2020年广东省广州市四校联考九年级上册数学试卷 含答案

2020年广东省广州市四校联考九年级上册数学试卷

（满分120分  时间90分钟）

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A．   B．   C．   D．

2．“明天是晴天”这个事件是（　　）

A．确定事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．不确定事件

3．已知⊙O的半径为3cm，P到圆心O的距离为4cm，则点P在⊙O（　　）

A．内部 B．外部 C．圆上 D．不能确定

4．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）

5．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　）

A．开口向下，顶点坐标（2，3） B．开口向上，顶点坐标（2，﹣3） 

C．开口向下，顶点坐标（﹣2，3） D．开口向上，顶点坐标（2，﹣3）

6．如图，BC是⊙O的直径，点A、D在⊙O上，若∠ADC＝48°，则∠ACB的度数为（　　）

A．42° B．48° C．90° D．52°

7．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3

8．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（　　）

A．9 B．3 C． D．

9．设a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，则a2+3a+b的值为（　　）

A．﹣18 B．21 C．﹣20 D．18

10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为（﹣1，0），则下面的四个结论，其中正确的个数为（　　）

①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＜0；③ac＞0；④当y＞0时，﹣1＜x＜4.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．方程x2﹣2x+1＝0的根是　   　．

12．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是　   　．

13．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点M，若AB＝CM＝4，则⊙O的半径为　   　．

14．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为　   　．

15．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为　   　．

16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知铅球推出的距离是　   　m．

17．如图，将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，使得点B′、A、C在同一条直线上，则α等于　   　°．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．（6分）解方程：x+3＝x（x+3）

19．（6分）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°．求∠P的度数．

20．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，有A、B、C、D四个收费通道，假设车辆通过每个收费通道的可能性相同，车辆可随机选择一个通过．

（1）一辆车经过此收费站时，A通道通过的概率为　   　；

（2）两辆车经过此收费站时，用树状图或列表法求选择不同通道通过的概率．

21．（8分）如图，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．

（1）画出△ABC关于原点O中心对称的图形△A1B1C1；

（2）将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AB2C2，画出△AB2C2并求线段AB扫过的面积．

22．（8分）2019年非洲猪瘟疫情暴发后，猪肉价格不断走高，据统计：2019年9月20日猪肉价格比年初上涨了60%，上涨后购买1千克猪肉需要80元．

（1）填空：年初的猪肉价格是每千克　   　元；

（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按80元价格出售，平均一天能销售100千克；经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且让顾客尽可能得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？

