备战2021年上海中考专题13：相似三角形

备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题13相似三角形（共47题）
中考真题再现



一．填空题（共2小题）
1．（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为　7　米．

【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解析】∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴△ACE∽△BDE，
∴ACBD=AEBE，
∴AC1=1.40.2，
∴AC＝7（米），
答：井深AC为7米．
2．（2018•上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　127　．

【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH＝3，设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得x4=3-x3，然后解关于x的方程即可．
【解析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴12BC•AH＝6，
∴AH=2×64=3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴GFBC=AMAH，即x4=3-x3，解得x=127，
即正方形DEFG的边长为127．
故答案为127．

二．解答题（共5小题）
3．（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．

【分析】（1）想办法证明∠BCE＝∠H即可解决问题．
（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，
∵DF＝BE，
∴△CDF≌CBE（SAS），
∴∠DCF＝∠BCE，
∵CD∥BH，
∴∠H＝∠DCF，
∴∠BCE＝∠H，
∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH．
（2）证明：∵BE2＝AB•AE，
∴BEAB=AEEB，
∵AG∥BC，
∴AEBE=AGBC，
∴BEAB=AGBC，
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF，
即AG＝DF．
4．（2019•上海）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．

【分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；
（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．
【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，

∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OA＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∴AO垂直平分BC，
∴BD＝CD；
（2）如图2，连接OB，

∵AB2＝AO•AD，
∴ABAO=ADAB，
∵∠BAO＝∠DAB，
∴△ABO∽△ADB，
∴∠OBA＝∠ADB，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠OAB＝∠BDA，
∴AB＝BD，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形．
5．（2019•上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．

（1）求证：∠E═12∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出S△ADES△ABC的值．
【分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°-12∠C即可解决问题．
（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，BFAE=BDDE，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC=BFAB=BFAE=23．
（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC，同理∠ABD=12∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE=12（∠ABC+∠BAC）＝90°-12∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°-12∠C）=12∠C．

（2）解：延长AD交BC于点F．

∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，BFAE=BDDE，
∵BD：DE＝2：3，
∴cos∠ABC=BFAB=BFAE=23．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E=12∠C，
∴∠ABC＝∠E=12∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时S△ADES△ABC=2-3．
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠E=12∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时S△ADES△ABC=2-2．
综上所述，∠ABC＝30°或45°，S△ADES△ABC=2-3或2-2．
6．（2018•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．
（1）求证：EF＝AE﹣BE；
（2）连接BF，如果AFBF=DFAD．求证：EF＝EP．

【分析】（1）利用正方形的性质得AB＝AD，∠BAD＝90°，根据等角的余角相等得到∠1＝∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE＝AF，然后利用等线段代换可得到结论；
（2）利用AFBF=DFAD和AF＝BE得到BEDF=BFAD，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4＝∠3，再证明∠4＝∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF＝EP．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠BEA＝∠AFD＝90°，
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△ABE和△DAF中
∠BEA=∠AFD∠1=∠3AB=DA，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE＝AF，
∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；
（2）如图，∵AFBF=DFAD，
而AF＝BE，
∴BEBF=DFAD，
∴BEDF=BFAD，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA，
∴∠4＝∠3，
而∠1＝∠3，
∴∠4＝∠1，
∵∠5＝∠1，
∴∠4＝∠5，
即BE平分∠FBP，
而BE⊥EP，
∴EF＝EP．

7．（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到BO=12BD，由等量代换推出OE=12BD，根据平行四边形的判定即可得到结论；
（2）根据等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
∵OE＝OB，
∴OE＝OD，
∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，
∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠CEO＝∠CDE，
∵OB＝OE，
∴∠DBE＝∠CDE，
∵∠BED＝∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴BDCD=DECE，
∴BD•CE＝CD•DE．

