2020版高考数学大一轮复习第7讲二次函数与幂函数学案理新人教A版Word版

第7讲　二次函数与幂函数


1.二次函数的图像和性质
解析式
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
图像


定义域
R
R
值域
　　　 
　　　 
单调性
在　　　　上单调递减, 
在上
单调递增
在　　　　上单调递增, 
在上
单调递减
顶点坐标
　　　 
奇偶性
当　　　　时为偶函数 
对称轴
方程
x=-
2.幂函数
(1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图像





性
质
定义
域
R
R
R
　 
　 
值域
R
　　 
R
　　 
　　 
奇偶
性
　　函数 
　　函数 
　　函数 
　　函数 
　　函数 
单
调
性
在R上单
调递增
在　　上 
单调递减;
在　　上 
单调递增
在R上
单调递增
在　 
上单调
递增
在　　和 
　　上 
单调递减
公共
点
　　　 

常用结论
1.二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0);
(3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
2.一元二次不等式恒成立的条件:
(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是“a>0且Δ<0”;
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是“a<0且Δ<0”.


题组一　常识题
1.[教材改编] 若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,20]上是单调函数,则实数k的取值范围是　　　　　　　　. 
2.[教材改编] 已知幂函数y=f(x)的图像过点(2,),则函数f(x)=　　　　. 
3.[教材改编] 函数f(x)=x2-2x+3在闭区间[0,3]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　. 
4.[教材改编] 若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线x=1对称,则b=　　　　. 
题组二　常错题
◆索引:图像特征把握不准出错;不会利用二次函数图像解决问题;二次函数的单调性理解不到位;忽略幂函数的定义域;幂函数的图像掌握不到位出错.

5.如图2-7-1,若a<0,b>0,则函数y=ax2+bx的大致图像是　　　　(填序号). 

①　　　　　②

③　　　　　④
图2-7-1
6.设二次函数f(x)=x2-x+a(a>0),若f(m)<0,则f(m-1)　　　　0.(填“>”“<”或“=”) 
7.若函数y=mx2+x+2在[3,+∞)上是减函数,则m的取值范围是　　　　. 
8.已知幂函数f(x)=,若f(a+1) 9.当x∈(0,1)时,函数y=xm的图像在直线y=x的上方,则m的取值范围是　　　　. 

探究点一　幂函数的图像和性质
例1 (1)已知幂函数y=xn,y=xm,y=xp的图像如图2-7-2所示,则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

图2-7-2
A.m>n>p B.m>p>n
C.n>p>m D.p>n>m
(2)[2018·乌鲁木齐二模] 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图像上,设a=f,b=f(ln π),c=f,则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.a C.b  
 
[总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于零、等于零或小于零而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
变式题 [2018·湖北重点中学联考] 已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图像关于y轴对称,且在区间(0,+∞)上为减函数,则m的值为　　　　. 
探究点二　二次函数的解析式
例2 (1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=　　　　　　. 
(2)已知二次函数f(x)的图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)=　　　　　　. 
 
 
 
 
[总结反思] 求二次函数解析式的三个策略:(1)已知三个点的坐标,宜选用一般式;(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式;(3)已知图像与x轴两交点的坐标,宜选用零点式.
变式题 (1)已知函数f(x)=x2+bx+c的图像的对称轴是直线x=1,并且经过点A(3,0),则f(-1)= (　　)
A.6 B.2
C.0 D.-4

图2-7-3
(2)[2018·烟台一模] 图2-7-3是二次函数y=f(x)的图像,若|OC|=|OB|=3|OA|,且△ABC的面积S=6,则这个二次函数的解析式为　　　　　　　. 
探究点三　二次函数的图像与性质问题
微点1　通过图像识别二次函数
例3 图2-7-4是二次函数y=ax2+bx+c图像的一部分,已知图像过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1.给出下面四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a
图2-7-4
其中正确的是 (　　)
A.②④
B.①④
C.②③
D.①③
 
 
 
[总结反思] 一般地,给定了二次函数的图像,我们可以从图像中得到下列信息:(1)开口方向;(2)判别式的正负;(3)对称轴;(4)特殊点的函数值的正负.
微点2　二次函数的单调性问题
例4 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R)的最小值为f(1),则f(),f,f()的大小关系是 (　　)
A.f() B.f C.f() D.f() (2)已知二次函数f(x)=2kx2-2x-3k-2在区间[-5,5]上是单调函数,则实数k的取值范围为　　　　　　　. 
 
 
 
[总结反思] 对于二次函数的单调性,关键是开口方向与对称轴的位置,若开口方向或对称轴的位置不确定,则需要分类讨论求解;(2)利用二次函数的单调性比较大小,一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较,或通过与对称轴之间的距离大小进行比较.
微点3　二次函数的最值问题
例5 已知函数f(x)=x2+ax+3,当函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3时,求实数a的值.
 
