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专题08 解析几何-2020年高考数学（理）二轮专项复习
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专题08 解析几何
平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．
在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．
§8－1 直角坐标系
【知识要点】
1．数轴上的基本公式
设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称x2－x1叫做向量的坐标或数量，即数量AB＝x2－x1；数轴上两点A，B的距离公式是
d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．
2．平面直角坐标系中的基本公式
设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是
A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是
3．空间直角坐标系
在空间直角坐标系O－xyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是
【复习要求】
1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．
2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．
【例题分析】
例1 解下列方程或不等式：
(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．
略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，
则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，
图8－1－1
所以，原方程的解为x＝4或x＝2．
(2)与(1)类似，如图8－1－2，
图8－1－2
则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，
所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．
(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，
将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，
得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．
【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．
例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．
图8－1－3
设AB＝a，AD＝b，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，
设P(x，y)，
则
＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．
例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，－1)，B(2，0，2)．
(1)求A，B两点的距离；
(2)在x轴上求一点P，使｜PA|＝｜PB|；
(3)设M为xOy平面内的一点，若|MA｜＝｜MB｜，求M点的轨迹方程．
解：(1)由两点间的距离公式，得
(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得
，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P(1，0，0)．
(3)设M(x，y，0)，则有
整理可得x－2y－1＝0．
所以，M点的轨迹方程为x－2y－1＝0．
【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．
练习8－1
一、选择题
1．数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，－1，－5，则AC＋CB等于( )
A．－4 B．4 C．－12 D．12
2．若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中x∈R)，则向量的数量的最小值为( )
A． B．0 C． D．
3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz平面的对称点是( )
A．(1，－2，－3) B．(1，2，3) C．(－1，－2，3) D．(－1，2，3)
4．已知平面直角坐标内有三点A(－2，5)，B(1，－4)，P(x，y)，且｜AP|＝｜BP|，则实数x，y满足的方程为( )
A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
二、填空题
5．方程｜x＋2｜＝3的解是______；不等式｜x＋3｜≥2的解为______．
6．点A(2，3)关于点B(－4，1)的对称点为______．
7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4的解为______．
8．如图8－1－4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|DD1|＝2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是______，点M的坐标是______，M关于点B1的对称点为______．
图8－1－4
三、解答题
9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．
10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．
§8－2 直线的方程
【知识要点】
1．直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
2．直线的倾斜角和斜率
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角a 的取值范围是0°≤a ＜180°．
我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线y＝kx＋b上任意两点，其中x1≠x2，则斜率
倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为a 的直线的斜率k＝tana (a ≠90°)．
3．直线方程的几种形式
点斜式：y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：y＝kx＋b；
两点式：
一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
4．两条直线相交、平行与重合的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1与l2相交A1B2－A2B1≠0或
(2)l1与l2平行
(3)l1与l2重合
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则
l1与l2相交k1≠k2；
l1∥l2k1＝k2，b1≠b2；
l1与l2重合k1＝k2，b1＝b2．
5．两条直线垂直的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2A1A2＋B1 B2＝0．
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2k1k2＝－1．
6．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d的计算公式
【复习要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
【例题分析】
例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；
(2)设A(2，3)，B(－3，2)，C(－1，－1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为______．
略解：(1)直线可以化简为
所以此直线的斜率为，倾斜角
(2)如图8－2－1，设直线AC的倾斜角为a ，
图8－2－1
因为此直线的斜率为，所以
设直线BC的倾斜角为b ，因为此直线的斜率为
所以
因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角q 满足a ≤q ≤b ，
由正切函数图象，得tanq ≥tana 或tanq≤tanb，
故l斜率k的取值范围为．
【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：
①已知直线的倾斜角a，当a≠90°时，k＝tana；
②已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，k＝；
③已知直线的方程Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，k＝．
(2)已知直线的斜率k求倾斜角a 时，要注意当k>0时，a ＝arctank；当k<0时，a ＝p－arctan|k|．
例2 根据下列条件求直线方程：
(1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；
(2)过点P(－2，1)，且点Q(－1，－2)到直线的距离为1．
解：(1)设所求直线方程为y－3＝k(x－2)，或x＝2(舍)，
令y＝0，得x＝2－(k≠0)；令x＝0，得y＝3－2k，
由题意，得2－＝3－2k，解得k＝或k＝－1，
所以，所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0；
(2)设所求直线方程为y－1＝k(x＋2)或x＝－2，
当直线为y－1＝k(x＋2)，即kx—y＋(2k＋1)＝0时，
由点Q(－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得，
所以，直线，即4x＋3y＋5＝0符合题意；
当直线为x＝－2时，检验知其符合题意．
所以，所求直线方程为4x＋3y＋5＝0或x＝－2．
【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．
例3 已知直线l1：(m－2)x＋(m＋2)y＋1＝0，l2：(m2－4)x—my－3＝0，
(1)若l1∥l2，求实数m的值；
(2)若l1⊥l2，求实数m的值．
解法一：(1)因为l1∥l2，所以(m－2)(－m)＝(m＋2)(m2－4)，
解得m＝2或m＝－1或m＝－4，
验证知两直线不重合，
所以m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；
(2)因为l1⊥l2，所以(m－2)(m2－4)＋(－m)(m＋2)＝0，
解得m＝－2或m＝1或m＝4．
解法二：当l1斜率不存在，即m＝－2时，代入直线方程，知l1⊥l2；
当l2斜率不存在，即m＝0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；
当l1，l2斜率存在，即m≠0，m≠－2时，
可求l1，l2，如的斜率分别为k1＝－，k2＝，截距b1＝－，b2＝，
若l1∥l2，由k1＝k2，b1≠b2，解得m＝2或m＝－1或m＝－4，
若l1⊥l2，由k1k2＝－1，解得m＝1或m＝4
综上，(1)当m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；
(2)当m＝－2或m＝1或m＝4时，l1⊥l2．
【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用．
例4 已知直线l过两直线l1：3x－y－1＝0与l2：x＋y－3＝0的交点，且点A(3，3)和B(5，2)到l的距离相等，求直线l的方程．
【分析】所求直线l有两种情况：一是l与AB平行；二是点A，B在l的两侧，此时l过线段AB的中点．
解：解方程组得交点(1，2)，
由题意，当①l与AB平行；或②l过A，B的中点时．可以使得点A，B到l的距离相等．
①当l∥AB时，因为，此时，即x＋2y－5＝0；
②当l过AB的中点时，因为AB的中点坐标为所以
即l：x－6y＋11＝0．
综上，所求的直线l的方程为x＋2y－5＝0或l：x－6y＋11＝0．
例5 已知直线l1：y＝kx＋2k与l2：x＋y＝5的交点在第一象限，求实数k的取值范围．
解法一：解方程组，得交点
由题意，得，解得
解法二：如图8－2－2，由l1：y＝k(x＋2)，知l1过定点P(－2，0)，
图8－2－2
由l2：x＋y＝5，知l2坐标轴相交于点A(0，5)，B(5，0)，
因为
由题意，得
【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．
例6 如图8－2－3，过点P(4，4)的直线l与直线l1：y＝4x相交于点A(在第一象限)，与x轴正半轴相交于点B，求△ABO面积的最小值．
图8－2－3
解：设B(a，0)，则
将y＝4x代入直线l的方程，
得点A的坐标为
则△ABO的面积
所以当a＝6时，△ABO的面积S取到最小值24．
练习8－2
一、选择题
1．若直线l的倾斜角的正弦为，则l的斜率k是( )
A． B． C．或 D．或
2．点P(a＋b，ab)在第二象限内，则bx＋ay－ab＝0直线不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则l的倾角的取值范围( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1∥l2，则a＝_______．
6．已知点A(3，0)，B(0，4)，则过点B且与A的距离为3的直线方程为_______．
7．若点P(3，4)，Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则a＋2b＝_______．
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则的值等于_______．
三、解答题
9．已知点P在直线2x＋3y－2＝0上，点A(1，3)，B(－1，－5)．
(1)求｜PA｜的最小值；
(2)若|PA|＝|PB|，求点P坐标．
10．若直线l夹在两条直线l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l的方程．
11．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．
§8－3 简单的线性规划问题
【知识要点】
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．
(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．
②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．
2．简单线性规划
(1)基本概念
目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．
约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．
线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．
最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．
可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①分析并将已知数据列出表格；
②确定线性约束条件；
③确定线性目标函数；
④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
【复习要求】
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
【例题分析】
例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；
(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．
解：(1)将直线化为
由题意，得，解得a＜－7．
(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，
则(3×3－2＋a)[3×(－4)－12＋a]＜0，即(a＋7)(a－24)＜0，
所以，实数a的取值范围是(－7，24)．
例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；
图8－3－1
(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域．
略解：(1)
(2)由题意，得b2－4a2＞0，即(2a＋b)(2a－b)＜0，
所以或，点(a，b)表示的平面区域如图8－3－2．
图8－3－2
【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．
例3 已知x，y满足求：
(1)z1＝x＋y的最大值；
(2)z2＝x－y的最大值；
(3)z3＝x2＋y2的最小值；
(4)的取值范围(x≠1)．
略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．
图8－3－3
易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)．
(1)作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；
(2)作直线x－y＝0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；
(3)作圆x2＋y2＝r2，显然当圆与直线2x＋y－2＝0相切时，r2有最小值，即z3有最小值
(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z的几何意义．z的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．
例4 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须
满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
(A)80 (B)85 (C)90 (D)95
略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域．
如图8－3－4．
图8－3－4
作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z＝10x＋10y有最大值，易得
又由题意，知x，y∈N，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，
所以，zmax＝10×5＋10×4＝90，选C．
【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．
例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?
解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克)．
由题意，得
上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
图8－3－5
作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得M，此时z取到最大值
答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．
例6 设函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．
(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；
(2)试利用(1)所得的区域，求f(－2)的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
∴即
如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．
图8－3－6
(2)目标函数f(－2)＝4a－2b．
在平面直角坐标系aOb中，作直线l：4a－2b＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．
这里B点是直线a－b＝2和a＋b＝4的交点，容易解得B(3，1)，
此时f(－2)取到最大值4×3－2×1＝10．
同理，其中有一条直线经过可行域上的C点，此时目标函数达到最小值．这里C点是直线a－b＝1和a＋b＝2的交点，容易解得
此时f(－2)取到最小值
所以5≤f(－2)≤10．
【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．
练习8－3
一、选择题
1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是 ( )
A．a＜0或a＞2 B．a＝0或a＝2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
3．已知x和y是正整数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是( )
A．24 B．14 C．13 D．11.5
4．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北a 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但a 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S可以用不等式组表示为( )
图8－3－7
A． B．
C． D．
二、填空题
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．
6．若实数x、y满足，则的取值范围是______．
7．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是______．
8．若当实数x，y满足时，z＝x＋3y的最小值为－6，则实数a等于______．
三、解答题
9．如果点P在平面区域内，点Q(2，2)，求|PQ|的最小值．
10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％(
)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?
