2020年湖南省常德市中考数学试卷
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2020年湖南省常德市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共8题） |
1. 的倒数为．
A． B． C． D．
2. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是．
A．
B．
C．
D．
3. 如图，已知，，，则的度数为．
A． B． C． D．
4. 下列计算正确的是．
A． B．
C． D．
5. 下列说法正确的是．
A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨
B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式
D．一组数据的众数一定只有一个
6. 一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是．
A． B． C． D．
7. 二次函数的图象如图所示，下列结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中正确结论的个数是．
A． B． C． D．
8. 如图，将一枚跳棋放在七边形的顶点处，按顺时针方向移动这枚跳棋次．移动规则是：第次移动个顶点（如第一次移动个顶点，跳棋停留在处，第二次移动个顶点，跳棋停留在处），按这样的规则，在这次移动中，跳棋不可能停留的顶点是．
A．、 B．、
C．、、 D．、、
| 二、 填空题（共8题） |
9. 分解因式：________．
10. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________．
11. 计算：________．
12. 如图，若反比例函数的图象经过点，轴于，且的面积为6，则________．
13. 月日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了名学生每周课外阅读的时间，统计如下：
阅读时间小时） | ||||
人数 |
若该校共有名学生，试估计全校每周课外阅读时间在小时以上的学生人数为________．
14. 今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回只．已知李红家原有库存只，出门次购买后，家里现有口罩只．请问李红出门没有买到口罩的次数是________次．
15. 如图，已知四边形是正方形，将，分别沿，向内折叠得到图，此时与重合、都落在点），若，，则的长为________．
16. 阅读理解：对于这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
．
理解运用：如果，那么，即有或，
因此，方程和的所有解就是方程的解．
解决问题：求方程的解为________．
| 三、 解答题（共10题） |
17. 计算：．
18. 解不等式组．
19. 先化简，再选一个合适的数代入求值：．
20. 第代移动通信技术简称，某地已开通业务，经测试下载速度是下载速度的倍，小明和小强分别用与下载一部兆的公益片，小明比小强所用的时间快秒，求该地与的下载速度分别是每秒多少兆？
21. 已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求交点坐标．
22. 如图是自动卸货汽车卸货时的状态图，图是其示意图．汽车的车厢采用液压机构、车厢的支撑顶杆的底部支撑点在水平线的下方，与水平线之间的夹角是，卸货时，车厢与水平线成，此时与支撑顶杆的夹角为，若米，求的长度．（结果保留一位小数）
（参考数据：，，，，，，
23. 今年月某市出现了名新冠肺炎患者，市委根据党中央的决定，对患者进行了免费治疗．图是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图（不完整），图是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题．
（1）轻症患者的人数是多少？
（2）该市为治疗危重症患者共花费多少万元？
（3）所有患者的平均治疗费用是多少万元？
（4）由于部分轻症患者康复出院，为减少病房拥挤，拟对某病房中的、、、、位患者任选两位转入另一病房，请用树状图法或列表法求出恰好选中、两位患者的概率．
24. 如图，已知是的直径，是上的一点，是上的一点，于，交于，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，圆的半径，求切线的长．
25. 如图，已知抛物线过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线过点，且与抛物线交于另一点，与轴交于点，求证：；
（3）若点，分别是抛物线与直线上的动点，以为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，求所有符合条件的点坐标．
26. 已知是斜边的中点，，，过点作使，，连接并延长到，使，连接，，，设与交于，与交于．
（1）如图1，当，，共线时，求证：
①；
② ；
（2）如图2，当，，不共线时，连接，求证：．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】A
【解析】 的倒数为．
故选：
【点评】本题主要考查倒数的意义．注意求倒数的方法，把分子分母互换位置．
2. 【答案】C
【解析】．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后完全可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．
3. 【答案】B
【解析】作，
，
，
，
，，
，，
，，
．
故选：
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4. 【答案】D
【解析】． ，原计算错误，故此选项不符合题意；
．与不是同类项不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算错误，故此选项不符合题意；
．，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：
【点评】此题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5. 【答案】C
【解析】．明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误；
．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故本选项错误；
．了解一批花炮的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确；
．一组数据的众数不一定只有一个，故本选项错误．
故选：
【点评】本题考查了必然事件的概念、众数的定义、求随机事件的概率，解题的关键是熟练掌握众数的定义以及求随机事件的概率．
6. 【答案】C
【解析】这个圆锥的母线长，
这个圆锥的侧面积．
故选：
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7. 【答案】B
【解析】由图象知，抛物线与轴有两个交点，
方程有两个不相等的实数根，
，故① 正确，