2020模拟汇编





一．选择题（共14小题）
1．（2020•闵行区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（　　）
A．ABAP=APBP B．ABAP=BPAB C．BPAP=ABBP D．ABAP=5-12
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点
【解析】根据黄金分割定义可知：
AP是AB和BP的比例中项，
即AP2＝AB•BP，
∴ABAP=APBP．
故选：A．
2．（2020•宝山区一模）如果2a＝﹣3b，那么ab=（　　）
A．-23 B．-32 C．5 D．﹣1
【分析】直接利用已知变形进而得出答案．
【解析】∵2a＝﹣3b，
∴ab=-32．
故选：B．
3．（2020•普陀区一模）已知xy=35，那么下列等式中，不一定正确的是（　　）
A．5x＝3y B．x+y＝8 C．x+yy=85 D．xy=x+3y+5
【分析】根据比例的性质作答．
【解析】A、由比例的性质得到3y＝5x，故本选项不符合题意．
B、根据比例的性质得到x+y＝8k（k是正整数），故本选项符合题意．
C、根据合比性质得到x+yy=85，故本选项不符合题意．
D、根据等比性质得到xy=x+3y+5，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（2020•奉贤区一模）已知线段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么a+bc+b的值是（　　）
A．13 B．23 C．35 D．53
【分析】直接利用已知进而表示出a，b，c，进而代入求出答案．
【解析】∵a：b：c＝1：2：3，
∴设a＝x，b＝2x，c＝3x，
∴a+bc+b=x+2x3x+2x=35．
故选：C．
5．（2020•闵行区一模）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（　　）
A．都缩小到原来的n倍
B．都扩大到原来的n倍
C．都没有变化
D．不同三角比的变化不一致
【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．
【解析】如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，
故选：C．
6．（2020•青浦区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．AEAB=CFCD B．AEEB=DFFC C．EGBD=FGAC D．AEAG=ADAB
【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解．
【解析】∵GE∥BD，
∴AEBE=AGDG，△AEG∽△ABD，
∴AEAB=AGAD=EGBD，
∵GF∥AC，
∴AGDG=CFDF，AGAD=CFCD，△DGF∽△DAC，
∴DGAD=DFCD=GFAC，
∴AEAB=CFCD，AEBE=CFDF，AEAG=ABAD，EGBD+FGAC=AGAD+DGAD=1，
∴只有选项A符合题意，
故选：A．
7．（2020•徐汇区一模）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（　　）
A．5-12 B．3-52 C．5+12 D．3+52
【分析】根据黄金分割定义即可求解．
【解析】设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，
∵AP2＝BP•AB，
∴x2＝（1﹣x）×1
解得x1=5-12，x2=-1-52（舍去）．
∴AP：AB=5-12．
故选：A．
8．（2020•浦东新区三模）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上（不与点A、C重合），DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是（　　）

A．△BFE B．△BDC C．△BDA D．△AFD
【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论．
【解析】∵△ABC与△BDE都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，
∵∠ABD＝∠DBF，
∴△BFD∽△BDA，
∴与△BFD相似的三角形是△BDA，
故选：C．
9．（2020•闵行区校级一模）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE②△DFP∽△BPH③DP2＝PH•PC；④FE：BC=(23-3)：3，其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解析】∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴DPPC=PHDP，
∴DP2＝PH•PC，故③正确；
∵∠ABE＝30°，∠A＝90°
∴AE=33AB=33BC，
∵∠DCF＝30°，
∴DF=33DC=33BC，
∴EF＝AE+DF﹣BC=233BC-BC，
∴FE：BC＝（23-3）：3
故④正确，
故选：D．
10．（2020•宝山区二模）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF：EH＝2：3，那么EH的长为（　　）

A．12 B．32 C．1213 D．2
【分析】设EH＝3x，表示出EF，由AD﹣EF表示出△AEH的边EH上的高，根据△AEH与△ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，即为EH的长．
【解析】如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴AMAD=EHBC，
设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，
∴2-2x2=3x3，
解得：x=12，
则EH=32．
故选：B．

