【数学】山东省淄博市淄川中学2019-2020学年高二上学期开学考试试题

山东省淄博市淄川中学2019-2020学年

高二上学期开学考试试题

一．选择题（共20小题，每小题3分，共计60分）

1．已知集合A＝{1，2}，B＝{0，1}，则A∪B＝（　　）

A．{1} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}

2．函数y＝3sin（2x+）的最小正周期是（　　）

A．π B． C． D．

3．下列函数中，定义域为R的是（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝lnx D．y＝x﹣1

4．已知正方体棱长为1，则正方体内切球表面积为（　　）

A． B． C． D．π

5．投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}．设事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，C＝{2，4，6}，则下列结论中正确的是（ ）

A．A，C为对立事件             B．A，B为对立事件 

C．A，C为互斥事件，但不是对立事件 

D．A，B为互斥事件，但不是对立事件

6．如图，O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是（　　）

A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1

7．cos210°的值等于（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

8．在△ABC中，点D为边AB的中点，则向量＝（　　）

A． B． C． D．

9．已知a＝0.30.3，b＝log23，c＝log20.2，则（　　）

A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c

10．一盒子中有大小和形状相同的12个小球，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，现从中任一球，则取到的球为红球或黑球的概率（　　）

A． B． C． D．

11．若直线x＝a是函数y＝sin（x+）图象的一条对称轴，则a的值可以是（ ）

A． B． C．﹣ D．﹣

12．已知向量，若与垂直，则实数x的值是（　　）

A．±2 B．2 C．﹣2 D．﹣4

13．某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（　　）

A．27 B．33 C．135 D．165

14．f（x）＝lnx+x﹣2的零点所在区间（　　）

A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）

15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2bsinA，则B等于（　　）

A．75° B．60° C．45° D．30°

16．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1﹣3，2x2﹣3，2x3﹣3，2x4﹣3，2x5﹣3的平均数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

17．函数f（x）＝ax﹣b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0

18．设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β B．若α⊥β，l∥α，则l⊥β 

C．若α⊥β，l⊥α，则l∥β D．若l∥α，l⊥β，则α⊥β

19．若函数f（x）＝sinx+g（x）在区间[]上单调递增，则函数g（x）的表达式为（　　）

A．cosx B．﹣cosx C．1 D．﹣tanx

20．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，且f（2）＝0，则使f（x）＜0成立的x的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，2） 

C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（2，+∞）

二．填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）

21．已知向量，满足＝3，＝2，a与b的夹角为60°，则a•b＝　   　．

22．已知角α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝　   　．

23．已知函数，则f（0）+f（﹣2）＝　   　．

24．刘徽（约公元225年﹣295年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产．《九章算术•商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云．”其实这里所谓的“鳖臑（biēnào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB垂直于平面BCD，AC垂直于CD，且AB＝BC＝CD＝1，则三棱锥A﹣BCD的外接球的球面面积为　   　．

25．锐角△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，且△ABC的面积为3，则c＝　   　．

三．解答题（共4小题，共45分）

26（10分）．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，点E、F分别是棱BC、DC的中点．求证：

（Ⅰ）BD∥平面EFC1；

（Ⅱ）EF⊥平面ACC1A1．

27（10分）．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°

（1）求∠BAC的度数；

（2）求AD的长度．

28（12分）．“北祠堂”是我校著名的一支学生乐队，对于2015年我校“校园周末文艺广场”活动中“北祠堂”乐队的表现，在高一年级学生中投票情况的统计结果见表：

现采用分层抽样的方法从所有参与对“北祠堂”投票的800名学生中抽取一个容量为n的样本，若从不喜欢“北祠堂”的100名学生中抽取的人数是5人．

（1）求n的值；

（2）若从不喜欢“北祠堂”的学生中抽取的5人中恰有3名男生（记为a1，a2，a3）2名女生（记为b1，b2），现将此5人看成一个总体，从中随机选出2人，列出所有可能的结果；

（3）在（2）的条件下，求选出的2人中至少有1名女生的概率．

29（13分）．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2a，g（x）＝（2﹣a）x，其中a∈R．

（1）若f（x）为偶函数，求a的值；

（2）求关于x的不等式f（x）＞g（x）的解集；

（3）若f（x）﹣g（x）＞﹣4对任意的x∈[3，6]恒成立，求a的取值范围．

参考答案

一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1-5 DAADC    6-10 DCAAD    11-15 AACBD 16-20 ADDBB

二、填空题（共5小题，每小题3分，共计15分）

21、 3       22、﹣      23、﹣4

24、3π       25、

三、解答题（4小题，共计45分）

26．（10分）【解答】证明：（Ⅰ）∵点E、F分别是棱BC、DC的中点，

∴EF∥BD，

∵EF⊂平面EFC1，BD⊄平面EFC1，

∴BD∥平面EFC1．

（Ⅱ）∵在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，

又EF⊂底面ABCD，∴EF⊥AA1，

∵四边形ABCD为正方形，点E、F分别是棱BC、DC的中点，

∴EF⊥AC，

∵AC∩AA1＝A，

∴EF⊥平面ACC1A1．

27（10分）

28（12分）【解答】（本小题满分12分）

解：（1）抽样比例为，

故；   …（4分）

（2）Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2}，共10种可能的结果；…（8分）

（3）记事件“选出的2人中至少有1名女生”为A，

则A＝{a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2}其含有7种结果，

故选出的2人中至少有1名女生的概率．…（12分）

29．（13分）

【解答】解：（1）∵f（x）为偶函数，

∴f（﹣x）＝f（x），

∴a＝0．

（2）不等式f（x）＞g（x），

整理得：x2﹣（2+a）x+2a＞0，

（x﹣a）（x﹣2）＞0，

①a＜2时，不等式的解集是{x|x＜a或x＞2}，

②a＝2时，不等式的解集是{x|x≠2}，

③a＞2时，不等式的解集是{x|x＞a或x＜2}，

（3）f（x）﹣g（x）＞﹣4对任意的x∈[3，6]恒成立，

即x2﹣（2+a）x+2a＞﹣4，

分离参数得a＜x﹣2++2，

由函数的单调性得y＝x﹣2++2在区间[3，4]是单调递减，在[4，6]上单调递增的，

∴a＜ymin．即a＜6．