高中数学讲义微专题16 含参数函数的单调区间

微专题16 含参数函数的单调区间

    在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临的分类讨论。本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧，便于更加快速准确的分析含参数函数的单调区间。

一、基础知识：

1、导数解单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间。即确定定义域→求出导函数→令解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格

2、求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对的限制有时会简化含参不等式的求解

3、求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式

4、关于分类讨论的时机与分界点的确定

（1）分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，例如解不等式：，其解集为，中间并没有进行分类讨论。思考：为什么？因为无论参数为何值，均是将移到不等号右侧出结果。所以不需要分类讨论，再例如解不等式，第一步移项得：（同样无论为何值，均是这样变形），但是第二步不等式两边开方时发现的不同取值会导致不同结果，显然是负数时，不等式恒成立，而是正数时，需要开方进一步求解集，分类讨论由此开始。体会：什么时候开始分类讨论？简而言之，当参数的不同取值对下一步的影响不相同时，就是分类讨论开始的时机。所以一道题是否进行分类讨论不是一开始就决定的，而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果，就自然的进行分类讨论。（2）分界点的确定：分类讨论一定是按参数的符号分类么？不一定。要想找好分界点，首先要明确参数在问题中所扮演的角色。例如上面的不等式，所扮演的角色是被开方数，故能否开方是进行下一步的关键，那自然想到按的符号进行分类讨论。

（3）当参数取值为一个特定值时，可将其代入条件进行求解

（4）当参数扮演多个角色时，则以其中一个为目标进行分类，在每一大类下再考虑其他角色的情况以及是否要进行进一步的分类。

    例如：解不等式：，可得：此时扮演两个角色，一个是的系数，将决定解集是小大根之外还是小大根之间，另一个角色是决定的大小，进而要和来角逐大小根。那么在处理时可先以其中一个为主要目标，例如以系数的正负，进行分类。

①当时，此时不等式的解集为小大根之间，而由于，以此为前提，故小大根不存在问题，解集为

②当时，不等式变为

③当时，不等式解集为小大根之外，而，的大小由的取值决定，所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了。（重视①③的对比）

时，不等式解集为

时，不等式化为

时，不等式解集为

希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界，若能领悟，其分类讨论不再是一个难点，而是有线索可循了。

二、典型例题：

例1：已知函数，求的单调区间

解：定义域

令，所解不等式为

当时，即解不等式

的单调区间为：

当时，   恒成立

为增函数:

例2：已知函数

（1）若的图像在处的切线与直线垂直，求实数的值

（2）求函数的单调区间

解：（1）由切线与垂直可得：

（2）思路：导函数，令解单调增区间，得到含参不等式。分类讨论时注意扮演两个角色：一个是影响最高次项的符号，一个是影响方程的根

解： 令即

①      （将的范围分类后，要善于把每一类的范围作为已知条使用件，在本题中使用的条件使得大小能够确定下来，避免了进一步的分类）

的单调区间为：

②   的单调区间为：

例3：已知函数，求的单调区间

解：定义域：

，令，可得：

即

当时，

的单调区间为：

当时，为增函数

当时，恒成立  为增函数

例4：讨论函数的单调区间

解： 令

即  （注意定义域为，所以导函数分母恒正，去掉后简化所解不等式）

① 时   （求解需要除以后开方，进而两个地方均需要分类讨论，先从的符号入手）

  恒成立，在单调递增

② 函数 为增函数

③ 时 （下一步为开方出解集，按的符号进行再分类）

当即时，恒成立，在单调递减

当即时，解得：

的单调区间为：

小炼有话说：本题定义域为，故对单调区间既有促进作用又有制约作用：促进作用体现在对所解不等式的简化，请大家养成一个良好习惯，当已知变量范围时，一边关注范围一边解不等式。制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集，所以在时，表格中自变量的区间是从处开始分析的

例5：已知函数，讨论的单调性

解：定义域为

     令即

考虑 （左边无法直接因式分解，考虑二次函数是否与轴有交点）

① 时 恒成立，故在单调递增

② 时 的解

的解集为

的单调区间为：

③ 时  

在单调递增

小炼有话说：本题亮点在于②③的讨论，判断极值点是否在定义域中。进而确定单调性。除了解出根来判断符号之外，本题还可以利用韦达定理进行判断。，说明两根同号，而，说明的符号决定的正负，从而在的情况下进行再次分类讨论

例6：已知函数，其中.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间．

解：（1） 

  切线方程为：，即

（2），

令，即解不等式：

① 当时，解得：，故的单调区间为：

② 当时 ，所以解得：

故的单调区间为：

③ ，则，常值函数不具备单调性

④ 时，解得：或  故的单调区间为：

例7：已知函数.求函数的单调区间.

解：

令，即，

（参数角色：① 的大小，② 是否在定义域内，以①为目标分类）

① 即  （此时一定在定义域中，故不再分类）

不等式的解集为或  的单调区间为：

② 在单调递增

③ ，要根据是否在进行进一步分类

当时，  不等式的解集为或

的单调区间为：

当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：

小炼有话说：

（1）在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题，由此也可体会到定义域对单调区间“双刃剑”的作用，一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简，另一方面也圈住了单调区间，极值点所在的范围。

（2）体会参数起到多重作用时，是如何进行分类讨论的，以及在某个大前提下，参数讨论也可进行些简化。

例8：已知函数，求的单调区间

解：定义域

令，即解不等式

（1）当时，可得，则不等式的解为

的单调区间为：

（2）当时，

① 时，即，解得或

的单调区间为：

② ，代入到恒成立   为增函数

③ ，解得：或

的单调区间为：

例9：设函数，求的单调区间；

解：，令即

（1）   则恒成立 在上单调递增

（2）或 

① 当时，解得 ，单调区间为：

② 当时，解得：或

单调区间为：

例10：已知函数，其中，试讨论的单调性

思路：，可令，则需解不等式，由于的奇偶不同会导致解集不同，所以可对分奇偶讨论

解：

令解得

当为奇数时，为偶数，可解得：

的单调区间为：

当为偶数时，为奇数，可解得：

的单调区间为：