11．（2020•虹口区一模）如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（　　）

A．15 B．10 C．7.5 D．5
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【解析】∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴S△BADS△BCA=（ADAC）2=14，
∴S△BADS△ACD=13，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积=13×15＝5，
故选：D．
12．（2020•金山区一模）如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（　　）
A．如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：AB
B．如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥AB
C．如果△EFC∽△ABC，那么 EF∥AB
D．如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE
【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项A不符合题意；由平行线分线段成比例定理和已知条件得出选项B不符合题意；由相似三角形的性质得出EF与AB不平行，选项C符合题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项D不符合题意；即可得出答案．
【解析】如图所示：
A、∵DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，△BDE∽△BAC，
∴DE＝AF，DEAC=BDAB，
∴AF：AC＝BD：AB；选项A不符合题意；
B、∵DE∥AC，
∴AD：AB＝CE：BC，
∵AD：AB＝CF：AC，
∴CE：BC＝CF：AC，
∴EF∥AB，选项B不符合题意；
C、∵△EFC∽△ABC，
∴∠CFE＝∠CBA，
∴EF与AB不平行，选项C符合题意；
D、∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠C＝∠BED，∠CEF＝∠B，
∴△EFC∽△BDE，选项D不符合题意；
故选：C．

13．（2020•崇明区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB和AC边上且DE∥BC，点M为BC边上一点（不与点B、C重合），联结AM交DE于点N，下列比例式一定成立的是（　　）

A．ADAN=ANAE B．DNNE=BMCM C．DNBM=AEEC D．DNMC=NEBM
【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可．
【解析】∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，
∴DNBM=ANAM，NEMC=ANAM，
∴DNBM=NEMC，
即DNNE=BMCM，
故选：B．
14．（2020•杨浦区一模）如图，在正方形ABCD中，△ABP是等边三角形，AP、BP的延长线分别交边CD于点E、F，联结AC，CP，AC与BF相交于点H，下列结论中错误的是（　　）

A．AE＝2DE B．△CFP～△APH C．△CFP～△APC D．CP2＝PH•PB
【分析】A正确．利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
B正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
C错误．通过计算证明∠CPA≠∠CPF，即可判断．
D正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∵△APB是等边三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠APB＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AE＝2DE，故A正确，
∵AB∥CD，
∴∠PFE＝∠ABP＝∠APH＝60°，
∵∠AHP＝∠PBA+∠BAH＝60°+45°＝105°，
又∵BC＝BP，∠PBC＝30°，
∴∠BPC＝∠BCP＝75°，
∴∠CPF＝105°，
∴∠PHA＝∠CPF，
∴△CFP∽△APH，故B正确，
∵∠CPA＝60°+75°＝135°≠∠CPF，
∴△CFP与△APC不相似，故C错误，
∵∠PCH＝∠PCB﹣∠BCH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PCH＝∠PBC，
∵∠CPH＝∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴PCPB=PHPC，
∴CP2＝PH•PB，故D正确，
故选：C．

二．填空题（共14小题）
15．（2020•闵行区校级一模）已知线段AB＝2，P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么AP＝　5-1　．
【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为5-12计算．
【解析】∵P是AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP=5-12AB=5-1，
故答案为：5-1．
16．（2020•虹口区一模）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12、A1C1＝8，△ABC的高AD为6，那么
△A1B1C1的高A1D1长为　4　．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案．
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，AC＝12、A1C1＝8，
∴相似比为：128=32，
∵△ABC的高AD为6，
∴△A1B1C1的高A1D1长为：6×23=4．
故答案为：4．
17．（2020•青浦区二模）如果点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，那么△ADE与△ABC的周长之比是　1：2　．
【分析】根据中位线的定理即可求出答案．
【解析】∵点D、E分别是△ABC的AB、AC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC=ADAB=AEAC=12，
∴l△ADEl△ABC=DE+AD+AEBC+AB+AC=12
故答案为：1：2．
18．（2020•虹口区一模）如果a：b＝2：3，且a+b＝10，那么a＝　4　．
【分析】根据已知条件设a＝2k，b＝3k，再根据a+b＝10求出k的值，从而得出a的值．
【解析】设a＝2k，b＝3k，
∵a+b＝10，
∴2k+3k＝10，
解得：k＝2，
∴a＝2k＝2×2＝4；
故答案为：4．
19．（2020•奉贤区一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，如果点A′恰好是△ABC的重心，A′B′、A′C′分别于BC交于点M、N，那么△A′MN面积与△ABC的面积之比是　19　．

