所以不同的参赛方案共72种.2.先在编号为2,3的盒内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中,即可共有 =120种方法.答案:120
3.因为(2018!!)·(2019!!)=(2018×2016×…×6×4×2)×(2019×2017×…×5×3×1)=2019×2018×2017×…×5×4×3×2×1=2019!所以①是正确的.因为(2n)!!= 所以②是正确的.
因为由②知道2018!!中有因数5,也有因数2,所以个位数字是0,所以③是错误的.因为对任意正整数n,都有 所以把上面的2n个式子作乘法,得
所以两边开方得 所以④是正确的.答案:①②④
【规律方法】解决排列、组合的综合问题的关键点(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理作最后处理.(2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一,避免出现重复或遗漏.(3)对于选择题要谨慎处理,注意答案的不同形式,处理这类选择题可采用排除法分析选项,错误的答案都有重复或遗漏的问题.(4)熟记排列数、组合数公式及其变形,准确计算.
【变式训练】1.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )A.24B.48C.60D.72【解析】选D.分两步:第一步,先排个位,有 种选择;第二步,排前4位,有 种选择.由分步乘法计数原理,知有 · =72个.
2.某班组织文艺晚会,准备从A,B等8个节目中选出4个节目演出,要求A,B两个节目至少有一个选中,且A,B同时选中时,它们的演出顺序不能相邻,那么不同演出顺序的种数为( )A.1 860B.1 320C.1 140D.1 020【解析】选C.当A,B节目中只选一个时,共有 =960种演出顺序;当A,B节目都被选中时,由插空法得共有 =180种演出顺序.所以一共有960+180=1140种演出顺序.
3.已知i,m,n是正整数,且1
考点三 二项式定理
【命题角度1】 二项展开式的通项及其应用【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ) 的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.802. 的展开式中常数项为( )A. B.160C.- D.-160
【解析】1.选C.展开式的通项公式为Tr+1= 令10-3r=4可得r=2,则x4的系数为 =40.2.选A. 的展开式的通项为Tr+1= 令6-2r=0,得r=3,所以展开式中的常数项是T4=
【解后反思】如何解决与二项展开式的通项有关的问题?提示:(1)求展开式中的特定项或其系数.可依据条件写出第k+1项,再由特定项的特点求出k值即可.(2)已知展开式的某项或其系数求参数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第k+1项,由特定项得出k值,最后求出其参数.
【命题角度2】二项式系数的性质与各项的和【典例】1.(2019·郑州模拟)若二项式 的展开式的二项式系数之和为8,则该展开式所有项的系数之和为( )A.-1B.1C.27D.-272.(2019·鄂尔多斯模拟)在 的展开式中,x3的系数等于-5,则该展开式的各项的系数中最大值为( )A.5B.10C.15D.20
3.(2019·襄阳模拟)设(x2+1)(2x+1)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10,则a0+a1+a2+…+a10的值为________.世纪金榜导学号
【解析】1.选A.依题意得2n=8,解得n=3,取x=1,得该二项展开式每一项的系数之和为(1-2)3=-1.2.选B. 的展开式的通项为Tr+1= 令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,展开式中第2,4,6项的系数为负数,第1,3,5项的系数为正数,故各项的系数中最大值为 =10.
3.在所给的多项式中,令x=-1可得(1+1)×(-2+1)8=a0+a1+a2+…+a10,即a0+a1+a2+…+a10=2.答案:2
【解后反思】如何求解二项式系数或展开式系数的最值问题?提示:求解二项式系数或展开式系数的最值问题一般分两步:第一步,要弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个.第二步,若是求二项式系数的最大值,则依据(a+b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解.
若是求展开式系数的最大值则在系数均为正值的前提下,求最大值只需解不等式组 即可求得答案.
【命题角度3】二项式定理的综合应用【典例】1.(x+y)(2x-y)6的展开式中x4y3的系数为( )A.-80B.-40C.40D.802.(2019·枣阳模拟)(x2+x+y)5的展开式中x5y2的系数为世纪金榜导学号( )A.10B.20C.30D.60
【解析】1.选D.(2x-y)6的展开式的通项公式为Tr+1= (2x)6-r(-y)r,当r=2时,T3=240x4y2,当r=3时,T4=-160x3y3,故x4y3的系数为240-160=80.2.选C.(x2+x+y)5的展开式的通项为 令r=2,则T3= (x2+x)3y2,又(x2+x)3的展开式的通项为 令6-k=5,则k=1,所以(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 =30.
【解后反思】如何求解(a+b)m(c+d)n 或(a+b+c)n展开式的某一项的系数?提示:(1)若n,m中一个比较小,可考虑把它展开得到多个,如(a+b)2(c+d)m=(a2+2ab+b2)(c+d)m,然后展开分别求解.(2)若三项能用完全平方公式,那当然比较简单;若三项不能用完全平方公式,只需根据题目特点,把“三项”当成“两项”看,再利用二项展开式的通项公式去求特定项的系数.
(3)观察(a+b)(c+d)是否可以合并,如(1+x)5(1-x)7=[(1+x)(1-x)]5(1-x)2=(1-x2)5(1-x)2.(4)分别得到(a+b)n,(c+d)m的通项公式,综合考虑.
【题组通关】【变式巩固·练】1.将多项式a6x6+a5x5+…+a1x+a0分解因式得 m为常数,若a5=-7,则a0=( )A.-2B.-1C.1D.2
【解析】选D.因为(x+m)5的通项公式为Tr+1=a5x5=x· x5-1m1+(-2)x5=(5m-2)x5,所以a5=5m-2,又因为a5=-7,所以5m-2=-7,所以m=-1,所以常数项a0=(-2)× (-1)5=2.
2.在 的展开式中,含x5项的系数为( )A.6B.-6C.24D.-24【解析】选B.由 可知只有 的展开式中含有x5,所以 的展开式中含x5项的系数为 =-6.
3.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________. 【解析】设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②①-②得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.答案:3
【综合创新·练】1.(2019·湘潭模拟)若(1-3x)2 020=a0+a1x+…+a2 020x2 020,x∈R,则a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020的值为( )A.22 020-1B.82 020-1C.22 020D.82 020【解析】选B.由已知,令x=0,得a0=1,令x=3,得a0+a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=(1-9)2 020=82 020,所以a1·3+a2·32+…+a2 020·32 020=82 020-a0=82 020-1.
2. 的展开式中常数项为( )A.-30B.30C.-25D.25
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