由图象知，抛物线的对称轴直线为，
，
，故③ 正确，
由图象知，抛物线开口方向向下，
，
，
，而抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，
，
，故② 正确，
由图象知，当时，，
，故④ 错误，
即正确的结论有个．
故选：
【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．
8. 【答案】D
【解析】经实验或按下方法可求得顶点，和棋子不可能停到．
设顶点，，，，，，分别是第，，，，，，格，
因棋子移动了次后走过的总格数是，应停在第格，
这时是整数，且使，分别取，，，，，，时，
，，，，，，，发现第，，格没有停棋，
若，
设，，代入可得，，
由此可知，停棋的情形与时相同，
故第，，格没有停棋，即顶点，和棋子不可能停到．
故选：
【点评】本题考查规律型：图形的变化类，理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
二、 填空题
9. 【答案】；
【解析】原式，
故答案为：
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10. 【答案】；
【解析】由题意得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．分式分母不为零．
11. 【答案】；
【解析】原式
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
12. 【答案】；
【解析】，
，
，
反比例函数的图象在二四象限，
，
．
故答案为．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 【答案】；
【解析】（人，
估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为人．
【点评】本题考查了频数（率分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．
14. 【答案】；
【解析】设李红出门没有买到口罩的次数是，买到口罩的次数是，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．
15. 【答案】；
【解析】设正方形的边长为，由翻折可得：
，
，，
，，
，，，如图1所示：
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
，
（舍，．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质、勾股定理及解一元二次方程，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
16. 【答案】或或；
【解析】，
，
，
，
则，即，
或，
解得或．
故答案为：或或．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
三、 解答题
17. 【答案】
【解析】原式
．
【点评】本题考查了零指数、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式的运算及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18. 【答案】
【解析】，
由① 得：，
由② 得：，
不等式组的解集为：．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
19. 【答案】
【解析】
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20. 【答案】兆; 兆
【解析】设该地的下载速度是每秒兆，则该地的下载速度是每秒兆，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
，
该地的下载速度是每秒兆，则该地的下载速度是每秒兆．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数列出方程．
21. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）把，代入一次函数，得
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）一次函数的图象与反比例函数的图象只有一个交点，
只有一组解，
即有两个相等的实数根，
，
．
把代入求得该方程的解为：，
把代入得：，
即所求的交点坐标为．
【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
22. 【答案】
【解析】方法一：
如图1，过点作于点，
在中，
，
，
在中，
，
，
，
所求的长度约为米．
方法二：
如图，过点作于点，
在中，，
，
即，
，
即，
又在中，，
，
，
所求的长度约为米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
23. 【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】（1）轻症患者的人数（人；
（2）该市为治疗危重症患者共花费钱数（万元）；
（3）所有患者的平均治疗费用（万元）；
（4）列表得：
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
| |||||
|
由列表格，可知：共有20种等可能的结果，恰好选中、患者概率的有2种情况，
（恰好选中、．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及条形统计图的应用．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，切线的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明是本题的关键．
25. 【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）或或
【解析】（1）把点代入，
得到，
，
抛物线的解析式为．
（2）设直线的解析式为，则有，
解得，
直线的解析式为，
令，得到，
，
由，解得或，
，
如图1中，过点作轴于，过作轴于，则，
，，
，
即．
（3）如图2中，设
为一边且顶点为，，，的四边形是平行四边形，
，，
，
，
整理得：或，
解得或或或0（舍弃），
或或．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
26. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】证明（1）① ，，
，
同理，
，
，
，
是斜边的中点，，
，
即是的中点，
，即是的中点，
，
，
是直角三角形，
；
② ，
，
由① 知：，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
；
（2）如图2，延长到，使，连接，，，
，，
，
则，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了平行线分线段成比理、勾股定理、三角形全等的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，难度适中，属于中考常考题型．