【分析】由重心的性质可得A'D=13AD，由相似三角形的性质可得△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（A'DAD）2=19．
【解析】∵点A′恰好是△ABC的重心，
∴A'D=13AD，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移到A′B′C′的位置，
∴△ABC∽△A'MN，
∴△A′MN面积与△ABC的面积之比＝（A'DAD）2=19，
故答案为：19．
20．（2020•浦东新区二模）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D、E分别在边AB、AC上．如果D为AB中点，且ADAB=DEBC，那么AE的长度为　5或75　．
【分析】先求出DE的长，分两种情况讨论，利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质可求解．
【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，
∴AC=AB2+BC2=64+36=10，
∵D为AB中点，
∴AD＝4，
∵ADAB=DEBC，
∴48=DE6
∴DE＝3，
如图，∠ADE＝∠ABC＝90°时，

∴△ADE∽△ABC，
∴AEAC=ADAB
∴AE＝5，
如图，∠ADE≠∠ABC时，取AC中点H，连接DH，过点D作DF⊥AC于F，

∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH=12BC＝3，AH＝HC＝5，DH∥BC，
∴∠ADH＝∠ABC＝90°，
∵S△ADH=12×AH×DF=12×AD×DH，
∴5×DF＝12，
∴DF=125，
∴FH=DH2-DF2=9-14425=95，
∵DE＝DH，DF⊥AC，
∴EF＝FH=95，
∴AE＝AH-95-95=75，
故答案为：5或75．
21．（2020•嘉定区二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α＝2∠β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为　22或5+12　．
【分析】若等腰三角形的三个内角∠α、∠β，∠β，利用∠α+2∠β＝180°和∠α＝2∠β得β＝45°，此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角∠α、∠α，∠β，利用2∠α+∠β＝180°和∠α＝2∠β得β＝36°，如图，∠B＝∠C＝72°，∠A＝36°，作∠ABC的平分线BD，则∠ABD＝∠CBD＝36°，易得DA＝DB＝CB，再证明△BDC∽△ACB，利用相似比得到BC：AC＝CD：BC，等量代换得到BC：AC＝（AC﹣BC）：BC，然后解关于AC的方程AC2﹣AC•BC﹣BC2＝0得AC与BC的比值即可．
【解析】若等腰三角形的三个内角∠α、∠β，∠β，
∵∠α+2∠β＝180°，∠α＝2∠β，
∴4∠β＝180°，解得β＝45°，
∴此“倍角三角形”为等腰直角三角形，
∴腰长与底边长的比值为22；
若等腰三角形的三个内角∠α、∠α，∠β，
∵2∠α+∠β＝180°，∠α＝2∠β，
∴5∠β＝180°，解得β＝36°，
如图，∠B＝∠C＝72°，∠A＝36°，作∠ABC的平分线BD，则∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴DA＝DB，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即DA＝DB＝CB，
∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ACB，
∴BC：AC＝CD：BC，
即BC：AC＝（AC﹣BC）：BC，
整理得AC2﹣AC•BC﹣BC2＝0，解得AC=1+52BC，
即ACBC=5+12，
此时腰长与底边长的比值为5+12，
综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为22或5+12．
故答案为22或5+12．