11．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0．
(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；
(2)试利用(1)所得的区域，指出a的取值范围．
§8－4 圆的方程
【知识要点】
1．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中点(a，b)为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，其中圆心为，半径为
2．点和圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆的圆心距离为d，则
d＞r点在圆外；
d＝r点在圆上；
d＜r点在圆内．
3．直线与圆的位置关系
(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y，得关于x的一元二次方程，则
＞0方程组有两解直线和圆相交；
＝0方程组有一解直线和圆相切；
＜0方程组无解直线和圆相离．
(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d，设圆的半径为r，则
d＜r直线和圆相交；
d＝r直线和圆相切；
d＞r直线和圆相离．
4．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R≥r)，两圆的圆心距为d(d＞0)，则
d＞R＋r两圆相离；
d＝R＋r两圆外切；
R－r＜d＜R＋r两圆相交；
d＝R－r两圆内切；
d＜R－r两圆内含．
【复习要求】
1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．
【例题分析】
例1根据下列条件，求圆的方程：
(1)一条直径的端点是A(3，2)，B(－4，1)；
(2)经过两点A(1，－1)和B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上；
(3)经过两点A(4，2)和B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．
【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．
解：(1)由题意圆心为AB的中点M，即，
因为
所以圆的半径
所以，所求圆的方程为
(2)方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则
，解得
所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB的垂直平分线上．易得AB的垂直平分线为y＝x．
由题意，解方程组，得圆心C为(1，1)，
于是，半径r＝｜AC|＝2，
所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
(3)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆过点A，B，所以
4D＋2E＋F＋20＝0，①
－D＋3E＋F＋10＝0，②
在圆的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1＋x2＝－D．
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1＋y2＝－E．
由题意，得－D＋(－E)＝2，③
解①②③，得D＝－2，E＝0，F＝－12，
所以，所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
【评析】①以A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．
例2 (1)点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上，求过点P的圆的切线方程；
(2)若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)内，判断直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系．
解：(1)方法一：因为切线l与半径OP垂直，又可求出直线OP的斜率，所以可得切线l的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．
方法二：设Q(x，y)为所求切线上任一点，则，即(x－a，y－b)·(a，b)＝0．
整理得ax＋by＝a2＋b2，
又因为P在圆上，所以a2＋b2＝r2，
故所求的切线方程为ax＋by＝r2．
(2)由已知，得a2＋b2＜r2，
则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离
所以此直线与圆C相离．
【评析】随着点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝r2的位置关系的变化，直线l：ax＋by＝r2与圆C的位置关系也在变化．①当点P在圆C上时，直线l与圆C相切；②当点P在圆C内时，直线l与圆C相离；③当点P在圆外时，直线l与圆C相交．
例3 已知点A(a，3)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)设a＝3，求过点A且与圆C相切的直线方程；
(2)设a＝4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)设a＝2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程．
解：(1)如图8－4－1，此时A(3，3)，
图8－4－1
设切线为y－3＝k(x－3)或x＝3，
验证知x＝3符合题意；
当切线为y－3＝k(x－3)，即kx－y－3k＋3＝0时，
圆心(1，2)到切线的距离
解得
所以，切线方程为3x＋4y－21＝0或x＝3．
(2)如图8－4－2，此时A(4，3)，
图8－4－2
设直线l为y－3＝k(x－4)或x＝4(舍)，
设弦PQ的中点为M，则｜CP|＝r＝2，
所以，即圆心到直线l的距离为1，
于是，解得k＝0或，
所以，直线l的方程为或y＝3．
(3)如图8－4－3，此时A(2，3)，设所截得的线段为DE，圆心到直线l1的距离为d，
图8－4－3
则，即
因为直线l1过点A，
所以圆心到直线l1的距离为d≤|CA｜＝
故当d＝时，，
此时AC⊥l1，因为
所以＝－1，
故直线l1方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0．
【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；
(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt△CMP中，有｜CM|2＋｜MP|2＝｜CP｜2，CM⊥MP等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt△ABC．
例4 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．
【分析】要证明直线l与圆C恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l恒过圆内一定点，那么直线l与圆C显然有两个交点．
解：因为直线l：mx＋y＋m＝0可化为y＝－m(x＋1)，
所以直线l恒过点A(－1，0)，
又圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，
且点A到圆C的圆心的距离等于
所以点A为圆C内一点，则直线l恒过圆内一点A，
所以直线l与圆C恒交于两点．
例5 四边形ABCD的顶点A(4，3)，B(0，5)，C(－3，－4)，DO为坐标原点．
(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；
(2)记△ABC的外接圆为W，过W上的点E(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)作圆W的切线l，设l与x轴、y轴的正半轴分别交于点P、Q，求△OPQ面积的最小值．
【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．
解：(1)设△ABC的外接圆为W，圆心M(a，b)，半径为r(r＞0)．
则W为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意，得，解得，所以W：x2＋y2＝25．
将点D的坐标代入W的方程，适合．
所以点D在△ABC的外接圆W上，
故四边形ABCD有外接圆，且外接圆的方程为x2＋y2＝25．
(2)设切线l的斜率为k，直线ME(即OE)的斜率为k1，
∵圆的切线l垂直于过切点的半径，∴
∴切线，整理得而，
∵点E(x0，y0)在圆W上，即，∴切线l：x0x＋y0y＝25．
在l的方程中，令x＝0，得，同理
∴△OPQ的面积
∵，(其中x0＞0，y0＞0)
∴当且仅当时，等号成立．
即当时，△OPQ的面积有最小值25．
练习8－4
一、选择题
1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A． B． C．1 D．5
3．若直线与圆x2＋y2＝1有公共点，则( )
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 C． D．
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )
A．(x＋4)2＋(y－2)2＝5 B．(x－4)2＋(y－4)2＝5
C．(x＋4)2＋(y＋4)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝5
二、填空题
5．由点P(－1，4)向圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0所引的切线长是______．
6．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有______个．
8．若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意的实数x、y都成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
9．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点．
(1)当a＝－2时，求弦AB的垂直平分线方程；
(2)当l被圆C截得弦长为时，求a的值．
10．已知圆满足以下三个条件：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为．求该圆的方程．
11．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时l的方程．
§8－5 曲线与方程
【知识要点】
1．轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
2．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
3．曲线的交点
已知两条曲线C1和C2的方程分别是F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，那么求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．
【复习要求】
1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想．
2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．
【例题分析】
例1 已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点P到点A的距离与它到点B的距离之比为2，求动点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，则，即
化简得x2＋y2－6x＋5＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＋y2－6x＋5＝0．
【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：①建立平面直角坐标系；②设所求动点的坐标为(x，y)；③找出动点满足的几何关系；④几何关系代数化，并将其化简；⑤检验以方程的解为坐标的点是否都在所求轨迹上．
例2 已知P为抛物线y＝x2＋1上一动点，A(2，3)，P关于A的对称点为点P′，求动点P′的轨迹方程．
解：设P '(x，y)，P(x0，y0)，由题意，得
所以x0＝4－x，y0＝6－y，
因为点P(x0，y0)在抛物线y＝x2＋1上，所以6－y＝(4－x)2＋1，
即动点P '的轨迹方程为y＝－(x－4)2＋5．
例3 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ｜的比等于常数2．求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：如图8－5－1，设直线MN切圆于N，
图8－5－1
则动点M组成的集合是：P＝{M｜｜MN｜＝2｜MQ|}，
因为圆的半径｜ON|＝1，所以｜MN|2＝｜MO|2－｜ON|2＝｜MO|2－1．
设点M的坐标为(x，y)，则
整理得3x2＋3y2－16x＋17＝0，化简得
即动M的轨迹方程为它是以为圆心，以径的圆．
【评析】求轨迹方程的方法有多种，常见的有：动点轨迹法，相关点法，几何法等．但不论用何种方法求轨迹方程，其最终是要找出所求动点的横纵坐标x，y满足的方程．
例4 已知曲线C：｜xy|＝1．
(1)画出曲线C的图象，并研究其对称性；
(2)讨论圆x2＋y2＝r2(r＞0)与C的交点情况．
解：(1)图象如图8－5－2．图象关于x轴、y轴、原点、直线y＝x，直线y＝－x都对称．
图8－5－2
(2)由，得x4－r2x2＋1＝0，则＝r4－4，
当＝r4－4＜0，即0＜r＜时，圆与曲线C无交点；
当＝r4－4＝0，即r＝时，结合图象对称性，得圆与曲线C有四点；
当＝r4－4＞0，即r＞时，结合图象对称性，得圆与曲线C有八点．
【评析】利用方程思想可以研究图象交点的个数，但有时较复杂，若能结合图象常常可以使问题得到简化．
练习8－5
一、选择题
1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．｜x|－y＝0 D．｜x｜－|y|＝0
2．下列方程的曲线关于x＝0对称的是( )
A．x2－x＋y2＝1 B．x2－y2＝1 C．x－y＝1 D．x2y＋xy2＝1
3．已知等腰△ABC的底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，－4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．y＝x B．y＝x(x≠2) C．y＝－x D．y＝－x(x≠2)
4．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(k∈R，k≠0)的公共点的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．曲线x＋y－7＝0与xy＝10的交点坐标是______．
6．曲线(x－2)2＋x(y－2)＝0关于点A(1，1)的对称曲线方程是______．
7．与直线和直线y＝4距离相等的点的轨迹方程为______．
8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______．
三、解答题
9．已知两圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝9，C2：x2＋y2＝16．圆C过圆C1，C2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C的方程．
10．已知曲线C：y2＝x＋1，定点A(3，1)，B为曲线C上任一点，点P在线段AB上且有｜BP｜∶｜PA｜＝1∶2，当B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程．
11．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，求动点Q的轨迹方程．
§8－6 椭 圆
【知识要点】
1．椭圆定义：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于定长(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：
标准方程
图形
性
质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
｜F1F2｜＝2c，(其中c2＝a2－b2，c＞0)
范围
｜x｜≤a，｜y｜≤b
｜x｜≤b，｜y｜≤a
对称
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(±a，0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b，0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
离心率
3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：
(1)在两种标准方程中，总有a＞b＞0；
(2)椭圆的焦点总在长轴上；
(3)在方程Ax2＋By2＝C中，只要A、B、C同号，且A≠B就是椭圆方程；
(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式．
【复习要求】
掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用
【例题分析】
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点；
(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；
(3)以边长为4的正△ABC的顶点B、C为焦点，经过顶点A．
解：(1)化简椭圆方程4x2＋9y2＝36，得，所以其焦点在x轴上，
故可设所求椭圆方程为，且c2＝a2－b2，
由题意，c2＝9－4＝5，所以a2－b2＝5， ①
因为点(3，－2)在椭圆上，所以 ②
由①②，解得a2＝15，b2＝10，所以所求椭圆方程为
(2)当焦点在x轴上时，设所求的椭圆方程为，
由题意，得，解得．所以焦点在x轴上的椭圆方程为，
同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为，因此，所求的椭圆方程为和
(3)以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
设所求的椭圆方程为，由椭圆的定义，
得|BC|＝2c，｜AB|＋｜AC｜＝2a，即2c＝4，2a＝8，
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为
同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为因此，所求的椭圆方程为和
【评析】求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设椭圆的标准方程(要注意标准方程有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆C的方程为
(1)求实数m的取值范围；
(2)若椭圆C的离心率为，求实数m的值．
解：(1)由椭圆的方程知m－2＞0且m－2≠8，所以m∈(2，10)∪(10，＋∞)．
(2)当2＜m＜10时，椭圆C的焦点在x轴上，
此时a2＝8，b2＝m－2，c2＝a2－b2＝10－m，
所以，解得m＝8；
当m＞10时，椭圆C的焦点在y轴上，
此时a2＝m－2，b2＝8，c2＝a2－b2＝m－10，所以，解得
综上，可得m＝8或
【评析】这是一个含有参数的问题．曲线表示椭圆的充要条件是；
表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是；表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是.
例3在平面直角坐标系xOy中，A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足，设动点P的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)若C上有一点M满足∠AMB＝30°，求△MAB的面积．
解：(1)由椭圆定义，得动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，
设轨迹C的方程为，则a＝5，c＝3，
所以轨迹C的方程为
(2)在△MAB中，由余弦定理，
得|AB|2＝|MA|2＋|MB｜2－2|MA|·|MB｜cos∠AMB，
即36＝|MA|2＋|MB|2－|MA｜·|MB｜
＝(｜MA|＋｜MB|)2－2｜MA|·｜MB|－|MA｜·｜MB｜，
因为｜MA|＋｜MB|＝10，
所以36＝100－2|MA｜·｜MB|－|MA｜·|MB｜，
解得|MA|·|MB|＝64(2－)，
所以△MAB的面积
[评析]要关注圆锥曲线定义在求曲线方程和“焦点三角形”(如本题中的△MAB)中的应用．
例4 如图8－6－1，已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线为l，垂足B，l交MA于点P．则
图8－6－1
(1)点B曲轨迹方程是______；
(2)点P的轨迹方程是______．
解：(1)如图8－6－2，在△AMN中，
图8－6－2
因为｜AB｜＝｜BN｜，｜OM｜＝｜ON|，所以
所以点B在以O为圆心，半径为3的圆上，即其轨迹方程为x2＋y2＝9．
(2)如图8－6－2，因为PB为线段AN的垂直平分线，所以|PA｜＝|PN｜，
所以｜PM|＋|PN|＝｜PM|＋｜PA|＝6，
由椭圆定义，得点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为
【评析】①要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合＝等．
②在求轨迹方程、研究圆锥曲线性质时，常常要结合圆锥曲线的定义、基本性质．
例5 已知直线l：y＝x＋1与椭圆相交于A、B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求｜AB｜．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消去y得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，，
因为点A、B在直线y＝x＋1上，所以y1＝1，，
所以交点A(0，1)，，所以(1)AB的中点坐标为；
(2)
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标．如直线或曲线的方程中含有参数，联立它们的方程可以得到交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例6 已知椭圆过点M(0，1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
(1)若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
(2)设点，求的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以，解得y1＝－1，
又因为点A(x1，y1)在椭圆C上，所以，即，解得
则点A的坐标为或，
所以直线l的方程为，或．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以＝（x1＋x2,y1＋y2－1)，
则
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝0，A(0，2)，B(0，－2)，此时
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
所以＝(2k)2＋12(4＋k2)＝16k2＋48＞0，
则
所以
当k＝0时，等号成立，即此时取得最大值1．
综上，当直线AB的方程为x＝0或y＝1时，有最大值1．
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－6
一、选择题
1．已知F(c，0)是椭圆的右焦点，设b＝c，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．2
2．如果方程x2＋my2＝2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
3．已知椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上一点，且｜F1F2｜是|PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
4．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上任一点，记△PF1F2的内切圆为⊙M，则点P到⊙M的切线长为( )
A． B．2 C．4 D．
二、填空题
5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______．
6．在平面a 内，有一条线段｜AB｜＝4，P为a 内一个动点，满足｜PA｜＋｜PB｜＝6．设M为AB的中点，则｜PM｜的最大值为______，最小值为______．
7．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，则当时，点P的横坐标的取值范围是______．
8．设F为椭圆的右焦点，A(4，4)，点P为椭圆C上任意一点，则｜PF｜－｜PA｜的最大值为______．
三、解答题
9．已知△ABC的两个顶点为B(－2，0)，C(2，0)，周长为12．
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)若直线与点A的轨迹交于M，N两点，求△BMN的面积．
10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的－点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值．
11．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，A(0，5)，求｜PA｜的最值．
§8－7 双曲线
【知识要点】
1．双曲线定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2｜叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)：
标准方程
图形
性
质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
｜F1F2｜＝2c，(其中c2＝a2＋b2，c＞0)
范围
｜x｜≥a，y∈R
｜y｜≥a，x∈R
对称
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
【复习要求】
了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．
【例题分析】
例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为
解：(1)当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为
由题意，得，解得,
所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为
同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为
因此所求的双曲线方程为或
(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为
由题意，得，解得，所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为＝1．
同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为
因此所求的双曲线方程为或
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当l ＞0时，由题意得，解得，此时双曲线方程为
当l ＜0时，由题意得，解得l ＝－1，此时双曲线方程为
因此所求的双曲线方程为或
【评析】(1)求双曲线的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设双曲线的标准方程(要注意标准方程可能有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．
(2)已知渐近线方程为时，可借助于共渐近线双曲线系方程来求双曲线的标准方程．
例2 设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且则的||值等于______．
解：因为所以则
由双曲线定义，知
所以
所以
例3 如图8－7－1，从双曲线的左焦点F1引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|TF1|＝_______；｜MO|－｜MT|_______．
图8－7－1
解：连接OT，设此双曲线的实半轴、虚半轴，半焦距的长分别为a，b，c，
则｜OF1｜＝c，｜OT｜＝a，
又OT⊥F1T，所以
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2｜MF1｜，2｜MO｜＝｜PF2｜，
所以｜MF1｜－｜MO｜＝a，即｜MT｜＋｜TF1｜－｜MO｜＝a，
则｜MO｜－｜MT｜＝｜TF1｜－a＝2．
【评析】①圆锥曲线的定义反映了它的本质属性，灵活巧妙地利用它可简捷地解决一些问题．②要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合一等．
例4 已知点和，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2．记点C的轨迹为W．
(1)求轨迹W的方程；
(2)设W与直线y＝x－2交于两点D，E，求线段DE的长度．
解：(1)设C(x，y)，则｜｜CA｜－｜CB｜｜＝2，
所以点C的轨迹W为双曲线
且2a＝2，2c＝｜AB｜＝，则a＝1，b2＝c2－a2＝2，
所以轨迹W的方程为
(2)由，得x2＋4x－6＝0，
因为＞0，所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，
故
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标，或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例5 如图8－7－2，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
图8－7－2
(1)求轨迹W的方程；
(2)设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．
解：(1)因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M(x，y)，由题意，得A(x，x)，B(x，－x)
所以｜AM｜＝x－y，｜MB｜＝y＋x，
因为｜AM｜·｜MB｜＝3，
所以(x－y)×(y＋x)＝3，即
所以点M的轨迹W的方程为(x≥1)．
(2)设M(x，y)，则
因为点M在，所以y2＝3x2－3，
所以
若，即m＜4，则当x＝1时，|MP｜min＝｜m－1|，
若，即m≥4，则当时，
所以，｜PM｜的最小值
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；
②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－7
一、选择题
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A． B． C． D．
2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )
A．a B．b C． D．
4．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．设F1、F2为双曲线的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F1F2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．
6．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的方程______．
7．设双曲线x2＋my2＝1的离心率e＞2，则实数m的取值范围是______．
8．设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若｜PF1｜：｜PF2｜＝3∶2，则△PF1F2的面积为______．
三、解答题
9．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
10．如图8－7－3，已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．
图8－7－3
(1)求双曲线C的方程；
(2)当k＝1时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为
11．设A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?
