人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题38 动态几何之线动形成的等腰三角形存在性问题（含解析）

专题38 动态几何之线动形成的等腰三角形存在性问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的存在性问题是动态几何中的基本类型，包括等腰（边）三角形存在问题；直角三角形存在问题；平行四边形存在问题；矩形、菱形、正方形存在问题；梯形存在问题；全等三角形存在问题；相似三角形存在问题；其它存在问题等。本专题原创编写线动形成的等腰三角形存在性问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的等腰三角形存在性问题的重点和难点在于应用分类思想和数形结合的思想准确地进行分类。

1.在平面直角坐标系中，已知抛物线（a，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（﹣4，3），直角顶点B在第二象限。

（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；

（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标。

【答案】解：（1）由题意，得点B的坐标为（﹣4，﹣1），

∵抛物线过A（0，﹣1），B（﹣4，﹣1）两点，

∴，解得。

∴抛物线的函数表达式为：。

（2）∵A（0，﹣1），C（﹣4，3），∴直线AC的解析式为：。

设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（﹣2，1），且P0在直线AC上。

过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，则

PE=，QE=，

∴PQ==AP0。

若△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：

①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长），

由A（0，﹣1），B（﹣4，﹣1），P0（﹣2，1）可知，

△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=。

如图，过点B作直线l1∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。

∴可设直线l1的解析式为：y=﹣x+b1。

过点F作直线l2∥AC，交抛物线于点M，则M为符合条件的点。

∴可设直线l2的解析式为：y=﹣x+b2，

∵F（﹣2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3。∴直线l2的解析式为：y=﹣x﹣3。

解方程组，得：，。

∴M3（，），M4（，）。

综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：

M1（﹣4，﹣1），M2（2，﹣7），M3（，），M4（，）。

【考点】二次函数综合题，平移问题，二次函数的图象与性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的应用（最短路线问题），平行四边形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应用。

得直线（y=﹣x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之M点。

②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为，此时，将直线AC向左平移2个单位后所得直线（y=﹣x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点。

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一

点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动

时间为x s．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．

（1）当x=   ▲  s时，DE⊥AB；

（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；

（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．

【答案】解：（1） 2分

   （2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．

∴∠A＝∠B＝45°，AB=4，∴∠ADE＋∠AED＝135°；

又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；

∴△ADE∽△BEF 4分

∴＝，

（3）这里有三种情况：

①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；

又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°

∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，

∵动点E的速度为1cm/s ，∴此时x＝s；

②如图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB

又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°

∴∠ADE＝90°，∴AE＝3，

∵动点E的速度为1cm/s

∴此时x＝3s；

③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；

3.如图，抛物线与x轴交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转1200至OB的位置.

（1）点B在抛物线上;

（2）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

（2）存在。

如图2，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。

①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±，

当y=时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=，

∴∠POD=60°。

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。

∴y=不符合题意，舍去。

∴点P的坐标为（2，）。

【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想的应用。