22．（2020•奉贤区一模）已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC的反向延长线上，若ADAB=13，则当AEEC的值是　14　时，DE∥BC．
【分析】根据平行线分线段成比例分析即可．
【解析】∵要使DE∥BC，则需AEEC=ADBD，
∴AEAC=ADAD+AB=14
故答案为：14

23．（2020•闵行区二模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD：BC＝2：3，那么DB：AC＝　6：3　．
【分析】过点A作AE∥BD交CB延长线于点E，根据AD∥BC，可得四边形AEBD是平行四边形，可得AC⊥AE，证明△ABO∽△BCO，对应边成比例可得OB=6x，进而可求tan∠ACB=OBOC=63，即可得结论．
【解析】如图，

过点A作AE∥BD交CB延长线于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE，
∴tan∠ACB=AEAC，
∵AD∥BC，
∴AOOC=ADBC=23，
∵DB⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠OCB+∠OBC＝90°，
∠ABO+∠OBC＝90°，
∴∠ABO＝∠OCB，
∴△ABO∽△BCO，
∴OBOC=AOBO，
设AO＝2x，OC＝3x，
∴OB=6x，
∴tan∠ACB=OBOC=63，
∴AEAC=DBAC=63．
故答案为：6：3．
24．（2020•宝山区一模）如图，已知正方形ABCD的各个顶点A、B、C、D都在⊙O上，如果P是AB的中点，PD与AB交于E点，那么PEDE=　2-12　．

【分析】根据垂径定理，连接OP后有OP∥AD，可构成比例线段求解．
【解析】连接OP，交AB于点F，连接AC．
根据垂径定理的推论，得OP⊥AB，AF＝BF．
根据90°的圆周角所对的弦是直径，则AC为直径．
设正方形的边长是1，则AC=2，圆的半径是22．
根据正方形的性质，得∠OAF＝45°．
所以OF=12，PF=2-12．
∵OP∥AD，
∴PEDE=PFAD=2-12．
故答案为2-12．

25．（2020•宝山区二模）如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD＝∠B，并且AD：AC＝1：3，那么AD：BD＝　1：2　．

【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．
【解析】在△ACD与△ABC中，
∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ADAC=ACAB=13，
∴ADAB=13
∴ADBD=12．
即AD：BD＝1：2．
故答案是：1：2．
26．（2020•青浦区二模）小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似，那么分割出来的另外两个小三角形也相似．他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线．
如图1、图2，直线CG、DH分别是两个不相似的Rt△ABC和Rt△DEF的相似分割线，CG、DH分别与斜边AB、EF交于点G、H，如果△BCG与△DFH相似，AC＝3，AB＝5，DE＝4，DF＝8，那么AG＝　3　．

【分析】先由勾股定理得出BC的值，再由△BCG∽△DFH列出比例式，设AG＝x，用含x的式子表示出DH；按照相似分割线可知，△AGC∽△DHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的，再根据相似三角形的性质列出比例式，解得x值即可．
【解析】∵Rt△ABC，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得：BC＝4，
∵△BCG∽△DFH，
∴BGDH=BCDF，
已知DF＝8，设AG＝x，则BG＝5﹣x，
∴5-xDH=48，
∴DH＝10﹣2x，
∵△BCG∽△DFH，
∴∠B＝∠FDH，∠BGC＝∠CHF，
∴∠AGC＝∠DHE，
∵∠A+∠B＝90°，∠EDH+∠FDH＝90°，
∴∠A＝∠EDH，
∴△AGC∽DHE，
∴AGDH=ACDE，
又DE＝4，
∴x10-2x=34，
解得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，且符合题意．
∴AG＝3．
故答案为：3．
27．（2020•虹口区一模）如图，在梯形AEFB中，AB∥EF，AB＝6，EF＝10，点C、D分别在边AE、BF上且CD∥AB，如果AC＝3CE，那么CD＝　9　．

