四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学（理）试题附答案

凉山州高中毕业班第一次诊断性检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，集合，则（   ）A．         B．      C．       D．2.已知复数，则的共轭复数（   ）A．         B．      C．       D．3.如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（   ）A．              B．平面       C．平面        D．平面 4.已知双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（   ）A．或2        B．或       C.         D．5.执行如图所示的程序框图，输出的值为（   ）A．        B．       C.         D．6.设是边长为2的正三角形，是的中点，是的中点，则的值为（    ）A． 3        B．      C.  4       D．7.设函数，任意都满足，则的值可以是（      ）A．        B．       C.         D．8.已知，则“”是“”成立的（    ）A．充分不必要条件   B．必要不充分条件  C．充要条件  D．既不充分也不必要9.在中，分别是内角的对边，若，，，则的面积等于（    ）A． 3        B．      C.         D．10.一个弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（    ）A．         B．       C.  的最小值为100       D．的最大值为40011.十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（   ）A．存在至少一组正整数组使方程有解         B．关于的方程有正有理数解       C. 关于的方程没有正有理数解        D．当整数时，关于的方程没有正实数解12.若都有成立，则的最大值为（    ）A．        B．1       C.         D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.二项式的展开式中常数项为          ．14.已知正数满足，则的最大值是          ．15.设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是          ．16.定义函数，，其中，符号表示数中的较大者，给出以下命题：①是奇函数；②若不等式对一切实数恒成立，则③时，最小值是2450④“”是“”成立的充要条件以上正确命题是          ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均课外体育运动时间在上的学生评价为“课外体育达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？（2）将上述调查所得到的频率视为概率，现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求时的概率及的数学期望.参考公式：，其中.参考数据：18. 如图，直三棱柱中，，，，，点是棱上不同于的动点.（1）证明：；（2）若平面将棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角的余弦值.19. 设有三点，其中点在椭圆上，，，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆的右焦点的直线倾斜角为，直线与椭圆相交于，求三角形的面积.20. 设各项为正数列满足：（是常数）.（1）判断是否存在，使数列满足对任意正正数，有恒成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.（2）当，时，求数列前项和的表达式.21. 设函数.（1）当时，求函数的单调减区间；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围；（3）设，若无极大值点，有唯一的一个极小值点，求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）当时，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）当时，求的最小值. 试卷答案一、选择题二、填空题13. -4         14.   -3        15.           16.②三、解答题17.解：（1）所以犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能判断“可额外体育达标”与性别有关.（2）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，则，.18.（1）证明：（方法一）在中，有余弦定理∴，则，∴.∴，又，，∴平面又平面，∴证明：（方法二）在中，，∴，∴又，，∴平面又平面，∴（2）由题设知，又，∴是的中点.∴以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标，∴，，，，，设是平面的法向量，，，令，，∴平面的法向量，所以二面角的余弦值为.19.（1）解：由题意知，，设，，，由，∴，∴设椭圆方程②，将①代入②，∴，∴椭圆方程为（2），代入，整理得，∴或，∴交点坐标为和，到的距离为所以，所以三角形的面积为.20.（1）由  ①  ②①-②得：，即当时，，又，所以数列为等比数列，所以，所以，所以存在，使成立.（2）由（1）可知，当，时，所以，所以，当时，，当时，，所以也成立，所以.21.（1）当时，，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）设，则，则或或，当时，恒成立，∴在上为增函数，且时，；时，，则的零点有3个，符合题意.当时，，此时只有一个零点，不合题意.当时，若，则；若时，，函数在上单调递减，在上单调递增.又且时，；时，，所以或或要有三个零点，则即，所以综上所述，或.（3）因为在无极大值点，有唯一的一个极小值点即，即在内有唯一的一个正根.所以，即又，，又因为只有唯一的一个正根，所以即.当时，在上单调递减，在上单调递增.此时无极大值，有唯一一个极小值点，所以，所以所以所以所以在上单调递减，所以综上，.22.（1）由，即，所以，所以曲线的直角坐标系方程为，（2）解一：时，.解二：曲线的标准方程为，直线的方程为，.23.（1）时，，即，所以或或，解得或所以不等式的解集为.（2）时，，的最小值为.