§8－8 抛物线
【知识要点】
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：
3．几点注意
(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．
(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．
(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．
【复习要求】
了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
轴
关于x轴对称
关于y轴对称
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
【例题分析】
例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；
(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．
解：(1)由于点A(2，－4)在第四象限，且坐标轴为对称轴，
所以设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
将A点的坐标代入，分别得p＝4或
所以所求的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y．
(2)方法一：设动点P(x，y)，
所以点P到直线l：x＝－6的距离为d＝｜x＋6｜，
由题意得｜PF｜＝d－2，即
当x＞－6时，上式化为，即y2＝16x；
当x≤－6时，上式化为，
因为
所以符合的点P不存在．
所以动点P的轨迹方程为y2＝16x．
方法二：由图象易分析出点P不可能在y轴左侧(在此略)，
设直线l1：x＝－4，则y轴右侧的点P到直线l1的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，
由题意，P到点F(4，0)的距离等于它到直线l1：x＝－4的距离，
根据抛物线的定义，知动点P的轨迹方程为y2＝16x．
【评析】求圆锥曲线的方程时，要注意：①其标准方程的不唯一性；②灵活使用圆锥曲线的定义常常可以使问题简化．
例2 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．
(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；
(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；
(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．
(1)解：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为
由抛物线的定义，知｜PF｜等于P到准线的距离，所以
(2)证明：由(1)知
所以2｜PF｜＝2m＋p，｜P1F｜＋｜P2F｜＝x1＋x2＋p，
因为2m＝x1＋x2，
所以2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜．
(3)结论：以AB为直径的圆与y轴相交，理由如下：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB的中点为M
由(1)知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝xA＋xB＋p，
所以以AB为直径的圆的半径为
因为AB的中点M到y轴的距离为
所以以AB为直径的圆与y轴相交．
【评析】求抛物线的焦点弦长，利用定义比利用弦长公式更为简便．即：已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与C相交于两点A，B．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则有｜AB|＝xA＋xB＋p．
例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．
解：(1)由抛物线定义知：抛物线C的准线方程为x＝－1．
因为抛物线方程为标准方程，所以，即p＝2，
所以抛物线C的标准方程是y2＝4x．
(2)设直线PQ：y－2＝k(x－3)或x＝3(舍去)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
解方程组，
消去y，得k2x2－(6k2－4k＋4)x＋(3k－2)2＝0，
由题意k≠0，得
＝(6k2－4k＋4)2－4×k2×(3k－2)2＞0 (*)
因为线段PQ的中点坐标为(3，2)，所以
解得k＝1，验证知(*)成立．
所以x1＋x2＝6，x1·x2＝1，
所以
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标，或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例4 已知抛物线C：y2＝4x，设B(3，0)，对C上的动点M，求｜BM｜的最小值．
【分析】建立距离的目标函数，转化为研究函数的最值问题．
解：设动点M的坐标为(x0，y0)，
∴
∵＝4x0，
∴
∵x0≥0，
∴当x0＝1时，
即M的坐标为(1，±2)时，｜BM｜取到最小值
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－8
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4
2．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝4ax2的焦点坐标为( )
A．(a，0) B．(0，a) C． D．随a的符号而定
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A． B． C． D．3
4．过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
二、填空题
5．抛物线x2＝－4y的焦点坐标是______，准线方程是______．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点坐标是______．
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是______．
8．以抛物线y2＝8x上一点A为圆心，经过坐标原点O，且与直线x＋2＝0相切的圆的方程是______．
三、解答题
9．给定直线l：y＝2x－16，抛物线C：y2＝ax(a＞0)．
(1)当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；
(2)若△ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x＋y－40＝0，求△ABC的重心的坐标．
10．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F且斜率为1的直线l与C相交A、B两点，求以AB为直径的圆的方程．
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直y轴于点B，设OB的中点为M．
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
§8－9 圆锥曲线综合问题
【知识要点】
1．在圆锥曲线的综合问题中，要关注数学思想与方法的渗透．
(1)数形结合思想不是简单的画图，而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系．
(2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部，它只是方程思想的一个重要形式．
2．直线与圆锥曲线．
设直线Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线f(x，y)＝0相交于点A(xA，yA)，B(xB，yB)．
将直线Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线f(x，y)＝0联立，得方程组，
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，记为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
(1)应用判别式，则有①＞0有两个实数解(有两个交点)；
②＝0有一个实数解(有一个交点)；
③＜0没有实数解(没有交点)．
对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时，还应注意到形的问题．
(2)应用韦达定理，可得
在研究中点、弦长等问题时，利用韦达定理常可以使问题得到解决．
3．会求简单的轨迹方程问题．
4．关注解析几何与数列、向量等知识的综合，注意把握它们的内在联系．
【例题分析】
例1 (1)平面内的直线l与双曲线最多有______个交点；
(2)若平面内与y不平行的直线l与双曲线不相交，则直线l的斜率k的取值范围是
解：(1)设直线l：Ax＋By＋C＝0．
则交点满足方程组，消去y，得关于x的方程，记为mx2＋nx＋r＝0，
上述方程最多有两个解x1，x2(x1≠x2)，代入直线l：Ax＋By＋C＝0，得两个交点，
所以直线l与双曲线最多有两个交点．
(2)方法一：设直线l：y＝kx＋b，
由，消去y，得(9－16k2)x2－32kbx－16b2－144＝0，
因为直线l与双曲线不相交，
所以＝(32kb)2＋4(9－16k2)(16b2＋144)＜0，
化简，得，所以，即
故直线l的斜率k的取值范围是
方法二：数形结合可以得到
【评析】研究两个曲线的交点个数问题，可以用判别式，也可以用数形结合方法．
例2 已知两定点M(－1，0)、N(1，0)，直线l：y＝－2x＋3，在l上满足｜PM｜＋｜PN|＝4的点P有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】若设P(x，y)，利用试图解出点P的坐标，会发觉相当困难．如观察到|PM｜＋|PN｜＝4的几何意义，此题迎刃而解．
解：因为定点M(－1，0)、N(1，0)，且｜PM|＋｜PN|＝4，
所以点P在焦距为2，长轴长为4的椭圆上，即在椭圆上，
因为直线l：y＝－2x＋3过点，且点Q为椭圆内一点，
所以直线l与椭圆C有两个交点，
即在l上满足｜PM|＋｜PN|＝4的点P有2个，选C．
【评析】数形结合思想是解析几何综合题常用的数学思想方法，利用它可以使问题得到简化，使用它时要关注圆锥曲线定义及性质的应用．
例3 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直线AB的方程．
解：因为椭圆的左焦点F(－1，0)，所以设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则
∵线段AB的中点N在直线x＋y＝0上，
∴，解得k＝0，或．
当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x＋y＝0上．
∴直线AB的方程是y＝0，或x－2y＋1＝0．
【评析】利用直线与圆锥曲线联立，可以解决一些与弦中点、弦长有关的综合问题．
例4 已知双曲线C：3x2－y2＝1，过点M(0，－1)的直线l与双曲线C交于A、B两点．
(1)若，求直线l的方程；
(2)若点A、B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)设直线l：y＝kx－1或x＝0(舍去)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，
联立
消去y，得(3－k2)x2＋2kx－2＝0．
由题意，得3－k2≠0，＝(2k)2－4·(3－k2)·(－2)＝24－4k2＞0，
且
所以
.
即
解得k＝±1，或
验证知3－k2≠0且＞0，
所以直线l的方程为：y＝±x－1，或
(2)由A、B在y轴的同－侧，得，
解得k∈(－，－)∪(，)．
【评析】在研究直线与双曲线的交点个数问题时，除了考虑判别式外，还应该注意到交点位置．一般地，如果联立消去y后，得到关于x的方程为ax2＋bx＋c＝0，那么
①当直线与双曲线有两个交点时，则
②当直线与双曲线左支有两个交点时，则
③当直线与双曲线右支有两个交点时，则
④当直线与双曲线左右两支各交一点时，则
⑤当直线与双曲线有一个交点时，则(即直线与双曲线相切)或a＝0(即直线与渐近线平行)；
⑥当直线与双曲线无交点时，则．
例5 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2，0)，且离心率
(1)求椭圆的方程(用l 表示)；
(2)若存在过点A(1，0)的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求l 的取值范围．
解：(1)因为且c＝2，所以a＝ ，所以椭圆方程为
(2)设点F关于直线l的对称点M(x0，y0)，
设l：y＝k(x－1)，
由点M在椭圆上，得 ①
由FM⊥l，得 ②
由FM的中点在对称轴l上，得 ③
将③代入①②，消y0得 ④
⑤
将⑤代入④，消k得 ⑥
由＝4l 2－16l (l －4)≥0，解得
验证知⑥存在根
所以
【评析】方程思想是解决圆锥曲线综合问题的一种重要的思想方法，但直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部．
例6 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
(1)当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
【分析】建立面积的目标函数，将问题转化为研究函数的最值问题．
解：(1)由题意，得直线BD的方程为y＝x＋1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n．
由，得4x2－6nx＋3n2－4＝0．
因为A，C在椭圆上，所以＝－12n2＋64＞0，解得
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则.
所以所以AC的中点坐标为
由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，
所以解得n＝－2．
所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0．
(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以｜AB｜＝｜BC｜＝｜CA｜．所以菱形ABCD的面积
由(1)可得
所以
所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值
【评析】要关注函数思想在圆锥曲线综合题中的应用．
例7 如图8－9－2，设离心率为e的双曲线的右焦点为F，斜率为k的直线过点F，且与双曲线右支、y轴及双曲线左支的交点依次为P、Q、R．O为坐标原点．
图8－9－2
(1)试比较e2与1＋k2的大小；
(2)若ek＝2，且，求双曲线C的方程．
解：(1)设过右焦点F(c，0)(c＞0)且斜率为k的直线为y＝k(x－c)，P(x1，y1)，R(x2，y2)，
解方程组，消去y，
得(b2－a2k2)x2＋2ca2k2x－(a2c2k2＋a2b2)＝0，
∵直线与双曲线C的两支分别交于点P、R，
∴b2－a2k2≠0，且
∵a2c2k2＋a2b2＞0，∴b2－a2k2＞0，
∴c2－a2－a2k2＞0，即.