【分析】连接BE交CD于点M，由平行线分线段成比例定理先证CEAE=14，BDBF=34，再证△ECM∽△EAB，△BMD∽△BEF，由相似三角形的性质可分别求出CM，DM的长，可进一步求出CD的长．
【解析】如图，连接BE交CD于点M，
∵AC＝3CE，
∴CEAC=13，
∵AB∥EF，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EF，
∴DFBD=CEAC=13，
∴CEAE=14，BDBF=34，
∵CM∥AB，
∴△ECM∽△EAB，
∴CMAB=CEAE，
即CM6=14，
∴CM=32，
∵MD∥EF，
∴△BMD∽△BEF，
∴MDEF=BDBF，
即MD10=34，
∴MD=152，
∴CD＝CM+MD=32+152=9，
故答案为：9．

28．（2020•虹口区一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sinC=45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为　247　．

【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】如图，

∵FB′⊥AB，
∴∠BAF＝90°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC＝∠C，
∴sin∠ABC＝sin∠C=AFBF=45，
设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，
∴k＝3，
∴AF＝12，BF＝15，
∵AD∥BF，
∴△APD∽△FPB，
∴PAPF=ADBF=615=25，
∴PA=27AF=247，
故答案为247．
三．解答题（共12小题）
29．（2020•闵行区一模）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分
别为E，F．
（1）当∠ACD＝∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；
（2）当∠BCD＝∠A时，求证：CDCA=CFAD．

【分析】（1）由垂直的定义可得出∠DEC＝∠DFC，结合∠ECF＝90°可得出四边形DECF为矩形，由∠ACD＝∠BCD可得出CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可得出DE＝DF，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF是正方形；
（2）由∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A可得出∠A+∠ACD＝90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC＝90°，由∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°可证出△CDF∽△ACD，再利用相似三角形的性质可证出CDCA=CFAD．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
又∵∠ECF＝90°，
∴四边形DECF为矩形．
∵∠ACD＝∠BCD，
∴CD平分∠ACB，
∴DE＝DF，
∴四边形DECF是正方形．
（2）∵∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝90°，∠BCD＝∠A，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣90°＝90°．
∵∠DCF＝∠A，∠DFC＝∠ADC＝90°，
∴△CDF∽△ACD，
∴CDCA=CFAD．

30．（2020•奉贤区二模）已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．
（1）求证：AD＝DE；
（2）过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．

【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到CEEF=BEDE，BEDE=AECE，得到CEEF=AECE，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．
【解答】证明：（1）∵BC2＝CE•CA，
∴BCCE=CABC，又∠ECB＝∠BCA，
∴△BCE∽△ACB，
∴∠CBE＝∠CAB，
∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，
∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，
∴∠BEC＝∠DAE，
∵∠BEC＝∠DEA，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE；
（2）∵DF⊥AC，AC⊥BC，
∴∠DFE＝∠BCA＝90°，
∴DF∥BC，
∴CEEF=BEDE，
∵DC∥AB，
∴BEDE=AECE，
∴CEEF=AECE，
∴CE2＝AE•EF，
∵AD＝DE，DF⊥AC，
∴AF＝EF，
∴CE2＝AE•AF．

31．（2020•宝山区一模）如图，△ABC中，AB＝AC，AM为BC边的中线，点D在边AC上，联结BD交AM于点F，延长BD至点E，使得BDDE=ADDC，联结CE．求证：
（1）∠ECD＝2∠BAM；
（2）BF是DF和EF的比例中项．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；
（2）由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DFCF=CFEF，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，AM为BC边的中线，
∴∠BAC＝2∠BAM，
∵BDDE=ADDC，∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠BAC＝∠ECD，
∴∠ECD＝2∠BAM；
（2）如图，连接CF，