 
[总结反思] 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
微点4　二次函数的恒成立问题
例6 (1)设函数f(x)=mx2-x-,若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m的取值范围;
(2)已知函数f(x)=-2x2+4x+m,若f(x)≤2m-2在区间[m,m+2]上恒成立,求m的取值范围.
 
 
[总结反思] (1)判别式转化法:如f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立,即转化为(2)对于轴定区间不定的一元二次不等式恒成立问题,可结合对称轴的情况,对不定区间进行讨论,最后得参数的范围.
应用演练
1.【微点3】已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
2.【微点2】函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 (　　)
A.f(bx)≤f(cx)
B.f(bx)≥f(cx)
C.f(bx)>f(cx)
D.不确定
3.【微点2】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上为减函数,则实数a的取值范围为　　　　. 

4.【微点4】若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为　　　　. 
5.【微点4】已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为　　　　. 





第7讲　二次函数与幂函数
考试说明 1.二次函数
(1)掌握二次函数的图像与性质(单调性、对称性、顶点、最值).
(2)了解二次函数的广泛应用.
2.幂函数
(1)了解幂函数的概念.
(2)结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图像,了解它们的变化情况.

【课前双基巩固】
知识聚焦
1.　　　　　b=0
2.{x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}　{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇　非奇非偶　奇　(-∞,0]　(0,+∞)　[0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞)　(1,1)
对点演练
1.(-∞,40]∪[160,+∞)　[解析] 二次函数图像的对称轴方程是x=,故只需≤5或≥20,即k≤40或k≥160,故所求实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞).
2.　[解析] 设f(x)=xα,则=2α,所以α=,故函数f(x)=.
3.6　2　[解析] f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,x∈[0,3],当x=1时,函数f(x)取得最小值2;当x=3时,函数f(x)取得最大值6.
4.6　[解析] 函数y=x2+(a+2)x+3的图像在[a,b]上关于直线x=1对称,说明函数图像的对称轴为直线x=1,即-=1且=1,∴a=-4,b=6.
5.③　[解析] 函数图像的开口向下,对称轴方程为x=->0,且过原点,故大致图像是③.
6.>　[解析] f(x)=x2-x+a图像的对称轴为直线x=,且f(1)>0,f(0)>0,而f(m)<0,∴m∈(0,1),∴m-1<0,∴f(m-1)>0.
7.m≤-　[解析] 当m=0时,函数在给定区间上是增函数,不合题意;当m≠0时,函数是二次函数,其图像的对称轴为直线x=-,依题意知解得m≤-.
8.(3,5)　[解析] ∵幂函数f(x)=在定义域(0,+∞)内单调递减,∴由f(a+1) 9.(-∞,1)　[解析] 当m>0时,根据题意知m<1,所以0 【课堂考点探究】
例1　[思路点拨] (1)直接根据幂函数图像的特点判断即可;(2)根据幂函数的定义及图像所经过的点确定m,n的值,再利用单调性比较大小.
(1)C　(2)A　[解析] (1)根据幂函数的性质可得,在(1,+∞)上指数大的幂函数其图像在上面,结合所给函数图像可得n>p>m,故选C.
(2)函数f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以m=2.由题意,点(2,8)在幂函数的图像上,即8=2n,所以n=3,即f(x)=x3,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,
又<<1 变式题　2　[解析] 易知m2-4m为偶数,且小于0,由m2-4m<0,解得0 例2　[思路点拨] (1)由已知得所求函数的顶点式,与已知解析式比较对应项系数即可求出参数;(2)找出对称轴,设函数的解析式为零点式,再利用图像过点(4,3)可求出参数.
(1)x2+2x+1　(2)x2-4x+3　[解析] (1)由函数f(x)的最小值为f(-1)=0,得f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.
(2)因为f(2-x)=f(2+x)对任意x∈R恒成立,所以f(x)图像的对称轴为直线x=2.又因为f(x)的图像在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),因为f(x)的图像过点(4,3),所以3a=3,即a=1,所以f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
变式题　(1)C　(2)f(x)=-x2+2x+3　[解析] (1)由题意知-=1,得b=-2,∴f(3)=9+3b+c=9-6+c=0,
∴c=-3,∴f(x)=x2-2x-3,
∴f(-1)=1+2-3=0.
(2)因为|OB|=|OC|=3|OA|,所以|AB|=|OA|+|OB|=4|OA|,
所以4|OA|×3|OA|×=6,得|OA|=1,所以A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
设这个二次函数的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3),将点C(0,3)代入,得a=-1,
所以这个二次函数的解析式为f(x)=-x2+2x+3.