(2)设Q(0，yQ)，代入y＝k(x－c)，
得，∵
∴(c，0)＋(0，－kc)＝2(x1，y1)
∴即
把点P的坐标代入双曲线C的方程，得
即c2(c2－a2)－a2k2c2＝4a2(c2－a2)，化简得e4－5e2－k2e2＋4＝0，
∵ek＝2，∴e4－5e2＝0，解得
∵，解得
∵，∴a＝1，b＝2，
故双曲线C的方程为
【评析】要关注解析几何与其他知识的综合，掌握其内在联系．
练习8－9
一、选择题
1．设椭圆的离心率为，右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，则此椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
2．双曲线x2－y2＝4的两条渐近线与直线x＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
A． B． C． D．
3．设斜率为1的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，则使｜AB｜为整数的直线l共有( )
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，1) B． C． D．
二、填空题
5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝______．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为______．
7．在△ABC中，∠A＝90°，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝______．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于______．
三、解答题
9．如图8－9－2，在以点O为圆心，｜AB｜＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足｜｜MA｜－｜MB｜｜为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
图8－9－2
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)设过点D且斜率为的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．求△OEF的面积．
10．抛物线y＝ax2－1上总有关于直线x＋y＝0对称的两点，求a的取值范围．
11．已知椭圆，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
(1)若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
(2)设P为椭圆上一点，且(O为坐标原点)．求当时．实数l 的取值范围．
习题8
一、选择题
1．直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为( )
A． B． C．y＝3x－3 D．y＝－3x
2．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．设变量x，y满足约束条件：，则 z＝x－3y的最小值( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A． B．3 C． D．
5．设双曲线的左焦点F，P为C上任意一点．若M为线段FP的中点，则动点M的轨迹是( )
A．焦距为的双曲线
B．焦距为的双曲线
C．焦距为的双曲线
D．两条抛物线
二、填空题
6．已知双曲线的离心率是．则n＝______．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．
8．将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是______，若过点(3，0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为______．
9．如图8－1，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是______．
图8－1
10．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于______．
三、解答题
11．设直线l过点A(－1，3)，且和直线3x＋4y－12＝0平行．
(1)求直线l的方程；
(2)若点B(a，1)到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．
12．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，动圆M与y轴相切，又与圆C外切．
(1)若圆M过点A(4，4)，求圆M的方程；
(2)求动圆圆心的轨迹方程．
13．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若，求k的值．
14．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)若m＝1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)若存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，求实数m的取值范围．
专题08 解析几何参考答案
练习8－1 直角坐标系
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．B
二、填空题
5．｛1，－5}，{x｜x≥1，或x≤－5｝ 6．(－10，－1) 7． 8．(3，4，2)，
三、解答题
9．证明：如图，以点A为坐标原点，AB为x轴，向右为正方向，过A作AB的垂线为y轴，向上为正方向．
设AB＝a，点D(m，n)，则B(a，0)，C(m＋a，n)，
所以AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝
＝，
又AC2＋BD2＝
所以AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．
10．证明：因为｜AC｜＝
｜BC｜＝
所以｜AC｜＝｜BC｜，则△ABC为等腰三角形．
11．解：如图，设P为x轴上任一点，点A关于x轴的对称点为A＇，
则A＇(1，－3)，
因为｜AP｜＝｜A＇P｜，
所以｜AP｜＋｜BP｜＝｜A＇P｜＋｜BP｜≥｜A＇B｜(当且仅当P为AB与x轴的交点时取等号)，
因为｜A＇B｜＝所以｜AP｜＋｜BP｜的最小值为
练习8－2 直线的方程
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．C
二、填空题
5．2 6．7x＋24y－96＝0或x＝0 7．9 8．
三、解答题
9．(1)解：点A到直线2x＋3y－2＝0的距离d即为｜PA｜的最小值．
所以，
(2)解：因为｜PA｜＝｜PB｜，所以P点在AB的垂直平分线l上，
AB的中点为(0，－1)，，所以
故AB的垂直平分线
又点P在直线2x＋3y－2＝0上，所以，解方程组，得P(4，－2)．
10．解：设直线l为：y＝kx＋1或x＝0(舍)，
设直线l与l1，l2分别相交于点A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由，解得
由，解得
因为P(0，1)是AB的中点，则，解得
故所求直线方程为即x＋4y－4＝0．
11．解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有
即整理得x2＋y2－6x＋1＝0．①
因为点N到PM的距离为1，｜MN｜＝2，
所以∠PMN＝30°，则直线PM的斜率为直线PM的方程为
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．
解得
代入②式得点P的坐标为或
或．
直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x＋1．
练习8－3 简单的线性规划问题
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．B
二、填空题
5．4 6． 7．［0，10］ 8．3
三、解答题
9．．
10．解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x、y万元，
由题意知
目标函数为z＝x＋0.5y，
上述不等式组表示的平面区域如右图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，容易解得M(4，6)，此时z取到最大值1×4＋0.5×6＝7．
答：投资人用4万元投资甲项目，用6万元投资乙项目，才能确保在可能的资金亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
11．(1)解：区域如图所示．
(2)由上述区域，可得｜a｜＞1．
练习8－4 圆的方程
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．B
二、填空题
5．3 6． 7．3 8．a≥2
三、解答题
9．(1)x＋y＝0；(2)．
10．解：设所求圆的圆心D(a，b)，半径为r．
则D到x轴，y轴的距离分别为｜b｜，｜a｜，
由题设知圆D截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆D截x轴所得弦长为
故r2＝2b2，
由圆D截y轴所得弦长为2，得r2＝a2＋1，
由题意，得，解得或
所以，所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．
11．解：圆C的圆心C(1，2)，半径为5，
设点C到直线l的距离为d，l被圆C截得的线段的长度z，
则，即z2＝100－4d2，
因为直线l：mx＋y＋m＝0恒过定点P(－1，0)，所以
所以
当且仅当时，上式取等号．此时PC⊥l，因为
所以kl＝－1，l的方程为x＋y＋1＝0，
故当直线l的方程为x＋y＋1＝0时，l被圆C截得的线段的长度最短，且为．
练习8－5 曲线与方程
一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．D
二、填空题
5．(2，5)，(5，2) 6．x2＋xy－2y＝0 7．或
8．
三、解答题
9．解：两圆的一般方程分别是C1：x2＋y2－4x－4y－1＝0，C2：x2＋y2－16＝0，
由题意，设圆C的方程为(x2＋y2－4x－4 y－1)＋l (x2＋y2－16)＝0，
因为圆C过点(7，7)，
所以(72＋72－4×7－4×7－1)＋l (72＋72－16)＝0，解得，
所以圆C的方程为，
即圆C：x2＋y2－8x－8y＋14＝0．
10．解：设点P(x，y)，B(x0，y0)，
由题知
则2(x－x0，y－y0)＝(3－x，1－y)
所以，
因为B(x0，y0)为曲线C上一点
所以
故点P的轨迹方程3y2－2x－2y＋1＝0．
11．解：设P、Q点坐标分别为(1，t)，(x，y)，
∵，得x＋ty＝0 ①
∵得x2＋y2＝t2＋1 ②
由①得将其代入②，得
∵得y＝±1．
∴动点Q的轨迹为y＝±1，为两条平行线．
练习8－6 椭圆
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．B
二、填空题
5． 6． 7． 8．
三、解答题
9．解：(1)顶点A的轨迹方程为
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则M，N是方程组的解，
解得或，所以
所以
又点B(－2，0)到直线MN：的距离为
所以△BMN的面积为
10．解：由已知，得
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，
即｜PF1｜2＝(6－｜PF1｜)2＋20，
得，故
若∠F1PF2为直角，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2，
即20＝｜PF1｜2＋(6－｜PF1｜)2，
解得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，故
综上，的值为或2．
11．解：设P(x，y)，则
因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，
则
因为－7≤y≤7，
所以，当y＝－5时，当y＝7时，｜PA｜min＝2．
练习8－7 双曲线
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．C
二、填空题
5． 6． 7． 8． 12
三、解答题
9．解：如图，设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，则
解得，所以
在直角△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜，
由双曲线定义可知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF2｜＝2a．
因为所以，即b2＝2a2，所以,
故所求双曲线的渐近线方程为
10．解：(1)设
因为点A＇与点A关于直线y＝x对称，所以，则
设双曲线的渐近线方程为y＝kx，
由题意点A到y＝kx的距离为1，即，解得k＝±1，
所以渐近线方程为y＝±x，
易得双曲线C的方程为
(2)设是双曲线C上到直线的距离为的点，由点到直线距离公式有
解得，y＝2，即
11．解：(1)依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，
代入，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的根，
所以2－k2≠0，且
由N(1，2)是AB的中点，得
所以k(2－k)＝2－k2，
解得k＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1．
(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出x1＝－1，x2＝3，
由y＝x＋1得y1＝0，y2＝4，
即A、B的坐标分别为(－1，0)和(3，4)，
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，
即CD：y＝3－x，
代入双曲线方程，整理得x2＋6x－11＝0 ②
记C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，
则x3、x4是方程②的两个根，所以x3＋x4＝－6，x3x4＝－11．
从而，y0＝3－x0＝6即M(－3，6)．
所以．
又
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．
练习8－8 抛物线
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．D
二、填空题
5．(0，－1)，y＝1 6．(3，2) 7．32 8．
三、解答题
9．解：(1)因为抛物线C：y2＝ax的焦点在x轴上，
所以在直线y＝2x－16上令y＝0，得x＝8，
所以抛物线的焦点为(8，0)，则a＝32．
故抛物线的方程为y2＝32x．
(2)由题意，得A(2，8)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
点B，C满足方程组，消去y，
得x2－22x＋100＝0，则＝84＞0，x1＋x2＝22，
所以y1＋y2＝(40－4x1)＋(40－4x2)＝－8，
故△ABC的重心为，即重心为(8，0)．
10．解法一：由题意，得F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M的坐标为M(x0，y0)，
则，
故点
所以
故圆心为M(3，2)，直径|AB|＝
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
解法二：由题意，得F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M的坐标为M(x0，y0)，
因为＝62－4＝32＞0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以，故圆心为M(3，2)，
由抛物线定义，得
所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝8(其中p＝2)．
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
11．解：(1)因为抛物线y2＝2px的准线为，所以，则p＝2．
所以抛物线方程为y2＝4x．
(2)由题意，得点A坐标是(4，4)，B(0，4)，M(0，2)，
又因为F(1，0)，所以，则
则FA的方程为MN的方程为
解方程组，得，所以N的坐标
练习8－9 圆锥曲线综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．C
二、填空题
5．－1 6． 7． 8．2
三、解答题
9．(1)以O为原点．AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，向右向上分别为正方向建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，
依题意，得
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2．
∴曲线C的方程为
(2)解：依题意，直线l的方程为，
代入双曲线C的方程并整理得
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1，x2＝6，
于是
而原点O到直线l的距离
∴
10．设A、B关于x＋y＝0对称，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB直线方程为y＝x＋b，
由，消去y，得ax2－x－b－1＝0，
所以
＝1＋4a(b＋1)＞0，
因为，
因为AB的中点(x中，y中)在直线x＋y＝0上，则
即代入
解得.
11．(1)解：设A(x1，y1)，
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以
又因为点A(x1，y1)在椭圆C上
所以，即，解得，
则点A的坐标为或，
所以直线l的方程为或
(2)解：设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，
当AB的方程为x＝0时，，与题意不符．
当AB的方程为y＝kx＋3时：
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以＝(6k)2－20(4＋k2)＞0，即k2＞5，
则
因为
所以，解得
所以5＜k2＜8．
因为，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝l (x3，y3)，
所以当l ＝0时，由，得
上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在；
当l ≠0时，
因为点P(x3，y3)在椭圆上，
所以，化简得
因为5＜k2＜8，所以3＜l2＜4，则l ∈
综上，实数l 的取值范围为
习题8
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B
二、填空题
6．4 7． 8． 9． 10．4 a
三、解答题
11．解：(1)因为直线3x＋4y－12＝0的斜率，又直线l过点A(－1，3)，
所以l的方程为，即3x＋4y－9＝0．
(2)由点到直线距离公式，得即｜3a－5｜＜10，解得
所以实数a的取值范围是
12．答：(1)圆M的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4．
(2)x，y满足的方程为y2＝8x或y＝0(x＜0)．
13．略解：(1)曲线C的方程为
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
则＝(2k2)＋12(k2＋4)＞0，故
因为，所以(x1，y1)·(x2，y2)＝0，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是
化简得－4k2＋1＝0，所以
14．解：(1)由题意，得M(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)，
则x1＝3＋，x2＝3－，y1＝x1－1＝2＋，y2＝x2－1＝2－，
故点A(3＋，2＋)，B(3－，2－)，所以
故圆心为P(3，2)，直径
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
(2)设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以 ①
因为点A，B在抛物线C上，所以 ②
由①②，消去x2，y1，y2得l x1＝m．
若此直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，则｜OM｜2＝｜MB｜·
｜AM｜，
即｜OM｜2＝l ｜AM｜·｜AM｜，所以
因为，所以
整理得 ③
因为存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，
所以关于x1的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为m2＞0，所以只可能有两个正根，
所以，解得m≥4．
故当m≥4时，存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列．
平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．
在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．
§8－1 直角坐标系
【知识要点】
1．数轴上的基本公式
设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称x2－x1叫做向量的坐标或数量，即数量AB＝x2－x1；数轴上两点A，B的距离公式是
d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．
2．平面直角坐标系中的基本公式
设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是
A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是
3．空间直角坐标系
在空间直角坐标系O－xyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是
【复习要求】
1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．
2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．
【例题分析】
例1 解下列方程或不等式：
(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．
略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，
则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，
图8－1－1
所以，原方程的解为x＝4或x＝2．
(2)与(1)类似，如图8－1－2，
图8－1－2
则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，
所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．
(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，
将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，
得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．
【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．
例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．
图8－1－3
设AB＝a，AD＝b，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，
设P(x，y)，
则
＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．
例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，－1)，B(2，0，2)．
(1)求A，B两点的距离；
(2)在x轴上求一点P，使｜PA|＝｜PB|；
(3)设M为xOy平面内的一点，若|MA｜＝｜MB｜，求M点的轨迹方程．
解：(1)由两点间的距离公式，得
(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得
，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P(1，0，0)．
(3)设M(x，y，0)，则有
整理可得x－2y－1＝0．
所以，M点的轨迹方程为x－2y－1＝0．
【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．
练习8－1
一、选择题
1．数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，－1，－5，则AC＋CB等于( )
A．－4 B．4 C．－12 D．12
2．若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中x∈R)，则向量的数量的最小值为( )
A． B．0 C． D．
3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz平面的对称点是( )
A．(1，－2，－3) B．(1，2，3) C．(－1，－2，3) D．(－1，2，3)
4．已知平面直角坐标内有三点A(－2，5)，B(1，－4)，P(x，y)，且｜AP|＝｜BP|，则实数x，y满足的方程为( )