∵AB＝AC，AM为BC边的中线，
∴AM是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，
∵△ABF≌△ACF（SSS）
∴∠ABF＝∠ACF，
由（1）可知：△ADB∽△CDE，
∴∠ABF＝∠E，
∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，
∴△DCF∽△CEF，
∴DFCF=CFEF，且BF＝CF，
∴BF2＝DF•EF，
∴BF是DF和EF的比例中项．
32．（2020•青浦区一模）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG⋅FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG．

【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；
（2）由相似三角形的性质可得CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGGC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．
∴AFFG=EFAF，且∠AFG＝∠EFA，
∴△FAG∽△FEA，
∴∠FAG＝∠E，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，
∴△CAD∽△CBG；
（2）∵△CAD∽△CBG，
∴CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，
∴△CDG∽△CAB，
∴DGAB=CGCB，
∵AE∥BC，
∴AECB=AGGC
∴AGAE=GCBC，
∴DGAB=AGAE，
∴DG•AE＝AB•AG．
33．（2020•浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF的值．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【解析】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝6，
∴CD＝23，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝63，
∴BD＝BC﹣CD＝43，
∵DE∥CA，
∴DECA=BDBC=23，
∴DE＝4；
（2）∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴DFAG=DMAM，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴EFAG=BFBG，BFBG=BDBC，
∴EFAG=BDBC，
∵BD＝43，BC＝63，DF＝AG，
∴EFDF=23．
34．（2020•普陀区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；
（2）先由∠AEB＝∠CEB=12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△FAE得FCFA=CDAE，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
又∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠AEB＝∠CEB=12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，
∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，
∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，
∴△FCD∽△FAE，
∴FCFA=CDAE，
∵CD＝AD，AE＝CE，
∴FCFA=ADCE，即EC•CF＝AF•AD．
35．（2020•嘉定区二模）已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE2DF2=BECF．

【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF，得出BECD⋅BDCF=(DEDF)2，由BD＝CD，即可得出结论．
【解答】证明：（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点D是边BC的中点，
∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE＝AF；
（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，
∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，
∴∠BDE＝∠CFD，
∴△BDE∽△CFD．
∴BECD=BDCF=DEDF，
∴BECD⋅BDCF=(DEDF)2，
又∵BD＝CD，
∴DE2DF2=BECF．

36．（2020•徐汇区一模）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．
（1）求证：FH•AC＝HG•AB；
（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．

【分析】（1）根据已知条件可得△BGD∽△BCA，△CEF∽△CAB，进而可得∠HFG＝∠B，∠HGF＝∠C，可推出△HGF∽△ACB，即可得结论；
（2）连接DE，可证明DE∥BC且DE＝FG，可得四边形DEGF是平行四边形，即可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝3AD，BF＝FG＝CG，
∴BDBA=BGBC=23，∠B＝∠B，
∴△BDG∽△BCA，
∴∠C＝∠DGB，
同理可得：∠B＝∠EFC，
∴△FGH∽△BCA，
∴FHAB=HGAC，
∴FH•AC＝HG•AB；
（2）如图所示：
连接DF、EG、DE，
∵ADAB=AEAC=13，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=13，
∴DE＝FG，DE∥BC，
∴四边形DEGF是平行四边形，
∴DF∥EG，
∴∠DFE＝∠GEF，
∴∠FHG＝∠HDF+∠DFH＝∠HDF+∠GEF，
∵△FGH∽△BCA，
∴∠BAC＝∠FHG，
∴∠BAC＝∠FDG+∠GEF．
37．（2020•浦东新区一模）如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB•AD＝DF•BC；
（2）如果AE∥BC，求证：BDDC=DFFE．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠DAC＝∠C，由已知∠ADE＝∠B，证明△ABC∽△FDA，得出ABDF=BCAD，即可得出结论；
（2）由三角形的外角性质得出∠CDF＝∠BAD，由平行线的性质得出∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，证出∠BAD＝∠E，证明△ABD∽△EDA，得出BDAD=ADAE，证出∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM＝FM，求出△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=ADAE，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△FDA，
∴ABDF=BCAD，
∴AB•AD＝DF•BC；
（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠CDF＝∠BAD，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，
∴∠BAD＝∠E，
又∵∠ADE＝∠B，
∴△ABD∽△EDA，
∴BDAD=ADAE，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，
作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，
则FM＝FM，
∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，
∴BDDC=DFFE．

