四川省成都市第七中学高一年级竞赛数学不等式专题讲义：13.综合测试

A13综合测试

 时间90分钟,满分180分

姓名：                              得分：              

1.(满分40分)设且证明：

2(满分40分)设且求的最小值.

3(满分50分)若证明：

4(满分50分)已知且求的最大值.

A13综合测试

 时间90分钟,满分180分

姓名：                              得分：              

1.(满分40分)设且证明：

证明：法1排序不等式得

幂平均不等式得所以所以

法2排序不等式得

因为所以于是

所以

2(满分40分)设且求的最小值.

解：法2使用排序不等式

使用柯西不等式

所以当且仅当取等.所以的最小值为1.

法2由的对称性可设则

使用排序不等式

使用切比雪夫不等式所以

于是由平均值不等式知所以当且仅当取等.

所以的最小值为1.

3(满分50分)若证明：

证明：由的对称性可设于是从而

于是有

由切比雪夫不等式、柯西不等式、平均值不等式得

4(满分50分)已知且求的最大值.

解：使用平均值不等式设于是即

所以从而

当时满足题设条件且于是猜想的最大值为

于是只需证明即证

因为所以即证明也就是证明

即证明

由舒尔不等式知道

于是只需证明又所以即证明

即证明因为所以得证.

所以的最大值为