A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
二、填空题
5．方程｜x＋2｜＝3的解是______；不等式｜x＋3｜≥2的解为______．
6．点A(2，3)关于点B(－4，1)的对称点为______．
7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4的解为______．
8．如图8－1－4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|DD1|＝2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是______，点M的坐标是______，M关于点B1的对称点为______．
图8－1－4
三、解答题
9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．
10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．
11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．
§8－2 直线的方程
【知识要点】
1．直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
2．直线的倾斜角和斜率
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角a 的取值范围是0°≤a ＜180°．
我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线y＝kx＋b上任意两点，其中x1≠x2，则斜率
倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为a 的直线的斜率k＝tana (a ≠90°)．
3．直线方程的几种形式
点斜式：y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：y＝kx＋b；
两点式：
一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
4．两条直线相交、平行与重合的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1与l2相交A1B2－A2B1≠0或
(2)l1与l2平行
(3)l1与l2重合
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则
l1与l2相交k1≠k2；
l1∥l2k1＝k2，b1≠b2；
l1与l2重合k1＝k2，b1＝b2．
5．两条直线垂直的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2A1A2＋B1 B2＝0．
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2k1k2＝－1．
6．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d的计算公式
【复习要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
【例题分析】
例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；
(2)设A(2，3)，B(－3，2)，C(－1，－1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为______．
略解：(1)直线可以化简为
所以此直线的斜率为，倾斜角
(2)如图8－2－1，设直线AC的倾斜角为a ，
图8－2－1
因为此直线的斜率为，所以
设直线BC的倾斜角为b ，因为此直线的斜率为
所以
因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角q 满足a ≤q ≤b ，
由正切函数图象，得tanq ≥tana 或tanq≤tanb，
故l斜率k的取值范围为．
【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：
①已知直线的倾斜角a，当a≠90°时，k＝tana；
②已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，k＝；
③已知直线的方程Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，k＝．
(2)已知直线的斜率k求倾斜角a 时，要注意当k>0时，a ＝arctank；当k<0时，a ＝p－arctan|k|．
例2 根据下列条件求直线方程：
(1)过点A(2，3)，且在两坐标轴上截距相等；
(2)过点P(－2，1)，且点Q(－1，－2)到直线的距离为1．
解：(1)设所求直线方程为y－3＝k(x－2)，或x＝2(舍)，
令y＝0，得x＝2－(k≠0)；令x＝0，得y＝3－2k，
由题意，得2－＝3－2k，解得k＝或k＝－1，
所以，所求直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0；
(2)设所求直线方程为y－1＝k(x＋2)或x＝－2，
当直线为y－1＝k(x＋2)，即kx—y＋(2k＋1)＝0时，
由点Q(－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得，
所以，直线，即4x＋3y＋5＝0符合题意；
当直线为x＝－2时，检验知其符合题意．
所以，所求直线方程为4x＋3y＋5＝0或x＝－2．
【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．
例3 已知直线l1：(m－2)x＋(m＋2)y＋1＝0，l2：(m2－4)x—my－3＝0，
(1)若l1∥l2，求实数m的值；
(2)若l1⊥l2，求实数m的值．
解法一：(1)因为l1∥l2，所以(m－2)(－m)＝(m＋2)(m2－4)，
解得m＝2或m＝－1或m＝－4，
验证知两直线不重合，
所以m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；
(2)因为l1⊥l2，所以(m－2)(m2－4)＋(－m)(m＋2)＝0，
解得m＝－2或m＝1或m＝4．
解法二：当l1斜率不存在，即m＝－2时，代入直线方程，知l1⊥l2；
当l2斜率不存在，即m＝0时，代入直线方程，知l1与l2既不平行又不垂直；
当l1，l2斜率存在，即m≠0，m≠－2时，
可求l1，l2，如的斜率分别为k1＝－，k2＝，截距b1＝－，b2＝，
若l1∥l2，由k1＝k2，b1≠b2，解得m＝2或m＝－1或m＝－4，
若l1⊥l2，由k1k2＝－1，解得m＝1或m＝4
综上，(1)当m＝2或m＝－1或m＝－4时，l1∥l2；
(2)当m＝－2或m＝1或m＝4时，l1⊥l2．
【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注意正确使用．
例4 已知直线l过两直线l1：3x－y－1＝0与l2：x＋y－3＝0的交点，且点A(3，3)和B(5，2)到l的距离相等，求直线l的方程．
【分析】所求直线l有两种情况：一是l与AB平行；二是点A，B在l的两侧，此时l过线段AB的中点．
解：解方程组得交点(1，2)，
由题意，当①l与AB平行；或②l过A，B的中点时．可以使得点A，B到l的距离相等．
①当l∥AB时，因为，此时，即x＋2y－5＝0；
②当l过AB的中点时，因为AB的中点坐标为所以
即l：x－6y＋11＝0．
综上，所求的直线l的方程为x＋2y－5＝0或l：x－6y＋11＝0．
例5 已知直线l1：y＝kx＋2k与l2：x＋y＝5的交点在第一象限，求实数k的取值范围．
解法一：解方程组，得交点
由题意，得，解得
解法二：如图8－2－2，由l1：y＝k(x＋2)，知l1过定点P(－2，0)，
图8－2－2
由l2：x＋y＝5，知l2坐标轴相交于点A(0，5)，B(5，0)，
因为
由题意，得
【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．
例6 如图8－2－3，过点P(4，4)的直线l与直线l1：y＝4x相交于点A(在第一象限)，与x轴正半轴相交于点B，求△ABO面积的最小值．
图8－2－3
解：设B(a，0)，则
将y＝4x代入直线l的方程，
得点A的坐标为
则△ABO的面积
所以当a＝6时，△ABO的面积S取到最小值24．
练习8－2
一、选择题
1．若直线l的倾斜角的正弦为，则l的斜率k是( )
A． B． C．或 D．或
2．点P(a＋b，ab)在第二象限内，则bx＋ay－ab＝0直线不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则l的倾角的取值范围( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1∥l2，则a＝_______．
6．已知点A(3，0)，B(0，4)，则过点B且与A的距离为3的直线方程为_______．
7．若点P(3，4)，Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则a＋2b＝_______．
8．若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)，(ab≠0)共线，则的值等于_______．
三、解答题
9．已知点P在直线2x＋3y－2＝0上，点A(1，3)，B(－1，－5)．
(1)求｜PA｜的最小值；
(2)若|PA|＝|PB|，求点P坐标．
10．若直线l夹在两条直线l1：x－3y＋10＝0与l2：2x＋y－8＝0之间的线段恰好被点P(0，1)平分，求直线l的方程．
11．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．
§8－3 简单的线性规划问题
【知识要点】
1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．
(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．
(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．
(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：
①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．
②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．
2．简单线性规划
(1)基本概念
目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．
约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．
线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．
线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．
线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．
最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．
可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解．
可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．
(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：
①分析并将已知数据列出表格；
②确定线性约束条件；
③确定线性目标函数；
④画出可行域；
⑤利用线性目标函数，求出最优解；
⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．
【复习要求】
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．
【例题分析】
例1 (1)若点(3，1)在直线3x－2y＋a＝0的上方，则实数a的取值范围是______；
(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则实数a的取值范围是______．
解：(1)将直线化为
由题意，得，解得a＜－7．
(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，
则(3×3－2＋a)[3×(－4)－12＋a]＜0，即(a＋7)(a－24)＜0，
所以，实数a的取值范围是(－7，24)．
例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；
图8－3－1
(2)如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a，b)表示的平面区域．
略解：(1)
(2)由题意，得b2－4a2＞0，即(2a＋b)(2a－b)＜0，
所以或，点(a，b)表示的平面区域如图8－3－2．
图8－3－2
【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．
例3 已知x，y满足求：
(1)z1＝x＋y的最大值；
(2)z2＝x－y的最大值；
(3)z3＝x2＋y2的最小值；
(4)的取值范围(x≠1)．
略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．
图8－3－3
易求得M(2，3)，A(1，0)，B(0，2)．
(1)作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z1有最大值5；
(2)作直线x－y＝0，通过平移，知在A点，z2有最大值1；
(3)作圆x2＋y2＝r2，显然当圆与直线2x＋y－2＝0相切时，r2有最小值，即z3有最小值
(4)可看作(1，0)与(x，y)两点连线的斜率，所以z4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z的几何意义．z的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．
例4 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须
满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是( )
(A)80 (B)85 (C)90 (D)95
略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x，y)的可行域．
如图8－3－4．
图8－3－4
作直线x＋y＝0，通过平移，知在M点，z＝10x＋10y有最大值，易得
又由题意，知x，y∈N，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z取最大值，
所以，zmax＝10×5＋10×4＝90，选C．
【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．
例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?
解：设此工厂每日需甲种原料x吨，乙种原料y吨，则可得产品z＝90x＋100y(千克)．
由题意，得
上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
图8－3－5
作直线l：90x＋100y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线2x＋3y＝12和5x＋4y＝20的交点，容易解得M，此时z取到最大值
答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品．
例6 设函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4．
(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；
(2)试利用(1)所得的区域，求f(－2)的取值范围．
解：(1)∵f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，
∴即
如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．
图8－3－6
(2)目标函数f(－2)＝4a－2b．
在平面直角坐标系aOb中，作直线l：4a－2b＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．
这里B点是直线a－b＝2和a＋b＝4的交点，容易解得B(3，1)，
此时f(－2)取到最大值4×3－2×1＝10．
同理，其中有一条直线经过可行域上的C点，此时目标函数达到最小值．这里C点是直线a－b＝1和a＋b＝2的交点，容易解得
此时f(－2)取到最小值
所以5≤f(－2)≤10．
【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．
练习8－3
一、选择题
1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是 ( )
A．a＜0或a＞2 B．a＝0或a＝2 C．0＜a＜2 D．0≤a≤2
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值是( )
A．－1 B．1 C．2 D．－2
3．已知x和y是正整数，且满足约束条件则z＝2x＋3y的最小值是( )
A．24 B．14 C．13 D．11.5
4．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O沿正东偏北a 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但a 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S，则S可以用不等式组表示为( )
图8－3－7
A． B．
C． D．
二、填空题
5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．
6．若实数x、y满足，则的取值范围是______．
7．点P(x，y)在直线4x＋3y＝0上，且满足－14≤x－y≤7，则点P到坐标原点距离的取值范围是______．
8．若当实数x，y满足时，z＝x＋3y的最小值为－6，则实数a等于______．
三、解答题
9．如果点P在平面区域内，点Q(2，2)，求|PQ|的最小值．
10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％(
)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?
11．设a，b∈R，且b(a＋b＋1)＜0，b(a＋b－1)＜0．
(1)在平面直角坐标系aOb中，画出点(a，b)所表示的区域；
(2)试利用(1)所得的区域，指出a的取值范围．
§8－4 圆的方程
【知识要点】
1．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中点(a，b)为圆心，r为半径．
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，其中圆心为，半径为
2．点和圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆的圆心距离为d，则
d＞r点在圆外；
d＝r点在圆上；
d＜r点在圆内．
3．直线与圆的位置关系
(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y，得关于x的一元二次方程，则
＞0方程组有两解直线和圆相交；
＝0方程组有一解直线和圆相切；
＜0方程组无解直线和圆相离．
(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d，设圆的半径为r，则
d＜r直线和圆相交；
d＝r直线和圆相切；
d＞r直线和圆相离．
4．圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R≥r)，两圆的圆心距为d(d＞0)，则
d＞R＋r两圆相离；
d＝R＋r两圆外切；
R－r＜d＜R＋r两圆相交；
d＝R－r两圆内切；
d＜R－r两圆内含．
【复习要求】
1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题．
【例题分析】
例1根据下列条件，求圆的方程：
(1)一条直径的端点是A(3，2)，B(－4，1)；
(2)经过两点A(1，－1)和B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上；
(3)经过两点A(4，2)和B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．
【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．
解：(1)由题意圆心为AB的中点M，即，
因为
所以圆的半径
所以，所求圆的方程为
(2)方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则
，解得
所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB的垂直平分线上．易得AB的垂直平分线为y＝x．
由题意，解方程组，得圆心C为(1，1)，
于是，半径r＝｜AC|＝2，
所以，所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
(3)设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
因为圆过点A，B，所以
4D＋2E＋F＋20＝0，①
－D＋3E＋F＋10＝0，②
在圆的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则x1＋x2＝－D．
在圆的方程中，令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则y1＋y2＝－E．
由题意，得－D＋(－E)＝2，③
解①②③，得D＝－2，E＝0，F＝－12，
所以，所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．
【评析】①以A(x1，y1)，B(x2，y2)为一直径端点的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．
例2 (1)点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)上，求过点P的圆的切线方程；
(2)若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)内，判断直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系．
解：(1)方法一：因为切线l与半径OP垂直，又可求出直线OP的斜率，所以可得切线l的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．
方法二：设Q(x，y)为所求切线上任一点，则，即(x－a，y－b)·(a，b)＝0．
整理得ax＋by＝a2＋b2，
又因为P在圆上，所以a2＋b2＝r2，
故所求的切线方程为ax＋by＝r2．
(2)由已知，得a2＋b2＜r2，
则圆心O(0，0)到直线ax＋by＝r2的距离
所以此直线与圆C相离．
【评析】随着点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝r2的位置关系的变化，直线l：ax＋by＝r2与圆C的位置关系也在变化．①当点P在圆C上时，直线l与圆C相切；②当点P在圆C内时，直线l与圆C相离；③当点P在圆外时，直线l与圆C相交．
例3 已知点A(a，3)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4．
(1)设a＝3，求过点A且与圆C相切的直线方程；
(2)设a＝4，直线l过点A且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程；
(3)设a＝2，直线l1过点A，求l1被圆C截得的线段的最短长度，并求此时l1的方程．
解：(1)如图8－4－1，此时A(3，3)，
图8－4－1
设切线为y－3＝k(x－3)或x＝3，
验证知x＝3符合题意；
当切线为y－3＝k(x－3)，即kx－y－3k＋3＝0时，
圆心(1，2)到切线的距离
解得
所以，切线方程为3x＋4y－21＝0或x＝3．
(2)如图8－4－2，此时A(4，3)，
图8－4－2
设直线l为y－3＝k(x－4)或x＝4(舍)，
设弦PQ的中点为M，则｜CP|＝r＝2，
所以，即圆心到直线l的距离为1，
于是，解得k＝0或，
所以，直线l的方程为或y＝3．
(3)如图8－4－3，此时A(2，3)，设所截得的线段为DE，圆心到直线l1的距离为d，
图8－4－3
则，即
因为直线l1过点A，
所以圆心到直线l1的距离为d≤|CA｜＝
故当d＝时，，
此时AC⊥l1，因为
所以＝－1，
故直线l1方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0．
【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；
(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt△CMP中，有｜CM|2＋｜MP|2＝｜CP｜2，CM⊥MP等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt△ABC．
例4 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求证：不论m取何值，直线l与圆C恒交于两点．
【分析】要证明直线l与圆C恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l恒过圆内一定点，那么直线l与圆C显然有两个交点．
解：因为直线l：mx＋y＋m＝0可化为y＝－m(x＋1)，