38．（2020•松江区二模）如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：MNAB=OMOA．

【分析】（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则根据垂径定理可得答案；
（2）联结OB，OM，ON，MN，先判定△BOM≌△AON（SAS），再证明△NOM∽△BOA，然后根据相似三角形的性质可得答案．
【解答】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：

∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，

∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO，
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴MNAB=OMOA．
39．（2020•越城区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的一个动点（点D不与点B、点C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F．
（1）求证：AB•CE＝BD•CD；
（2）当DF平分∠ADC时，求AE的长；
（3）当△AEF是等腰三角形时，求BD的长．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAD＝∠CDE，得到△BAD∽△CDE，根据相似三角形的性质证明结论；
（2）证明DF∥AB，根据平行线的性质得到AEAC=BDBC，证明△BDA∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案；
（3）分点F在DE的延长线上、点F在线段DE上两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∠ADC＝∠BAD+∠B，∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，
∴△BAD∽△CDE，
∴ABCD=BDCE，即AB•CE＝BD•CD；
（2）解：∵DF平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵∠CDE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴DF∥AB，
∴AEAC=BDBC，
∵∠BAD＝∠ADE＝∠B，
∴∠BAD＝∠C，又∠B＝∠B，
∴△BDA∽△BAC，
∴BDBA=BABC，即BD10=1016
解得，BD=254，
∴AE10=25416，
解得，AE=12532；
（3）解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝HC=12BC＝8，
由勾股定理得，AH=AB2-BH2=102-82=6，
∴tanB=AHBH=34，
∴tan∠ADF=AFAD=34，
设AF＝3x，则AD＝4x，
由勾股定理得，DF=AD2+AF2=5x，
∵△BAD∽△CDE，
∴ADDE=ABCD，
当点F在DE的延长线上，FA＝FE时，DE＝5x﹣3x＝2x，
∴10CD=4x2x，
解得，CD＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝11，
当EA＝EF时，DE＝EF＝2.5x，
∴10CD=4x2.5x，
解得，CD=254，
∴BD＝BC﹣CD=394；
当AE＝AF＝3x时，DE=75x，
∴10CD=4x75x，
解得，CD=72，
∴BD＝BC﹣CD=252；
当点F在线段DE上时，∠AFE为钝角，
∴只有FA＝FE＝3x，则DE＝8x，
∴10CD=4x8x，
解得，CD＝20＞16，不合题意，
∴△AEF是等腰三角形时，BD的长为11或394或252．

40．（2020•虹口区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．
（1）求证：BD2＝DE•AD；
（2）如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．

【分析】（1）证明△CDE∽△ADC推出CDAD=DECD，可得CD2＝DE•DA即可解决问题．
（2）利用相似三角形的性质首先证明AC＝BE，再证明△ACE∽△CDE，可得ACCD=ECDE，可得BEBD=ECDE即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACD＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC
∴CDAD=DECD，
∴CD2＝DE•DA，
∵DB＝CD，
∴BD2＝DE•DA．

（2）解：如图2中，

∵BD2＝DE•DA，
∴BDDE=DABD，
∵∠BDE＝∠ADB，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠DEB＝∠ABC，
∵∠ABD＝∠ECD，
∴∠BED＝∠BCE，
∵∠EBD＝∠CBE，
∴△EBD∽△CBE，
∴BDBE=DECE，
∴BD•CE＝BE•DE．