江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题（含答案）
展开南通市2020-2021学年度高三年级第一学期期初调研
数学
2020.9.2
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．记全集，集合，集合，则( ).
A． B． C． D．
2．已知，则的大小关系为( ).
A． B． C． D．
3．若，则( ).
A． B． C． D．
4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( ).
A．30 B．60 C．90 D．120
5．函数的部分图像如图所示，且的图像过两点，为了得到的图像，只需将的图像( ).
A．向右平移 B．向左平移 C．向左平移 D．向右平移
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为( ).
A． B． C． D．
7．设分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与相切，与的渐近线在第一象限内的交点是，若轴，则双曲线的离心率等于( ).
A． B．2 C． D．4
8．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是( ).
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是( ).
A．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍
B．设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位
C．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D．在某项测量中，测量结果服从正态分布，则
10．已知抛物线过点，则下列结论正确的是( ).
A．点到抛物线焦点的距离为
B．过点作过抛物线焦点的直线交抛物线于点，则的面积为
C．过点与抛物线相切的直线方程为
D．过点作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点，则直线的斜率为定值
11．在中，已知，且，则( ).
A．成等比数列 B．
C．若，则 D．成等差数列
12．已知函数，若，则下列选项正确的是( ).
A． B．
C． D．当时，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的，而且三好学生中女生占一半.现在从该班任选一名同学参加某一座谈会.则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为__________.
14．曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.
15．已知是边长为2的正六边形内的一点，则的取值范围是__________.
16．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行.若椭圆与双曲线的离心率分别为，则__________；且的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(10分)已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，若，求的面积.
18．(12分)2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示
对线上教育不满意.
| 满意 | 不满意 | 总计 |
男生 |
|
|
|
女生 |
|
|
|
合计 |
|
| 120 |
(1)完成2x2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
(2)从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生
中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为.求出的分布列及期望值
附公式及表，其中.
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
19．(12分)已知椭圆的中心在原点，其焦点与双曲线的焦点重合，点在椭圆上，动直线交椭圆于不同两点，且 (为坐标原点).
()求椭圆的方程;
(2)讨论是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20．(12分)已知函数，且的解集为.
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式；
(3)设，若对于任意的都有，求的最小值
21．(12分)已知，.
(1)讨论的单调性;
(2)当时，证明对于任意的成立，
22．(12分)已知点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，
(1)证明:直线过定点，并求出定点的坐标;
(2)若直线交椭圆于、两点，分别是的面积,求的最小值.
参考答案
1~5 CACBC 6~8 CAB
9.BD 10.BCD 11.BC 12.CD
13. 14. 15. 16.
17.(1) (2)
18.(1)
| 满意 | 不满意 | 总计 |
男生 | 30 | 25 | 55 |
女生 | 50 | 15 | 65 |
合计 | 80 | 40 | 120 |
,可以
(2)
0 | 1 | 2 | 3 | |
19.(1) (2)
20.(1) (2)
(3)
21.(1)
(2)原不等式等价于
，令，，存在使得，，所以，因为等号不同时取，所以
22.(1)过焦点
(2)设倾斜角为，则