所以直线l恒过点A(－1，0)，
又圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5，
且点A到圆C的圆心的距离等于
所以点A为圆C内一点，则直线l恒过圆内一点A，
所以直线l与圆C恒交于两点．
例5 四边形ABCD的顶点A(4，3)，B(0，5)，C(－3，－4)，DO为坐标原点．
(1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由；
(2)记△ABC的外接圆为W，过W上的点E(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)作圆W的切线l，设l与x轴、y轴的正半轴分别交于点P、Q，求△OPQ面积的最小值．
【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．
解：(1)设△ABC的外接圆为W，圆心M(a，b)，半径为r(r＞0)．
则W为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2．
由题意，得，解得，所以W：x2＋y2＝25．
将点D的坐标代入W的方程，适合．
所以点D在△ABC的外接圆W上，
故四边形ABCD有外接圆，且外接圆的方程为x2＋y2＝25．
(2)设切线l的斜率为k，直线ME(即OE)的斜率为k1，
∵圆的切线l垂直于过切点的半径，∴
∴切线，整理得而，
∵点E(x0，y0)在圆W上，即，∴切线l：x0x＋y0y＝25．
在l的方程中，令x＝0，得，同理
∴△OPQ的面积
∵，(其中x0＞0，y0＞0)
∴当且仅当时，等号成立．
即当时，△OPQ的面积有最小值25．
练习8－4
一、选择题
1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A． B． C．1 D．5
3．若直线与圆x2＋y2＝1有公共点，则( )
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 C． D．
4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( )
A．(x＋4)2＋(y－2)2＝5 B．(x－4)2＋(y－4)2＝5
C．(x＋4)2＋(y＋4)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝5
二、填空题
5．由点P(－1，4)向圆x2＋y2－4x－6y＋12＝0所引的切线长是______．
6．若半径为1的圆分别与y轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有______个．
8．若不等式x2＋2x＋a≥－y2－2y对任意的实数x、y都成立，则实数a的取值范围是______．
三、解答题
9．已知直线l：x－y＋2＝0与圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点．
(1)当a＝－2时，求弦AB的垂直平分线方程；
(2)当l被圆C截得弦长为时，求a的值．
10．已知圆满足以下三个条件：①截y轴所得的弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为．求该圆的方程．
11．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：mx＋y＋m＝0．求直线l被圆C截得的线段的最短长度，以及此时l的方程．
§8－5 曲线与方程
【知识要点】
1．轨迹方程
一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．
2．曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．
那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
3．曲线的交点
已知两条曲线C1和C2的方程分别是F(x，y)＝0，G(x，y)＝0，那么求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．
【复习要求】
1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想．
2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质．
【例题分析】
例1 已知点A(－1，0)，B(2，0)，动点P到点A的距离与它到点B的距离之比为2，求动点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，则，即
化简得x2＋y2－6x＋5＝0，所以动点P的轨迹方程为x2＋y2－6x＋5＝0．
【评析】动点轨迹法是求轨迹方程的重要方法，其一般步骤是：①建立平面直角坐标系；②设所求动点的坐标为(x，y)；③找出动点满足的几何关系；④几何关系代数化，并将其化简；⑤检验以方程的解为坐标的点是否都在所求轨迹上．
例2 已知P为抛物线y＝x2＋1上一动点，A(2，3)，P关于A的对称点为点P′，求动点P′的轨迹方程．
解：设P '(x，y)，P(x0，y0)，由题意，得
所以x0＝4－x，y0＝6－y，
因为点P(x0，y0)在抛物线y＝x2＋1上，所以6－y＝(4－x)2＋1，
即动点P '的轨迹方程为y＝－(x－4)2＋5．
例3 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x2＋y2＝1，动点M到圆C的切线长与|MQ｜的比等于常数2．求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：如图8－5－1，设直线MN切圆于N，
图8－5－1
则动点M组成的集合是：P＝{M｜｜MN｜＝2｜MQ|}，
因为圆的半径｜ON|＝1，所以｜MN|2＝｜MO|2－｜ON|2＝｜MO|2－1．
设点M的坐标为(x，y)，则
整理得3x2＋3y2－16x＋17＝0，化简得
即动M的轨迹方程为它是以为圆心，以径的圆．
【评析】求轨迹方程的方法有多种，常见的有：动点轨迹法，相关点法，几何法等．但不论用何种方法求轨迹方程，其最终是要找出所求动点的横纵坐标x，y满足的方程．
例4 已知曲线C：｜xy|＝1．
(1)画出曲线C的图象，并研究其对称性；
(2)讨论圆x2＋y2＝r2(r＞0)与C的交点情况．
解：(1)图象如图8－5－2．图象关于x轴、y轴、原点、直线y＝x，直线y＝－x都对称．
图8－5－2
(2)由，得x4－r2x2＋1＝0，则＝r4－4，
当＝r4－4＜0，即0＜r＜时，圆与曲线C无交点；
当＝r4－4＝0，即r＝时，结合图象对称性，得圆与曲线C有四点；
当＝r4－4＞0，即r＞时，结合图象对称性，得圆与曲线C有八点．
【评析】利用方程思想可以研究图象交点的个数，但有时较复杂，若能结合图象常常可以使问题得到简化．
练习8－5
一、选择题
1．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．｜x|－y＝0 D．｜x｜－|y|＝0
2．下列方程的曲线关于x＝0对称的是( )
A．x2－x＋y2＝1 B．x2－y2＝1 C．x－y＝1 D．x2y＋xy2＝1
3．已知等腰△ABC的底边两端点的坐标分别为B(4，0)，C(0，－4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．y＝x B．y＝x(x≠2) C．y＝－x D．y＝－x(x≠2)
4．直线y＝2k与曲线9k2x2＋y2＝18k2|x|(k∈R，k≠0)的公共点的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．曲线x＋y－7＝0与xy＝10的交点坐标是______．
6．曲线(x－2)2＋x(y－2)＝0关于点A(1，1)的对称曲线方程是______．
7．与直线和直线y＝4距离相等的点的轨迹方程为______．
8．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是______．
三、解答题
9．已知两圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝9，C2：x2＋y2＝16．圆C过圆C1，C2的两个交点，且过点(7，7)，求圆C的方程．
10．已知曲线C：y2＝x＋1，定点A(3，1)，B为曲线C上任一点，点P在线段AB上且有｜BP｜∶｜PA｜＝1∶2，当B在曲线C上运动时，求点P的轨迹方程．
11．设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，求动点Q的轨迹方程．
§8－6 椭 圆
【知识要点】
1．椭圆定义：平面内与两定点F1，F2的距离之和等于定长(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离｜F1F2｜叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程和几何性质(如下表所示)：
标准方程
图形
性
质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
｜F1F2｜＝2c，(其中c2＝a2－b2，c＞0)
范围
｜x｜≤a，｜y｜≤b
｜x｜≤b，｜y｜≤a
对称
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(±a，0)，(0，±b)
(0，±a)，(±b，0)
轴
长轴长2a，短轴长2b
离心率
3．对于椭圆的两种标准方程应注意如下几点：
(1)在两种标准方程中，总有a＞b＞0；
(2)椭圆的焦点总在长轴上；
(3)在方程Ax2＋By2＝C中，只要A、B、C同号，且A≠B就是椭圆方程；
(4)在求椭圆的标准方程时，如果明确了焦点所在的坐标轴，方程只有一种形式；如果不明确焦点所在的坐标轴，方程有两种形式．
【复习要求】
掌握椭圆的定义，标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆性质的初步应用
【例题分析】
例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点；
(2)长轴与短轴长之和为20，焦距为；
(3)以边长为4的正△ABC的顶点B、C为焦点，经过顶点A．
解：(1)化简椭圆方程4x2＋9y2＝36，得，所以其焦点在x轴上，
故可设所求椭圆方程为，且c2＝a2－b2，
由题意，c2＝9－4＝5，所以a2－b2＝5， ①
因为点(3，－2)在椭圆上，所以 ②
由①②，解得a2＝15，b2＝10，所以所求椭圆方程为
(2)当焦点在x轴上时，设所求的椭圆方程为，
由题意，得，解得．所以焦点在x轴上的椭圆方程为，
同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为，因此，所求的椭圆方程为和
(3)以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
设所求的椭圆方程为，由椭圆的定义，
得|BC|＝2c，｜AB|＋｜AC｜＝2a，即2c＝4，2a＝8，
因为a2＝b2＋c2，所以b2＝a2－c2＝12，所以椭圆的方程为
同理，可求焦点在y轴上的椭圆方程为因此，所求的椭圆方程为和
【评析】求椭圆的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设椭圆的标准方程(要注意标准方程有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆C的方程为
(1)求实数m的取值范围；
(2)若椭圆C的离心率为，求实数m的值．
解：(1)由椭圆的方程知m－2＞0且m－2≠8，所以m∈(2，10)∪(10，＋∞)．
(2)当2＜m＜10时，椭圆C的焦点在x轴上，
此时a2＝8，b2＝m－2，c2＝a2－b2＝10－m，
所以，解得m＝8；
当m＞10时，椭圆C的焦点在y轴上，
此时a2＝m－2，b2＝8，c2＝a2－b2＝m－10，所以，解得
综上，可得m＝8或
【评析】这是一个含有参数的问题．曲线表示椭圆的充要条件是；
表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是；表示焦点在y轴上的椭圆的充要条件是.
例3在平面直角坐标系xOy中，A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足，设动点P的轨迹为C．
(1)求轨迹C的方程；
(2)若C上有一点M满足∠AMB＝30°，求△MAB的面积．
解：(1)由椭圆定义，得动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，
设轨迹C的方程为，则a＝5，c＝3，
所以轨迹C的方程为
(2)在△MAB中，由余弦定理，
得|AB|2＝|MA|2＋|MB｜2－2|MA|·|MB｜cos∠AMB，
即36＝|MA|2＋|MB|2－|MA｜·|MB｜
＝(｜MA|＋｜MB|)2－2｜MA|·｜MB|－|MA｜·｜MB｜，
因为｜MA|＋｜MB|＝10，
所以36＝100－2|MA｜·｜MB|－|MA｜·|MB｜，
解得|MA|·|MB|＝64(2－)，
所以△MAB的面积
[评析]要关注圆锥曲线定义在求曲线方程和“焦点三角形”(如本题中的△MAB)中的应用．
例4 如图8－6－1，已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线为l，垂足B，l交MA于点P．则
图8－6－1
(1)点B曲轨迹方程是______；
(2)点P的轨迹方程是______．
解：(1)如图8－6－2，在△AMN中，
图8－6－2
因为｜AB｜＝｜BN｜，｜OM｜＝｜ON|，所以
所以点B在以O为圆心，半径为3的圆上，即其轨迹方程为x2＋y2＝9．
(2)如图8－6－2，因为PB为线段AN的垂直平分线，所以|PA｜＝|PN｜，
所以｜PM|＋|PN|＝｜PM|＋｜PA|＝6，
由椭圆定义，得点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为6的椭圆，其轨迹方程为
【评析】①要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合＝等．
②在求轨迹方程、研究圆锥曲线性质时，常常要结合圆锥曲线的定义、基本性质．
例5 已知直线l：y＝x＋1与椭圆相交于A、B两点．
(1)求AB的中点坐标；
(2)求｜AB｜．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，消去y得3x2＋4x＝0，解得x1＝0，，
因为点A、B在直线y＝x＋1上，所以y1＝1，，
所以交点A(0，1)，，所以(1)AB的中点坐标为；
(2)
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标．如直线或曲线的方程中含有参数，联立它们的方程可以得到交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例6 已知椭圆过点M(0，1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
(1)若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程；
(2)设点，求的最大值．
解：(1)设A(x1，y1)，
因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，
所以，解得y1＝－1，
又因为点A(x1，y1)在椭圆C上，所以，即，解得
则点A的坐标为或，
所以直线l的方程为，或．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
所以＝（x1＋x2,y1＋y2－1)，
则
当直线AB的斜率不存在时，其方程为x＝0，A(0，2)，B(0，－2)，此时
当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋1，
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，
所以＝(2k)2＋12(4＋k2)＝16k2＋48＞0，
则
所以
当k＝0时，等号成立，即此时取得最大值1．
综上，当直线AB的方程为x＝0或y＝1时，有最大值1．
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－6
一、选择题
1．已知F(c，0)是椭圆的右焦点，设b＝c，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．2
2．如果方程x2＋my2＝2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2) C．(1，＋∞) D．(0，1)
3．已知椭圆的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上一点，且｜F1F2｜是|PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则该椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
4．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆C上任一点，记△PF1F2的内切圆为⊙M，则点P到⊙M的切线长为( )
A． B．2 C．4 D．
二、填空题
5．长轴长为4，短轴长为2，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为______．
6．在平面a 内，有一条线段｜AB｜＝4，P为a 内一个动点，满足｜PA｜＋｜PB｜＝6．设M为AB的中点，则｜PM｜的最大值为______，最小值为______．
7．椭圆的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，则当时，点P的横坐标的取值范围是______．
8．设F为椭圆的右焦点，A(4，4)，点P为椭圆C上任意一点，则｜PF｜－｜PA｜的最大值为______．
三、解答题
9．已知△ABC的两个顶点为B(－2，0)，C(2，0)，周长为12．
(1)求顶点A的轨迹方程；
(2)若直线与点A的轨迹交于M，N两点，求△BMN的面积．
10．设F1、F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的－点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值．
11．已知点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，A(0，5)，求｜PA｜的最值．
§8－7 双曲线
【知识要点】
1．双曲线定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2｜)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离|F1F2｜叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和几何性质(如下表所示)：
标准方程
图形
性
质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
｜F1F2｜＝2c，(其中c2＝a2＋b2，c＞0)
范围
｜x｜≥a，y∈R
｜y｜≥a，x∈R
对称
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a，0)，(a，0)
(0，－a)，(0，a)
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
【复习要求】
了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．
【例题分析】
例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)顶点间的距离为6，渐近线方程为
解：(1)当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为
由题意，得，解得,
所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为
同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为
因此所求的双曲线方程为或
(2)方法一：当焦点在x轴上时，设所求的双曲线方程为
由题意，得，解得，所以焦点在x轴上时，双曲线的方程为＝1．
同理，可求得当焦点在y轴上时双曲线的方程为
因此所求的双曲线方程为或
方法二：设以为渐近线的双曲线的方程为
当l ＞0时，由题意得，解得，此时双曲线方程为
当l ＜0时，由题意得，解得l ＝－1，此时双曲线方程为
因此所求的双曲线方程为或
【评析】(1)求双曲线的标准方程，常用方法是待定系数法，其一般步骤是：①根据焦点所在位置设双曲线的标准方程(要注意标准方程可能有两个)；②由已知条件求出待定的系数a、b；③将求得的系数a、b代入所设方程，即得所求双曲线的标准方程．
(2)已知渐近线方程为时，可借助于共渐近线双曲线系方程来求双曲线的标准方程．
例2 设F1，F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且则的||值等于______．
解：因为所以则
由双曲线定义，知
所以
所以
例3 如图8－7－1，从双曲线的左焦点F1引圆x2＋y2＝9的切线，切点为T，延长F1T交双曲线右支于P点．设M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|TF1|＝_______；｜MO|－｜MT|_______．
图8－7－1
解：连接OT，设此双曲线的实半轴、虚半轴，半焦距的长分别为a，b，c，
则｜OF1｜＝c，｜OT｜＝a，
又OT⊥F1T，所以
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜PF1｜＝2｜MF1｜，2｜MO｜＝｜PF2｜，
所以｜MF1｜－｜MO｜＝a，即｜MT｜＋｜TF1｜－｜MO｜＝a，
则｜MO｜－｜MT｜＝｜TF1｜－a＝2．
【评析】①圆锥曲线的定义反映了它的本质属性，灵活巧妙地利用它可简捷地解决一些问题．②要关注数形结合思想．数形结合思想不仅仅是画图，还要在图中标出及利用平面几何知识找出线线间的位置和数量关系，常用的初中平面几何知识有：中垂线性质、三角形中位线性质、等腰三角形三线合一等．
例4 已知点和，动点C到A，B两点的距离之差的绝对值为2．记点C的轨迹为W．
(1)求轨迹W的方程；
(2)设W与直线y＝x－2交于两点D，E，求线段DE的长度．
解：(1)设C(x，y)，则｜｜CA｜－｜CB｜｜＝2，
所以点C的轨迹W为双曲线
且2a＝2，2c＝｜AB｜＝，则a＝1，b2＝c2－a2＝2，
所以轨迹W的方程为
(2)由，得x2＋4x－6＝0，
因为＞0，所以直线与双曲线有两个交点，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝－4，x1x2＝－6，
故
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标，或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例5 如图8－7－2，△AOB的顶点A在射线l：上，A，B两点关于x轴对称，O为坐标原点，且线段AB上有一点M满足｜AM|·｜MB｜＝3．当点A在l上移动时，记点M的轨迹为W．
图8－7－2
(1)求轨迹W的方程；
(2)设P(m，0)为x轴正半轴上一点，求｜PM|的最小值f(m)．
解：(1)因为A，B两点关于x轴对称，
所以AB边所在直线与y轴平行．
设M(x，y)，由题意，得A(x，x)，B(x，－x)
所以｜AM｜＝x－y，｜MB｜＝y＋x，
因为｜AM｜·｜MB｜＝3，
所以(x－y)×(y＋x)＝3，即
所以点M的轨迹W的方程为(x≥1)．
(2)设M(x，y)，则
因为点M在，所以y2＝3x2－3，
所以
若，即m＜4，则当x＝1时，|MP｜min＝｜m－1|，
若，即m≥4，则当时，
所以，｜PM｜的最小值
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；
②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－7
一、选择题
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )
A． B． C． D．
2．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为( )
A．2 B． C． D．
3．已知双曲线，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )
A．a B．b C． D．
4．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若点P在双曲线上，且，则等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．设F1、F2为双曲线的两个焦点，若其实轴的两个顶点将线段F1F2三等分，则此双曲线的渐近线方程为______．
6．与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的方程______．
7．设双曲线x2＋my2＝1的离心率e＞2，则实数m的取值范围是______．
8．设P为双曲线上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若｜PF1｜：｜PF2｜＝3∶2，则△PF1F2的面积为______．
三、解答题
9．已知F1、F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．
10．如图8－7－3，已知双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，双曲线C的一个顶点A′与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．
图8－7－3
(1)求双曲线C的方程；
(2)当k＝1时，在双曲线C的上支上求点B，使其与直线l的距离为
11．设A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．
(1)求直线AB的方程；
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?
