河北省衡水中学2021届高三第一学期中考试数学试卷（理科）
展开2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1．（5分）集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，N＝{x|2x+a＞0}，U＝R，若M∩∁UN＝∅，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
2．（5分）若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，，则•的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn+3bn﹣1＝4bn2（n≥2）n∈N+，则log2bn＝（ ）
A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n
5．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1
6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2＝2014c2，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2013 D．2014
7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x2+y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx﹣ay＝r2，那么（ ）
A．l⊥m且m与圆C相切 B．l∥m且m与圆C相切
C．l⊥m且m与圆C相离 D．l∥m且m与圆C相离
8．（5分）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0
C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0
9．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•1，点M在边CD上，则•的最大值为（ ）
A．2 B．21 C．5 D．1
10．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．[，] B．[，1） C．[，1] D．[，]
11．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．1 D．1
12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝0；③当x∈[0，2]时．f（x）＝x；④函数f（n）（x）＝f（2n﹣1•x），n∈N*，若过点（﹣1，0）的直线l与函数f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b＝1，△ABC的面积为，则的值为 ．
14．（5分）已知平面上有四点O，A，B，C，向量，，满足：，1，则△ABC的周长是 ．
15．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为 ．
三、解答题：本大题共6题，共70分。17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量（cos，sin），（cos，sin），且满足||．
（1）求角A的大小；
（2）若b+ca，试判断△ABC的形状．
18．（12分）已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y＝2x﹣8相切于点P（4，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y＝kx﹣1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．
19．（12分）（理科）各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2pan2+pan﹣p（p∈R）．
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记bn2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）已知椭圆的离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线y＝kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．
21．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．
22．（12分）设函数．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．
2020-2021学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12个小题，每小题均只有一个正确选项，每小题5分，共60分。
1．（5分）集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，N＝{x|2x+a＞0}，U＝R，若M∩∁UN＝∅，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a≥1 C．a＜1 D．a≤1
【答案】B
2．（5分）若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
3．（5分）在△ABC中，AB＝3，AC＝2，，则•的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2﹣n，正项等比数列{bn}中，b2＝a3，bn+3bn﹣1＝4bn2（n≥2）n∈N+，则log2bn＝（ ）
A．n﹣1 B．2n﹣1 C．n﹣2 D．n
【答案】D
5．（5分）已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为（ ）
A． B．﹣1 C．1或﹣1 D．1
【答案】C
6．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2+b2＝2014c2，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2013 D．2014
【答案】C
7．（5分）已知点M（a，b）（ab≠0）是圆C：x2+y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为bx﹣ay＝r2，那么（ ）
A．l⊥m且m与圆C相切 B．l∥m且m与圆C相切
C．l⊥m且m与圆C相离 D．l∥m且m与圆C相离
【答案】C
8．（5分）若圆x2+y2﹣ax+2y+1＝0与圆x2+y2＝1关于直线y＝x﹣1对称，过点C（﹣a，a）的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为（ ）
A．y2﹣4x+4y+8＝0 B．y2﹣2x﹣2y+2＝0
C．y2+4x﹣4y+8＝0 D．y2﹣2x﹣y﹣1＝0
【答案】C
9．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，•1，点M在边CD上，则•的最大值为（ ）
A．2 B．21 C．5 D．1
【答案】A
10．（5分）已知椭圆1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为（ ）
A．[，] B．[，1） C．[，1] D．[，]
【答案】C
11．（5分）已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．1 D．1
【答案】C
12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足如下条件：①函数f（x）的图象关于y轴对称；②对任意x∈R，f（2+x）﹣f（2﹣x）＝0；③当x∈[0，2]时．f（x）＝x；④函数f（n）（x）＝f（2n﹣1•x），n∈N*，若过点（﹣1，0）的直线l与函数f（4）（x）的图象在[0，2]上恰有8个交点．则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【答案】A
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，b＝1，△ABC的面积为，则的值为 2 ．
【答案】见试题解答内容
14．（5分）已知平面上有四点O，A，B，C，向量，，满足：，1，则△ABC的周长是 3 ．
【答案】见试题解答内容
15．（5分）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ．
【答案】见试题解答内容
16．（5分）已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为 4 ．
【答案】见试题解答内容
三、解答题：本大题共6题，共70分。17题10分，其余大题各12分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量（cos，sin），（cos，sin），且满足||．
（1）求角A的大小；
（2）若b+ca，试判断△ABC的形状．
【答案】见试题解答内容
18．（12分）已知圆C经过原点O（0，0）且与直线y＝2x﹣8相切于点P（4，0）．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）在圆C上是否存在两点M，N关于直线y＝kx﹣1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
19．（12分）（理科）各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，对任意n∈N*，有2Sn＝2pan2+pan﹣p（p∈R）．
（1）求常数p的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）记bn2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【答案】见试题解答内容
20．（12分）已知椭圆的离心率，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如果直线y＝kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上，求k的值．
【答案】见试题解答内容
21．（12分）已知定点F（0，1），定直线l：y＝﹣1，动圆M过点F，且与直线l相切．
（Ⅰ）求动圆M的圆心轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值．
【答案】见试题解答内容
22．（12分）设函数．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）令（0＜x≤3）其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a＝0，b＝﹣1，方程2mf（x）＝x2有唯一实数解，求正数m的值．
【答案】见试题解答内容
