人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题33 动态几何之线动形成的最值问题（含解析）

专题33 动态几何之线动形成的最值问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写线动形成的最值问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。

1. 在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为         ．

【答案】.

【解析】

考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.

2. 如图，矩形ABCD中， BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF。问：四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由。

【答案】解：有。

依题意，得四边形PCFE是平行四边形。

设BP=x，则PC=2﹣x ，平行四边形PEFC的面积为S，

【考点】四边形综合题，旋转和平移问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。

3. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点。若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连结PA、PB.设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积。

【答案】解：在中，令x=0，得y=－4；令y=0，得x=－1或x=8。

            ∴A（8，0），B（0，－4）。

∵AB=AC，∴OB=OC。∴C（0， 4）。

            设直线AC：，由A（8，0），C（0， 4）得

            ，解得。∴直线AC：。

                       ∴。

            ∴四边形PBCA的面积S与t的函数关系式为（0＜t＜4）。

            ∵，

            ∴四边形PBCA的最大面积为41个平方单位。

【考点】二次函数综合题，动直线问题，等腰三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数最值，转换思想的应用。