2020年黑龙江省黑河市、大兴安岭、齐齐哈尔市中考数学试卷
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2020年黑龙江省黑河市、大兴安岭、齐齐哈尔市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共10题） |
1. 的倒数是．
A． B． C． D．
2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
3. 下列计算正确的是．
A．
B．
C．
D．
4. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“”、“”、“”、“”、“”、“”，掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是．
A． B． C． D．
5. 李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程随时间的变化规律的大致图象是．
A．
B．
C．
D．
6. 数学老师在课堂上给同学们布置了个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为．
A． B． C． D．
7. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为．
A．
B．
C．且
D．且
8. 母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支元，百合每支元．小明将元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有．
A．种 B．种 C．种 D．种
9. 有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图① 所示叠放，先将含角的纸板固定不动，再将含角的纸板绕顶点顺时针旋转，使，如图② 所示，则旋转角的度数为．
A． B． C． D．
10. 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
① ；
② ；
③ 当时，随的增大而增大；
④ 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有．
A．个 B．个 C．个 D．个
| 二、 填空题（共7题） |
11. 年初新冠肺炎疫情发生以来，近名城乡社区工作者奋战在中国大地的疫情防控一线．将数据用科学记数法表示为________．
12. 在函数中，自变量的取值范围是________．
13. 如图，已知在和中，，点、、在同一条直线上，若使，则还需添加的一个条件是________．（只填一个即可）
14. 如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面积是 ________．
15. 等腰三角形的两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长是________．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点坐标为，并且，点在函数的图象上，则的值为________．
17. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形① 沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形② ；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③ ；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④ ；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤ ；依此规律，则第个等腰直角三角形的面积是________．
| 三、 解答题（共7题） |
18. （1）计算：
（2）因式分解：
19. 解方程：
20. 如图，为的直径，、为上的两个点，，连接，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若直径，求的长．
21. 新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自月日至月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的教职工共有________名；
（2）表中________，扇形统计图中“”部分所占百分比为________；
（3）扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为________；
（4）若该市共有名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于小时的教职工大约有多少人？
| 志愿服务时间（小时） | 频数 |
22. 团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为，在行驶过程中乙车速度始终保持，甲车先以一定速度行驶了，用时，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程与所用时间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是________，乙车行驶________到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数解析式，不用写出自变量的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有________；出发________时，甲、乙两车第一次相距．
23. 综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图① ．
（1）折痕________（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线；请判断图中是什么特殊三角形？答：________；进一步计算出________；
（2）继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图② ，则________；
拓展延伸：
（3）如图③ ，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接．
求证：四边形是菱形．
解决问题：
（4）如图④ ，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段的长度有，，，．请写出以上个数值中你认为正确的数值________．
24. 综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点为抛物线的顶点，点在轴上，且，直线与抛物线在第一象限交于点，如图① ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线的函数解析式为________，点的坐标为________， ________；
连接，若过点的直线交线段于点，将的面积分成的两部分，则点的坐标为________；
（3）在轴上找一点，使得的周长最小．具体作法如图② ，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接、，此时的周长最小．请求出点的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】
的倒数是．
故选：
【点评】本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．
2. 【答案】D
【解析】．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3. 【答案】A
【解析】．，此选项计算正确；
．，此选项计算错误；
．，此选项计算错误；
．，此选项计算错误．
故选：
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式的乘方及单项式乘单项式法则．
4. 【答案】A
【解析】∵ 掷小正方体后共有种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有、、这种可能，
