人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题（含解析）

专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题

轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。

特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。

在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。

中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。

一. 直线（线段）的旋转问题

1. 如图，直线l：与轴交于点A，将直线l绕点A顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【    】

A．       B．        C．      D．

【答案】B。

【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】如图，由已知，可求直线与、轴的交点分别为B（1，0），A（0，），

2. 根据要求，解答下列问题：

（1）已知直线l1的函数表达式为，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；

（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；

（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线垂直的直线l6的函数表达式。

【答案】（1）①。

            ②。

（2）①设直线l4的函数表达式为（k1≠0），

②∵l4与l5的夹角是为900，∴l5与x轴的夹角是为300。

设l5的解析式为（k2≠0），

∵直线l5与x轴的正方向所成的角为钝角，∴k2=－tan300=。

又∵直线l5经过点（1，0），∴，即。

∴直线l5的函数表达式为。

（3）通过观察（1）（2）中的两个函数表达式可知，当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数关系，

∴过点（1，1）且与直线垂直的直线l6的函数表达式为。

【考点】一次函数综合题，旋转问题，探索规律题（图形的变化类），待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

二.三角形的旋转问题

3. 有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．

（2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ①BH=CK，②不变；（2）x=2或x=4

【解析】

试题分析：（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；

（2）根据面积公式得出，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，代入得出方程即可求得结果．

（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：

连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，

四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；

（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置．

设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，

，

，

4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为　    　．

【答案】。

【考点】扇形面积的计算，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，转换思想的应用。

【分析】先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的长，再根据线段BC扫过的区域面积为：

=。

三.四边形旋转问题

5. 如图1，把边长分别是为4和2的两个正方形纸片OABC和OD′E′F′叠放在一起．

（1）操作1：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转45°得到正方形ODEF，如图2，连接AD、CF，线段AD与CF之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；

（2）操作2，如图2，将正方形ODEF沿着射线DB以每秒1个单位的速度平移，平移后的正方形ODEF设为正方形PQMN，如图3，设正方形PQMN移动的时间为x秒，正方形PQMN与正方形OABC的重叠部分面积为y，直接写出y与x之间的函数解析式；

（3）操作3：固定正方形OABC，将正方形OD′E′F′绕点O按顺时针方向旋转90°得到正方形OHKL，如图4，求△ACK的面积．

【答案】（1）相等   见解析     （2）见解析      （3）8

【解析】解：（1）相等

（3）连接OK，

∵∠COK=∠ACO=45°，

∴OK∥AC，

∴S△ACK=S△AOC=8．

6. 把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为　　，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为　　．

【答案】，

四. 其它图形的问题

7. 如图，正六边形的边长为π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在正六边形外部按顺时针方向沿正六边形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了【    】

A．4周   B．5周   C．6周   D．7周

【答案】B。

【考点】多边形内角和定理，直线与圆的位置关系。

故选B。

8. 已知抛物线C：过原点，与轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点，直线OA的解析式为，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C1，求抛物线C、C1的解析式。

【答案】如图，过A作AE⊥OB于E，

∴ 抛物线C的解析式为，即。

 又∵抛物线C1是由抛物线C绕原点O旋转180°得到，

∴ 抛物线C、C1关于原点对称。

∴抛物线C1的顶点坐标A1为() 。

 ∴抛物线C1的解析式为，即。

【考点】二次函数图象的对称性，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，旋转的性质。