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2020年山东省潍坊市中考数学试卷
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2020年山东省潍坊市中考数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是．
A．
B．
C．
D．
2. 下列运算正确的是．
A． B．
C． D．
3. 今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少万．数字万用科学记数法可表示为．
A． B． C． D．
4. 将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是．
A．
B．
C．
D．
5. 为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数（个） | ||||
学生人数（名） |
则关于这组数据的结论正确的是．
A．平均数是
B．众数是
C．中位数是
D．方差是
6. 若，则的值是．
A． B． C． D．
7. 如图，点是▱的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则▱的周长为．
A． B． C． D．
8. 关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是．
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．无法确定
9. 如图，函数与的图象相交于点，两点，则不等式的解集为．
A． B．或
C． D．或
10. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，过点作交于点，点是边上的动点．当最小时，的长为．
A． B． C． D．
11. 若关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是．
A． B． C． D．
12. 若定义一种新运算：，例如：；．则函数的图象大致是．
A．
B．
C．
D．
| 二、 填空题（共6题） |
13. 因式分解：________．
14. 若，则________．
15. 如图，在中，，，垂直平分，垂足为，交于点．按以下步骤作图：① 以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边，于点，；② 分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③ 作射线．若与的夹角为，则________．
16. 若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
17. 如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点．若，，则________．
18. 如图，四边形是正方形，曲线是由一段段度的弧组成的．其中：的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；的圆心为点，半径为；，的圆心依次按点，，，循环．若正方形的边长为，则的长是________．
| 三、 解答题（共7题） |
19. 先化简，再求值：，其中是的算术平方根．
20. 某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方米的点处悬停，此时测得桥两端，两点的俯角分别为和，求桥的长度．
21. 在月日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间（单位：小时）．把调查结果分为四档，档：；档：；档：；档：．根据调查情况，给出了部分数据信息：
①档和档的所有数据是：，，，，，，，，，，，；
② 图和图是两幅不完整的统计图．
根据以上信息解答问题：
（1）求本次调查的学生人数，并将图补充完整；
（2）已知全校共名学生，请你估计全校档的人数；
（3）学校要从档的名学生中随机抽取名作读书经验分享，已知这名学生名来自七年级，名来自八年级，名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同年级的概率．
22. 如图，为的直径，射线交于点，点为劣弧的中点，过点作，垂足为，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积．
23. 因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价元，每天销售量（桶）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数表达式；
（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润销售价进价）
24. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针方向旋转，旋转角为，如图，连接，，．
（1）当时，求证：；
（2）如图，当时，延长交于点，求证：垂直平分；
（3）在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角的度数．
25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标；
（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：
【点评】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2. 【答案】B
【解析】．不是同类项，不能合并，故选项计算错误；
．，故选项计算正确；
．，故选项计算错误；
．，故选项计算错误．
故选：
【点评】本题考查合了并同类项，同底数幂的乘法和积的乘方、以及完全平方公式，解题关键是熟记运算法则和公式．
3. 【答案】A
【解析】万，
．
故选：
【点评】本题考查了科学记数法的简单应用，属于基础知识的考查，比较简单．
4. 【答案】D
【解析】从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线．
故选：
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
5. 【答案】B
【解析】根据题目给出的数据，可得：
平均数为：，故选项错误；
众数是：，故选项正确；
中位数是：，故选项错误；
方差是：，故选项错误．
故选：
【点评】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的性质和计算，熟悉相关性质是解题的关键．
6. 【答案】D
【解析】，
．
故选：
【点评】此题考查了求代数式的值，以及“整体代入”思想．解题的关键是把代数式变形为．
7. 【答案】C
【解析】四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，，
，
平行四边形的周长为：．
故选：
【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答
8. 【答案】A
【解析】
，
，即，
方程总有两个不相等的实数根．
故选：
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：① 当时，方程有两个不相等的实数根；② 当时，方程有两个相等的实数根；③ 当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