∴ 朝上一面的数字出现偶数的概率是．
故选：
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率等于事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
5. 【答案】B
【解析】因为登山过程可知：
先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．
所以在登山过程中，他行走的路程随时间的变化规律的大致图象是．
故选：
【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想．
6. 【答案】C
【解析】由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为．
故选：
【点评】本题考查条形统计图、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7. 【答案】D
【解析】去分母得：，
解得，
由方程的解为正数，得到，且，
则m的范围为且．
故选：
【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 【答案】B
【解析】设可以购买支康乃馨，支百合，
依题意，得：，
，
，均为正整数，
， ，，
小明有种购买方案．
故选：
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9. 【答案】B
【解析】如图，设与交于点，
，
，
，
．
故选：
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
10. 【答案】C
【解析】抛物线开口向上，因此，与轴交于负半轴，因此，故，所以① 正确；
抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为，于是有，所以② 不正确；
时，随的增大而增大，所以③ 正确；
抛物线与轴有两个不同交点，因此关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以④ 正确；
综上所述，正确的结论有：① ③ ④ ．
故选：
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．
二、 填空题
11. 【答案】；
【解析】将数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12. 【答案】且；
【解析】由题可得
解得
自变量的取值范围是且．
故答案为：且．
【点评】本题主要考查了自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
13. 【答案】（或等）；
【解析】，，
∴ 当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断．
故答案为：（或等）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
14. 【答案】；
【解析】由三视图可知，原几何体为圆锥，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体、圆锥的计算以及勾股定理，由几何体的三视图可得出原几何体为圆锥是解题的关键．
15. 【答案】或；
【解析】①是腰长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
周长
②是底边长时，三角形的三边分别为、、，
此时能组成三角形，
周长．
综上所述，这个等腰三角形的周长是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论．
16. 【答案】；
【解析】如图，
点坐标为，
矩形的面积，
，
矩形的面积，
点在函数的图象上，
．
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，也考查了矩形的性质．
17. 【答案】；
【解析】点，
第个等腰直角三角形的面积，
，
第个等腰直角三角形的边长为，
第个等腰直角三角形的面积，
，
第个等腰直角三角形的边长为，
第个等腰直角三角形的面积，
则第个等腰直角三角形的面积是．
故答案为：(形式可以不同，正确即得分)．
【点评】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质和面积，确定各个等腰直角三角形的边长是本题的关键．
三、 解答题
18. 【答案】（1）
（2）
【解析】（1）
（2）
．
【点评】此题主要考查了实数运算以及提取公因式法、公式法分解因式，正确运用公式分解因式是解题关键．
19. 【答案】；
【解析】，
，
则或，
解得，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：连接，
为的直径，
，
，，
，
．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
21. 【答案】（1）
（2）；
（3）
（4）
【解析】解：（1）本次被抽取的教职工共有：（名），
故答案为：；
（2），
扇形统计图中“”部分所占百分比为：，
故答案为：；；
（3）扇形统计图中，“”所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：；
（4）（人），
故志愿服务时间多于小时的教职工大约有人．
【点评】此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．
22. 【答案】（1）；
（2）
（3）；
【解析】（1）甲车改变速度前的速度为：，乙车达绥芬河是时间为：，
故答案为：；；
（2）乙车速度为，
甲车到达绥芬河的时间为：，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：，
将和代入
得
解得
，
故甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程与所用时间之间的函数解析式为；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：，
，
即出发时，甲、乙两车第一次相距，
故答案为：；．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，运用数形结合的方法是解答本题的关键．
23. 【答案】（1）是；等边三角形；
（2）
（3）答案见解析
（4）；
【解析】（1）如图①
对折矩形纸片，使与重合，
垂直平分，
，，，
再一次折叠纸片，使点落在上的点处，
垂直平分，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故答案为：是，等边三角形，；
（2）折叠纸片，使点落在边上的点处，
，
，
故答案为：；
（3）折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，
垂直平分，
，，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
（4）折叠纸片，使点落在边上的点处，
，
在中，，
，
，
点在上，
当点与点重合时，有最大值为，
，
正确的数值为，，
故答案为：；．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
24. 【答案】（1）
（2）；；；或
（3）
（4）存在；或或
【解析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：
解得
故抛物线的表达式为：；
（2）点，，故点，
设直线的解析式为，
将点坐标代入得，，
，
直线的表达式为：；
则，故；
对于，函数的对称轴为，故点；
将的面积分成的两部分，则或，
则或，
即或，解得或，
故点或；
故答案为：，，，或；
（3）的周长最小，
点，设直线的表达式为：，
则
得
故直线的表达式为：，
令，则，
故点；
（4）存在，理由：
设点，而点、、的坐标分别为、、，
① 当是边时，
点向右平移个单位向上平移个单位得到点，同样点右平移个单位向上平移个单位得到点，
即，，
解得：，
故点或；
② 当是对角线时，
由中点公式得：，，
解得：；，
故点；
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏．