§8－8 抛物线
【知识要点】
1．抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质(见下页表所示)：
3．几点注意
(1)p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．
(2)标准方程的左边是二次项，右边是一次项，且二次项的系数为1．通过x，y的范围可以判定抛物线的开口方向．
(3)抛物线的焦点弦具有很多重要性质，且应用广泛．
【复习要求】
了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质，并了解其性质的初步应用．
标准方程
y2＝2px(p＞0)
y2＝－2px(p＞0)
x2＝2py(p＞0)
x2＝－2py(p＞0)
图形
性质
焦点
准线
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
轴
关于x轴对称
关于y轴对称
顶点
(0，0)
离心率
e＝1
【例题分析】
例1 (1)求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点A(2，－4)的抛物线的方程；
(2)平面内一个动点P到点F(4，0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2个单位，求动点P的轨迹方程．
解：(1)由于点A(2，－4)在第四象限，且坐标轴为对称轴，
所以设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，
将A点的坐标代入，分别得p＝4或
所以所求的抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y．
(2)方法一：设动点P(x，y)，
所以点P到直线l：x＝－6的距离为d＝｜x＋6｜，
由题意得｜PF｜＝d－2，即
当x＞－6时，上式化为，即y2＝16x；
当x≤－6时，上式化为，
因为
所以符合的点P不存在．
所以动点P的轨迹方程为y2＝16x．
方法二：由图象易分析出点P不可能在y轴左侧(在此略)，
设直线l1：x＝－4，则y轴右侧的点P到直线l1的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，
由题意，P到点F(4，0)的距离等于它到直线l1：x＝－4的距离，
根据抛物线的定义，知动点P的轨迹方程为y2＝16x．
【评析】求圆锥曲线的方程时，要注意：①其标准方程的不唯一性；②灵活使用圆锥曲线的定义常常可以使问题简化．
例2 已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P(m，n)在抛物线上．
(1)求｜PF｜的值(用m，p表示)；
(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在抛物线上，且2m＝x1＋x2，求证：2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F|；
(3)设过F的直线l与C相交于两点A，B，判断以AB为直径的圆与y轴的位置关系，并说明理由．
(1)解：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为
由抛物线的定义，知｜PF｜等于P到准线的距离，所以
(2)证明：由(1)知
所以2｜PF｜＝2m＋p，｜P1F｜＋｜P2F｜＝x1＋x2＋p，
因为2m＝x1＋x2，
所以2｜PF｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜．
(3)结论：以AB为直径的圆与y轴相交，理由如下：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则AB的中点为M
由(1)知，｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝xA＋xB＋p，
所以以AB为直径的圆的半径为
因为AB的中点M到y轴的距离为
所以以AB为直径的圆与y轴相交．
【评析】求抛物线的焦点弦长，利用定义比利用弦长公式更为简便．即：已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线l与C相交于两点A，B．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则有｜AB|＝xA＋xB＋p．
例3 设F为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点P为抛物线C上一点，若点P到点F的距离等于点P到直线l：x＝－1的距离．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设过点P的直线l1与抛物线C的另一交点为Q点，且线段PQ的中点坐标为(3，2)，求｜PQ｜．
解：(1)由抛物线定义知：抛物线C的准线方程为x＝－1．
因为抛物线方程为标准方程，所以，即p＝2，
所以抛物线C的标准方程是y2＝4x．
(2)设直线PQ：y－2＝k(x－3)或x＝3(舍去)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
解方程组，
消去y，得k2x2－(6k2－4k＋4)x＋(3k－2)2＝0，
由题意k≠0，得
＝(6k2－4k＋4)2－4×k2×(3k－2)2＞0 (*)
因为线段PQ的中点坐标为(3，2)，所以
解得k＝1，验证知(*)成立．
所以x1＋x2＝6，x1·x2＝1，
所以
【评析】方程思想常常是解决圆锥曲线综合问题的关键．通过将直线与曲线的方程联立，可以得到它们的交点坐标，或利用韦达定理得交点横坐标(或纵坐标)满足的关系，这些都为研究圆锥曲线综合问题提供方便．
例4 已知抛物线C：y2＝4x，设B(3，0)，对C上的动点M，求｜BM｜的最小值．
【分析】建立距离的目标函数，转化为研究函数的最值问题．
解：设动点M的坐标为(x0，y0)，
∴
∵＝4x0，
∴
∵x0≥0，
∴当x0＝1时，
即M的坐标为(1，±2)时，｜BM｜取到最小值
【评析】①关注函数思想的应用．构造函数求最值是解析几何中的一种常见方法；②设点而不求点，通过代入化简解决问题是解析几何问题的重要方法和手段．
练习8－8
一、选择题
1．抛物线y2＝8x的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－4 C．y＝－2 D．y＝－4
2．设a≠0，a∈R，则抛物线y＝4ax2的焦点坐标为( )
A．(a，0) B．(0，a) C． D．随a的符号而定
3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是( )
A． B． C． D．3
4．过点(－1，0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为( )
A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
二、填空题
5．抛物线x2＝－4y的焦点坐标是______，准线方程是______．
6．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得线段的中点坐标是______．
7．已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则的最小值是______．
8．以抛物线y2＝8x上一点A为圆心，经过坐标原点O，且与直线x＋2＝0相切的圆的方程是______．
三、解答题
9．给定直线l：y＝2x－16，抛物线C：y2＝ax(a＞0)．
(1)当抛物线C的焦点在直线l上时，确定抛物线C的方程；
(2)若△ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上，且点A的纵坐标为8，直线BC的方程为4x＋y－40＝0，求△ABC的重心的坐标．
10．给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F且斜率为1的直线l与C相交A、B两点，求以AB为直径的圆的方程．
11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直y轴于点B，设OB的中点为M．
(1)求抛物线方程；
(2)过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
§8－9 圆锥曲线综合问题
【知识要点】
1．在圆锥曲线的综合问题中，要关注数学思想与方法的渗透．
(1)数形结合思想不是简单的画图，而应该要分析图形中隐含的量及位置间的关系．
(2)直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部，它只是方程思想的一个重要形式．
2．直线与圆锥曲线．
设直线Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线f(x，y)＝0相交于点A(xA，yA)，B(xB，yB)．
将直线Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线f(x，y)＝0联立，得方程组，
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，记为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，
(1)应用判别式，则有①＞0有两个实数解(有两个交点)；
②＝0有一个实数解(有一个交点)；
③＜0没有实数解(没有交点)．
对于双曲线和抛物线在考虑交点个数时，还应注意到形的问题．
(2)应用韦达定理，可得
在研究中点、弦长等问题时，利用韦达定理常可以使问题得到解决．
3．会求简单的轨迹方程问题．
4．关注解析几何与数列、向量等知识的综合，注意把握它们的内在联系．
【例题分析】
例1 (1)平面内的直线l与双曲线最多有______个交点；
(2)若平面内与y不平行的直线l与双曲线不相交，则直线l的斜率k的取值范围是
解：(1)设直线l：Ax＋By＋C＝0．
则交点满足方程组，消去y，得关于x的方程，记为mx2＋nx＋r＝0，
上述方程最多有两个解x1，x2(x1≠x2)，代入直线l：Ax＋By＋C＝0，得两个交点，
所以直线l与双曲线最多有两个交点．
(2)方法一：设直线l：y＝kx＋b，
由，消去y，得(9－16k2)x2－32kbx－16b2－144＝0，
因为直线l与双曲线不相交，
所以＝(32kb)2＋4(9－16k2)(16b2＋144)＜0，
化简，得，所以，即
故直线l的斜率k的取值范围是
方法二：数形结合可以得到
【评析】研究两个曲线的交点个数问题，可以用判别式，也可以用数形结合方法．
例2 已知两定点M(－1，0)、N(1，0)，直线l：y＝－2x＋3，在l上满足｜PM｜＋｜PN|＝4的点P有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】若设P(x，y)，利用试图解出点P的坐标，会发觉相当困难．如观察到|PM｜＋|PN｜＝4的几何意义，此题迎刃而解．
解：因为定点M(－1，0)、N(1，0)，且｜PM|＋｜PN|＝4，
所以点P在焦距为2，长轴长为4的椭圆上，即在椭圆上，
因为直线l：y＝－2x＋3过点，且点Q为椭圆内一点，
所以直线l与椭圆C有两个交点，
即在l上满足｜PM|＋｜PN|＝4的点P有2个，选C．
【评析】数形结合思想是解析几何综合题常用的数学思想方法，利用它可以使问题得到简化，使用它时要关注圆锥曲线定义及性质的应用．
例3 已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x＋y＝0上，求直线AB的方程．
解：因为椭圆的左焦点F(－1，0)，所以设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
代入，整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0．
∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根，
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点N(x0，y0)，
则
∵线段AB的中点N在直线x＋y＝0上，
∴，解得k＝0，或．
当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x＋y＝0上．
∴直线AB的方程是y＝0，或x－2y＋1＝0．
【评析】利用直线与圆锥曲线联立，可以解决一些与弦中点、弦长有关的综合问题．
例4 已知双曲线C：3x2－y2＝1，过点M(0，－1)的直线l与双曲线C交于A、B两点．
(1)若，求直线l的方程；
(2)若点A、B在y轴的同一侧，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)设直线l：y＝kx－1或x＝0(舍去)，A(x1，y1)、B(x2，y2)，
联立
消去y，得(3－k2)x2＋2kx－2＝0．
由题意，得3－k2≠0，＝(2k)2－4·(3－k2)·(－2)＝24－4k2＞0，
且
所以
.
即
解得k＝±1，或
验证知3－k2≠0且＞0，
所以直线l的方程为：y＝±x－1，或
(2)由A、B在y轴的同－侧，得，
解得k∈(－，－)∪(，)．
【评析】在研究直线与双曲线的交点个数问题时，除了考虑判别式外，还应该注意到交点位置．一般地，如果联立消去y后，得到关于x的方程为ax2＋bx＋c＝0，那么
①当直线与双曲线有两个交点时，则
②当直线与双曲线左支有两个交点时，则
③当直线与双曲线右支有两个交点时，则
④当直线与双曲线左右两支各交一点时，则
⑤当直线与双曲线有一个交点时，则(即直线与双曲线相切)或a＝0(即直线与渐近线平行)；
⑥当直线与双曲线无交点时，则．
例5 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2，0)，且离心率
(1)求椭圆的方程(用l 表示)；
(2)若存在过点A(1，0)的直线l，使点F关于直线l的对称点在椭圆上，求l 的取值范围．
解：(1)因为且c＝2，所以a＝ ，所以椭圆方程为
(2)设点F关于直线l的对称点M(x0，y0)，
设l：y＝k(x－1)，
由点M在椭圆上，得 ①
由FM⊥l，得 ②
由FM的中点在对称轴l上，得 ③
将③代入①②，消y0得 ④
⑤
将⑤代入④，消k得 ⑥
由＝4l 2－16l (l －4)≥0，解得
验证知⑥存在根
所以
【评析】方程思想是解决圆锥曲线综合问题的一种重要的思想方法，但直线与圆锥曲线联立不是方程思想的全部．
例6 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
(1)当直线BD过点(0，1)时，求直线AC的方程；
(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
【分析】建立面积的目标函数，将问题转化为研究函数的最值问题．
解：(1)由题意，得直线BD的方程为y＝x＋1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n．
由，得4x2－6nx＋3n2－4＝0．
因为A，C在椭圆上，所以＝－12n2＋64＞0，解得
设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则.
所以所以AC的中点坐标为
由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y＝x＋1上，
所以解得n＝－2．
所以直线AC的方程为y＝－x－2，即x＋y＋2＝0．
(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以｜AB｜＝｜BC｜＝｜CA｜．所以菱形ABCD的面积
由(1)可得
所以
所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值
【评析】要关注函数思想在圆锥曲线综合题中的应用．
例7 如图8－9－2，设离心率为e的双曲线的右焦点为F，斜率为k的直线过点F，且与双曲线右支、y轴及双曲线左支的交点依次为P、Q、R．O为坐标原点．
图8－9－2
(1)试比较e2与1＋k2的大小；
(2)若ek＝2，且，求双曲线C的方程．
解：(1)设过右焦点F(c，0)(c＞0)且斜率为k的直线为y＝k(x－c)，P(x1，y1)，R(x2，y2)，
解方程组，消去y，
得(b2－a2k2)x2＋2ca2k2x－(a2c2k2＋a2b2)＝0，
∵直线与双曲线C的两支分别交于点P、R，
∴b2－a2k2≠0，且
∵a2c2k2＋a2b2＞0，∴b2－a2k2＞0，
∴c2－a2－a2k2＞0，即.