9. 【答案】D
【解析】函数与的图象相交于点，两点，
不等式的解集为：或．
故选：
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
10. 【答案】B
【解析】如图，延长交于点，连接，交于点，此时的值最小．
，
，
又，
，
，，
，
，解得，；
，
，即，解得，．
故选：
【点评】此题主要考查了轴对称最短距离问题，同时考查了平行线分线段成比例，掌握轴对称性质和平行线分线段成比例定理是解题的关键．
11. 【答案】C
【解析】解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组有三个整数解，
三个整数解为：，，，
，
解得：．
故选：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键就是根据整数解的个数求出关于的不等式组．
12. 【答案】A
【解析】当时，，
当时，，
即：，
当时，，
即：，
，
当时，，函数图象向上，随的增大而增大，
综上所述，选项符合题意．
故选：
【点评】本题考查了一次函数的图象，能在新定义下，求出函数关系式是解题的关键．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】，
，
．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14. 【答案】；
【解析】根据题意得，，，
解得，，
．
故答案为：
【点评】本题考查了绝对值非负性，算术平方根非负性的性质，根据几个非负数的和等于，则每一个算式都等于列式是解题的关键．
15. 【答案】；
【解析】如图，
是直角三角形，，
，
，
，
是的平分线，
，
是的垂直平分线，
是直角三角形，
，
，
与是对顶角，
．
故答案为：．
【点评】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
16. 【答案】；
【解析】.解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，．
故答案为
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：① 让最简公分母为确定增根；② 化分式方程为整式方程；③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17. 【答案】；
【解析】矩形中，，，，
，
根据折叠的性质：，，，，，，，
，，
，点，点，点三点共线，
，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：
【点评】本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
18. 【答案】；
【解析】由图可知，曲线是由一段段度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径，，，，，，
故的半径为，的弧长．
故答案为：
【点评】此题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】原式，
，
，
．
是的算术平方根，
，
当时，原式
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
20. 【答案】米
【解析】如图示：过点作，垂足为，
由题意得，，，，
在中，（米），
在中，
，
（米），
（米）．
故答案为：桥的长度为米．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．
21. 【答案】（1）；
（2）
（3）用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下，
；
【解析】（1）由于档和档共有个数据，而档有个，
因此档共有：人，
人，
补全图形如下：
（2）（人），
故答案为：全校档的人数为人．
（3）用表示七年级学生，用表示八年级学生，用和分别表示九年级学生，画树状图如下，
因为共有种等可能的情况数，其中抽到的名学生来自不同年级的有种，
所以．
【点评】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．
22. 【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）连接，
是的直径，
，即，
，
，
连接，
点为劣弧的中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）连接，
，，
，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
，
即阴影部分的面积为：．
【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键．
23. 【答案】（1）
（2）销售单价定为元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润元
【解析】（1）设与销售单价之间的函数关系式为：，
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：；
（2）设药店每天获得的利润为元，由题意得：
，
，函数有最大值，
当时，有最大值，此时最大值是，
故销售单价定为元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润元．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量每件的利润得出函数关系式是解题关键．
24. 【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【解析】（1）证明：如图中，根据题意：，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：如图中，根据题意：，，，
在和中，
，
，
，
，且，
，
，
，
，，，
，，
，
，
是线段的垂直平分线；
（3）解：中，边的长是定值，则边上的高取最大值时的面积有最大值，
当点在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图中：
，，，于，
，，
，，
的面积的最大值为：，
旋转角．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
25. 【答案】（1）
（2）；
（3）答案见解析
【解析】（1）抛物线过点和点，
，解得，
抛物线解析式为：；
（2）当时，，
，
直线解析式为：，
，
，
过点作轴，交轴于点，交于点，
设，
，
，
，
即，
，，
，；
（3），，，
为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，
点的横坐标为，
又点在直线上，
点的纵坐标为，
，
设，
① 当，，
当时，则，
解得或（舍去），
此时点的坐标为，
② 当，当时，
则，解得：或（舍去），
此时点的坐标为；
③ 当，时，
连接，故当为关于对称轴的对称点时，，
此时四边形为正方形，
，
，，，
，
，
解得：，（舍去），
此时点的坐标为；
故在射线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为：，或．
【点评】本题是一道综合题，涉及到二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