23．（8分）如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．

（1）求证：AC为⊙O切线．

（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．

24．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．

（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．

25．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．

（1）如图1，当α＝45°时，求证：OE＝OD；

（2）如图2，当45°＜α＜90°时，（1）OE＝OD还成立吗？请说明理由．

参考答案

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；

D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意．

故选：D．

2．解：“明天是晴天”这个事件是随机事件，属于不确定事件，

故选：D．

3．解：∵⊙O的半径为3cm，点P到圆心O的距离为4cm，4cm＞3cm，

∴点P在圆外．

故选：B．

4．解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．

故选：D．

5．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3中a＝﹣1＜0，

∴抛物线的开口向下，顶点为（2，3）

故选：A．

6．解：∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠ADC＝48°，

∴∠ACB＝90°﹣∠B＝42°；

故选：A．

7．解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．

故选：A．

8．解：设半径为r，

∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，

∴＝3π，

∴r＝，

故选：C．

9．解：∵a，b是方程x2+2x﹣20＝0的两个实数根，

∴a2+2a＝20，

a+b＝﹣2，

∴a2+3a+b

＝a2+2a+a+b

＝20﹣2＝18

则a2+3a+b的值为18．

故选：D．

10．解：点B坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝1，则点A（3，0），

①函数对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2a，故①正确，符合题意；

②x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，正确，符合题意；

③a＜0，c＞0，故ac＜0，故③错误，不符合题意；

④当y＞0时，﹣1＜x＜4，虽然对应的﹣1＜x＜3，但此范围的x也满足﹣1＜x＜4，因此④正确，符合题意；

故选：C．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．解：方程变形得：（x﹣1）2＝0，

解得：x1＝x2＝1．

故答案为：x1＝x2＝1

12．解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，

∴PQ长的最小值＝5﹣3＝2，

故答案为：2．

13．解：连接OA，如图所示：

∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，

∴AM＝AB＝2，∠OMA＝90°，

设OC＝OA＝x，则OM＝4﹣x，

根据勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，

即22+（4﹣x）2＝x2，

解得：x＝2.5；

故答案为：2.5．

14．解：由题意可得，×100%＝20%，

解得，a＝16．

故答案为：16．

15．解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，

根据题意列出方程得：＝45，

故答案是：．

16．解：令函数式y＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，

0＝﹣（x﹣4）2+3，

解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），

即铅球推出的距离是10m．

故答案为：10．

17．解：∵∠B＝30°，BC＝AB，

∴∠BAC＝∠BCA＝75°，

∴∠BAB'＝105°，

∵将一个顶角为30°角的等腰△ABC绕点A顺时针旋转一个角度α（0＜α＜180°）得到△AB'C′，

∴∠BAB'＝α＝105°，

故答案为：105．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．解：方程移项得：（x+3）﹣x（x+3）＝0，

分解因式得：（x+3）（1﹣x）＝0，

解得：x1＝1，x2＝﹣3．

19．解：

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴PA＝PB，

∴∠PAB＝∠PBA，

∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，

∴AC⊥AP，

∴∠CAP＝90°，

∵∠BAC＝25°，

∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣25°＝65°，

∴∠P＝180°﹣∠PAB﹣∠PBA＝180°﹣65°﹣65°＝50°．

20．解：（1）选择A通道通过的概率＝，

故答案为：，

（2）设两辆车为甲，乙，画树状图得：

由树状图可知：两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，

∴选择不同通道通过的概率＝＝．

21．解（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）如图，△AB2C2即为所求．线段AB扫过的面积＝＝

22．解：（1）设今年年初猪肉的价格为每千克x元，

依题意，得：（1+60%）x＝80，

解得：x＝50．

答：今年年初猪肉的价格为每千克50元．

故答案是：50；

（2）设猪肉的售价应该下降y元，则每日可售出（100+10y）千克，

依题意，得：（80﹣65﹣y）（100+10y）＝1560，

整理，得：y2﹣5y+6＝0，

解得：y1＝2，y2＝3．

∵让顾客得到实惠，

∴y＝3．

答：猪肉的售价应该下降3元．

23．（1）证明：连结OA，

∴∠AOE＝2∠F，

∵∠BEF＝2∠F，

∴∠AOE＝∠BEF，

∴AO∥DF，

∵DF⊥AC，

∴OA⊥AC，

∴AC为⊙O切线；

（2）解：连接OF，

∵∠BEF＝2∠F，

∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，

∴∠BAF＝∠BEF＝2α，

∵∠B＝∠AFE＝α，

∴∠BAO＝∠B＝α，

∴∠OAF＝∠BAO＝α，

∵OA＝OF，

∴∠AFO＝∠OAF＝α，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴AB＝AF＝5，

∵DF＝4，

∴AD＝＝3，

∵BE是⊙O的直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠FDA，

∴BE＝，

∴⊙O半径＝．

24．解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，

可得a＝﹣1，b＝5，

∴y＝﹣x2+5x+6；

（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，

则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；

∵C（0，6），

∴C'（5，6），

∴BC'的直线解析式为y＝x+1，

∴M（，）；  

（3）存在5个满足条件的P点；

25．解：（1）由旋转的性质得：AF＝AC，∠AEF＝∠B＝90°，AE＝AB

∴∠FEC＝90°

又∵O为CF的中点，

∴

同理：

∴OE＝OD．

（2）当45°＜α＜90°时，OE＝OD成立，理由如下：

连接CE，DF，如图所示：

在正方形ABCD中，AB＝AD

∴AD＝AE

∵O为CF的中点，

∴OC＝OF

∵AF＝AC

∴∠ACF＝∠AFC

∵∠DAC＝∠EAF

∴∠DAC﹣∠DAE＝∠EAF﹣∠DAE

∴∠EAC＝∠DAF

在△ACE和△AFD中，

∵AF＝AC，∠EAC＝∠DAF，AD＝AE

∴△ACE≌△AFD（SAS）

∴CE＝DF，∠ECA＝∠DFA

又∵∠ACF＝∠AFC

∴∠ACF﹣∠ECA＝∠AFC﹣∠DFA

∴∠ECO＝∠DFO

在△EOC和△DOF中，

∵EC＝DF，∠ECO＝∠DFO，CO＝FO

∴△EOC≌△DOF（SAS）

∴EO＝DO．