(2)设Q(0，yQ)，代入y＝k(x－c)，
得，∵
∴(c，0)＋(0，－kc)＝2(x1，y1)
∴即
把点P的坐标代入双曲线C的方程，得
即c2(c2－a2)－a2k2c2＝4a2(c2－a2)，化简得e4－5e2－k2e2＋4＝0，
∵ek＝2，∴e4－5e2＝0，解得
∵，解得
∵，∴a＝1，b＝2，
故双曲线C的方程为
【评析】要关注解析几何与其他知识的综合，掌握其内在联系．
练习8－9
一、选择题
1．设椭圆的离心率为，右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，则此椭圆的方程为( )
A． B． C． D．
2．双曲线x2－y2＝4的两条渐近线与直线x＝3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
A． B． C． D．
3．设斜率为1的直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，则使｜AB｜为整数的直线l共有( )
A．4条 B．5条 C．6条 D．7条
4．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，1) B． C． D．
二、填空题
5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝______．
6．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为______．
7．在△ABC中，∠A＝90°，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝______．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M(2，2)，则△ABF的面积等于______．
三、解答题
9．如图8－9－2，在以点O为圆心，｜AB｜＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足｜｜MA｜－｜MB｜｜为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P．
图8－9－2
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2)设过点D且斜率为的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F．求△OEF的面积．
10．抛物线y＝ax2－1上总有关于直线x＋y＝0对称的两点，求a的取值范围．
11．已知椭圆，过点M(0，3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B．
(1)若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
(2)设P为椭圆上一点，且(O为坐标原点)．求当时．实数l 的取值范围．
习题8
一、选择题
1．直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，所得到的直线为( )
A． B． C．y＝3x－3 D．y＝－3x
2．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为( )
A． B． C． D．
3．设变量x，y满足约束条件：，则 z＝x－3y的最小值( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A． B．3 C． D．
5．设双曲线的左焦点F，P为C上任意一点．若M为线段FP的中点，则动点M的轨迹是( )
A．焦距为的双曲线
B．焦距为的双曲线
C．焦距为的双曲线
D．两条抛物线
二、填空题
6．已知双曲线的离心率是．则n＝______．
7．已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______．
8．将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是______，若过点(3，0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为______．
9．如图8－1，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值是______．
图8－1
10．过抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于______．
三、解答题
11．设直线l过点A(－1，3)，且和直线3x＋4y－12＝0平行．
(1)求直线l的方程；
(2)若点B(a，1)到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围．
12．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，动圆M与y轴相切，又与圆C外切．
(1)若圆M过点A(4，4)，求圆M的方程；
(2)求动圆圆心的轨迹方程．
13．在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与C交于A，B两点．
(1)写出C的方程；
(2)若，求k的值．
14．已知抛物线C：y2＝4x，点M(m，0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
(1)若m＝1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)若存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，求实数m的取值范围．
专题08 解析几何参考答案
练习8－1 直角坐标系
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．B
二、填空题
5．｛1，－5}，{x｜x≥1，或x≤－5｝ 6．(－10，－1) 7． 8．(3，4，2)，
三、解答题
9．证明：如图，以点A为坐标原点，AB为x轴，向右为正方向，过A作AB的垂线为y轴，向上为正方向．
设AB＝a，点D(m，n)，则B(a，0)，C(m＋a，n)，
所以AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝
＝，
又AC2＋BD2＝
所以AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．
10．证明：因为｜AC｜＝
｜BC｜＝
所以｜AC｜＝｜BC｜，则△ABC为等腰三角形．
11．解：如图，设P为x轴上任一点，点A关于x轴的对称点为A＇，
则A＇(1，－3)，
因为｜AP｜＝｜A＇P｜，
所以｜AP｜＋｜BP｜＝｜A＇P｜＋｜BP｜≥｜A＇B｜(当且仅当P为AB与x轴的交点时取等号)，
因为｜A＇B｜＝所以｜AP｜＋｜BP｜的最小值为
练习8－2 直线的方程
一、选择题
1．C 2．A 3．B 4．C
二、填空题
5．2 6．7x＋24y－96＝0或x＝0 7．9 8．
三、解答题
9．(1)解：点A到直线2x＋3y－2＝0的距离d即为｜PA｜的最小值．
所以，
(2)解：因为｜PA｜＝｜PB｜，所以P点在AB的垂直平分线l上，
AB的中点为(0，－1)，，所以
故AB的垂直平分线
又点P在直线2x＋3y－2＝0上，所以，解方程组，得P(4，－2)．
10．解：设直线l为：y＝kx＋1或x＝0(舍)，
设直线l与l1，l2分别相交于点A(xA，yA)，B(xB，yB)，
由，解得
由，解得
因为P(0，1)是AB的中点，则，解得
故所求直线方程为即x＋4y－4＝0．
11．解：设点P的坐标为(x，y)，由题设有
即整理得x2＋y2－6x＋1＝0．①
因为点N到PM的距离为1，｜MN｜＝2，
所以∠PMN＝30°，则直线PM的斜率为直线PM的方程为
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．
解得
代入②式得点P的坐标为或
或．
直线PN的方程为y＝x－1或y＝－x＋1．
练习8－3 简单的线性规划问题
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．B
二、填空题
5．4 6． 7．［0，10］ 8．3
三、解答题
9．．
10．解：设投资人对甲、乙两个项目分别投资x、y万元，
由题意知
目标函数为z＝x＋0.5y，
上述不等式组表示的平面区域如右图所示，阴影部分(含边界)即为可行域．
作直线l：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线l的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点，容易解得M(4，6)，此时z取到最大值1×4＋0.5×6＝7．
答：投资人用4万元投资甲项目，用6万元投资乙项目，才能确保在可能的资金亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
11．(1)解：区域如图所示．
(2)由上述区域，可得｜a｜＞1．
练习8－4 圆的方程
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．B
二、填空题
5．3 6． 7．3 8．a≥2
三、解答题
9．(1)x＋y＝0；(2)．
10．解：设所求圆的圆心D(a，b)，半径为r．
则D到x轴，y轴的距离分别为｜b｜，｜a｜，
由题设知圆D截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，知圆D截x轴所得弦长为
故r2＝2b2，
由圆D截y轴所得弦长为2，得r2＝a2＋1，
由题意，得，解得或
所以，所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．
11．解：圆C的圆心C(1，2)，半径为5，
设点C到直线l的距离为d，l被圆C截得的线段的长度z，
则，即z2＝100－4d2，
因为直线l：mx＋y＋m＝0恒过定点P(－1，0)，所以
所以
当且仅当时，上式取等号．此时PC⊥l，因为
所以kl＝－1，l的方程为x＋y＋1＝0，
故当直线l的方程为x＋y＋1＝0时，l被圆C截得的线段的长度最短，且为．
练习8－5 曲线与方程
一、选择题
1．D 2．B 3．D 4．D
二、填空题
5．(2，5)，(5，2) 6．x2＋xy－2y＝0 7．或
8．
三、解答题
9．解：两圆的一般方程分别是C1：x2＋y2－4x－4y－1＝0，C2：x2＋y2－16＝0，
由题意，设圆C的方程为(x2＋y2－4x－4 y－1)＋l (x2＋y2－16)＝0，
因为圆C过点(7，7)，
所以(72＋72－4×7－4×7－1)＋l (72＋72－16)＝0，解得，
所以圆C的方程为，
即圆C：x2＋y2－8x－8y＋14＝0．
10．解：设点P(x，y)，B(x0，y0)，
由题知
则2(x－x0，y－y0)＝(3－x，1－y)
所以，
因为B(x0，y0)为曲线C上一点
所以
故点P的轨迹方程3y2－2x－2y＋1＝0．
11．解：设P、Q点坐标分别为(1，t)，(x，y)，
∵，得x＋ty＝0 ①
∵得x2＋y2＝t2＋1 ②
由①得将其代入②，得
∵得y＝±1．
∴动点Q的轨迹为y＝±1，为两条平行线．
练习8－6 椭圆
一、选择题
1．B 2．D 3．C 4．B
二、填空题
5． 6． 7． 8．
三、解答题
9．解：(1)顶点A的轨迹方程为
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则M，N是方程组的解，
解得或，所以
所以
又点B(－2，0)到直线MN：的距离为
所以△BMN的面积为
10．解：由已知，得
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，
即｜PF1｜2＝(6－｜PF1｜)2＋20，
得，故
若∠F1PF2为直角，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2，
即20＝｜PF1｜2＋(6－｜PF1｜)2，
解得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，故
综上，的值为或2．
11．解：设P(x，y)，则
因为点P为椭圆x2＋2y2＝98上一点，所以x2＝98－2y2，－7≤y≤7，
则
因为－7≤y≤7，
所以，当y＝－5时，当y＝7时，｜PA｜min＝2．
练习8－7 双曲线
一、选择题
1．A 2．D 3．B 4．C
二、填空题
5． 6． 7． 8． 12
三、解答题
9．解：如图，设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)，则
解得，所以
在直角△PF2F1中，∠PF1F2＝30°，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜，
由双曲线定义可知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，得｜PF2｜＝2a．
因为所以，即b2＝2a2，所以,
故所求双曲线的渐近线方程为
10．解：(1)设
因为点A＇与点A关于直线y＝x对称，所以，则
设双曲线的渐近线方程为y＝kx，
由题意点A到y＝kx的距离为1，即，解得k＝±1，
所以渐近线方程为y＝±x，
易得双曲线C的方程为
(2)设是双曲线C上到直线的距离为的点，由点到直线距离公式有
解得，y＝2，即
11．解：(1)依题意，可设直线AB的方程为y＝k(x－1)＋2，
代入，整理得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0 ①
记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两个不同的根，
所以2－k2≠0，且
由N(1，2)是AB的中点，得
所以k(2－k)＝2－k2，
解得k＝1，所以直线AB的方程为y＝x＋1．
(2)将k＝1代入方程①得x2－2x－3＝0，解出x1＝－1，x2＝3，
由y＝x＋1得y1＝0，y2＝4，
即A、B的坐标分别为(－1，0)和(3，4)，
由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝－(x－1)＋2，
即CD：y＝3－x，
代入双曲线方程，整理得x2＋6x－11＝0 ②
记C(x3，y3)，D(x4，y4)，CD的中点为M(x0，y0)，
则x3、x4是方程②的两个根，所以x3＋x4＝－6，x3x4＝－11．
从而，y0＝3－x0＝6即M(－3，6)．
所以．
又
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆．
练习8－8 抛物线
一、选择题
1．A 2．C 3．A 4．D
二、填空题
5．(0，－1)，y＝1 6．(3，2) 7．32 8．
三、解答题
9．解：(1)因为抛物线C：y2＝ax的焦点在x轴上，
所以在直线y＝2x－16上令y＝0，得x＝8，
所以抛物线的焦点为(8，0)，则a＝32．
故抛物线的方程为y2＝32x．
(2)由题意，得A(2，8)，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
点B，C满足方程组，消去y，
得x2－22x＋100＝0，则＝84＞0，x1＋x2＝22，
所以y1＋y2＝(40－4x1)＋(40－4x2)＝－8，
故△ABC的重心为，即重心为(8，0)．
10．解法一：由题意，得F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M的坐标为M(x0，y0)，
则，
故点
所以
故圆心为M(3，2)，直径|AB|＝
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
解法二：由题意，得F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M的坐标为M(x0，y0)，
因为＝62－4＝32＞0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以，故圆心为M(3，2)，
由抛物线定义，得
所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝8(其中p＝2)．
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
11．解：(1)因为抛物线y2＝2px的准线为，所以，则p＝2．
所以抛物线方程为y2＝4x．
(2)由题意，得点A坐标是(4，4)，B(0，4)，M(0，2)，
又因为F(1，0)，所以，则
则FA的方程为MN的方程为
解方程组，得，所以N的坐标
练习8－9 圆锥曲线综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．C
二、填空题
5．－1 6． 7． 8．2
三、解答题
9．(1)以O为原点．AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，向右向上分别为正方向建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，
依题意，得
∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线．
设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，
则c＝2，，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2．
∴曲线C的方程为
(2)解：依题意，直线l的方程为，
代入双曲线C的方程并整理得
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1，x2＝6，
于是
而原点O到直线l的距离
∴
10．设A、B关于x＋y＝0对称，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB直线方程为y＝x＋b，
由，消去y，得ax2－x－b－1＝0，
所以
＝1＋4a(b＋1)＞0，
因为，
因为AB的中点(x中，y中)在直线x＋y＝0上，则
即代入
解得.
11．(1)解：设A(x1，y1)，
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以
又因为点A(x1，y1)在椭圆C上
所以，即，解得，
则点A的坐标为或，
所以直线l的方程为或
(2)解：设直线AB的方程为y＝kx＋3或x＝0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，
当AB的方程为x＝0时，，与题意不符．
当AB的方程为y＝kx＋3时：
由题设可得A、B的坐标是方程组的解，
消去y得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以＝(6k)2－20(4＋k2)＞0，即k2＞5，
则
因为
所以，解得
所以5＜k2＜8．
因为，即(x1，y1)＋(x2，y2)＝l (x3，y3)，
所以当l ＝0时，由，得
上述方程无解，所以此时符合条件的直线l不存在；
当l ≠0时，
因为点P(x3，y3)在椭圆上，
所以，化简得
因为5＜k2＜8，所以3＜l2＜4，则l ∈
综上，实数l 的取值范围为
习题8
一、选择题
1．A 2．C 3．D 4．A 5．B
二、填空题
6．4 7． 8． 9． 10．4 a
三、解答题
11．解：(1)因为直线3x＋4y－12＝0的斜率，又直线l过点A(－1，3)，
所以l的方程为，即3x＋4y－9＝0．
(2)由点到直线距离公式，得即｜3a－5｜＜10，解得
所以实数a的取值范围是
12．答：(1)圆M的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4．
(2)x，y满足的方程为y2＝8x或y＝0(x＜0)．
13．略解：(1)曲线C的方程为
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
则＝(2k2)＋12(k2＋4)＞0，故
因为，所以(x1，y1)·(x2，y2)＝0，即x1x2＋y1y2＝0．
而y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，
于是
化简得－4k2＋1＝0，所以
14．解：(1)由题意，得M(1，0)，直线l的方程为y＝x－1．
由，得x2－6x＋1＝0，
设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点P的坐标为P(x0，y0)，
则x1＝3＋，x2＝3－，y1＝x1－1＝2＋，y2＝x2－1＝2－，
故点A(3＋，2＋)，B(3－，2－)，所以
故圆心为P(3，2)，直径
所以以AB为直径的圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16．
(2)设A，B两点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以 ①
因为点A，B在抛物线C上，所以 ②
由①②，消去x2，y1，y2得l x1＝m．
若此直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，则｜OM｜2＝｜MB｜·
｜AM｜，
即｜OM｜2＝l ｜AM｜·｜AM｜，所以
因为，所以
整理得 ③
因为存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列，
所以关于x1的方程③有正根，
因为方程③的两根之积为m2＞0，所以只可能有两个正根，
所以，解得m≥4．
故当m≥4时，存在直线l使得｜AM｜，｜OM｜，｜MB｜成等比数列．
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