例3　[思路点拨] 根据二次函数的图像可以知判别式的正负、开口方向、对称轴、x=-1处函数值的正负,由这些信息可判断结论的正误.
B　[解析] 因为图像与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.
对称轴为直线x=-1,即-=-1,即2a-b=0,②错误.
结合图像知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由对称轴为直线x=-1知,b=2a,又函数图像开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a 例4　[思路点拨] (1)二次函数存在最小值,所以图像开口向上,再根据与对称轴之间的距离判断大小关系;(2)由f(x)在[-5,5]上是单调函数可知,对称轴在区间[-5,5]的两侧.
(1)D　(2)∪　[解析] (1)因为二次函数f(x)有最小值f(1),所以a>0,且其图像的对称轴为直线x=1.
因为,-,与对称轴之间的距离分别为|-1|,,|-1|,且|-1|<|-1|<,
所以f() (2)∵f(x)是二次函数,∴k≠0.
∵f(x)的图像关于直线x=对称,
∴要使f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,
则必有≤-5或≥5,解得-≤k<0或0 即实数k的取值范围是∪.
例5　[思路点拨] 根据图像的开口方向和对称轴与区间[-1,1]的关系分类讨论求解.
解:由题意得,函数f(x)=x2+ax+3的图像的对称轴为直线x=-.
①当1≤-,即a≤-2时,f(x)在[-1,1]上单调递减,
∴f(x)min=f(1)=1+a+3=a+4=-3,
解得a=-7,符合题意.
②当-1<-<1,即-2 由题意得f(x)min=f==-3,
解得a2=24,
∴a=2或a=-2,不合题意,舍去.
③当-≤-1,即a≥2时,f(x)在[-1,1]上单调递增,
∴f(x)min=f(-1)=1-a+3=4-a=-3,
解得a=7,符合题意.
综上可知,a=7或a=-7.
例6　[思路点拨] (1)对m进行分类讨论,结合二次函数的图像和性质得到关于m的不等式,求得m的取值范围.(2)根据对称轴与区间[m,m+2]的位置关系进行分类讨论.
解:(1)若m=0,则显然不成立;
若m≠0,则解得m<-.
综上可知,m<-.
(2)f(x)≤2m-2在区间[m,m+2]上恒成立,即2x2-4x+m-2≥0在[m,m+2]上恒成立,设g(x)=2x2-4x+m-2,其图像的对称轴为直线x=1.
①若m≥1,则函数g(x)在[m,m+2]上单调递增,要满足g(x)≥0,只需g(m)≥0,即2m2-3m-2≥0,解得m≥2或m≤-(舍);
②若m<1 ③若m+2≤1,即m≤-1,则函数g(x)在[m,m+2]上单调递减,要满足g(x)≥0,只需g(m+2)≥0,即2(m+2)2-4(m+2)+m-2≥0,解得m≤或m≥(舍).
综上可得,m的取值范围为m≤或m≥2.
应用演练
1.C　[解析] 函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,x∈[0,1],
∵函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,
∴f(x)有最小值f(0)=a=-2,
∴f(x)的最大值为f(1)=3+a=3-2=1,故选C.
2.A　[解析] 由题意知,函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,则bx=2x,cx=3x.易知f(x)在(-∞,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.若x≥0,则3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x);若x<0,则3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x),即f(bx)≤f(cx).故选A.
3.a≤-4　[解析] 易知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的图像开口向上,且以直线x=1-a为对称轴,若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,5]上是减函数,则5≤1-a,即a≤-4.
4.(-3,0)　[解析] 由题意知k<0,且Δ=k2+3k<0,所以-3 5.　[解析] 由题意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
当x=0时,符合;
当x≠0时,a<-恒成立.
因为∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当=1,即x=1时,y=-取得最小值,所以a<.
综上,实数a的取值范围是.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【备选理由】 例1考查常见幂函数的性质;例2考查含绝对值的二次函数的单调性,需要先去掉绝对值再求解;例3为轴定区间动的最值问题,需要依据对称轴进行分类讨论求解;例4为与二次函数有关的恒成立问题,结合了指数函数的性质.
例1　[配合例1使用] 已知a∈,若f(x)=xa为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a的值是 (　　)
A.-1,3 B.,3
C.-1,,3 D.,,3
[解析] B　因为f(x)=xa为奇函数,所以a∈,又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a∈,因此选B.
例2　[配合例4使用] 若函数f(x)=x2+a|x-2|在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 
[答案] [-4,0]
[解析] f(x)=若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,注意到f(x)在x=2处连续,则只需⇒-4≤a≤0.
例3　[配合例5使用] 设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.
解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,其图像的对称轴为直线x=1.
当t+1<1,即t<0时,函数图像如图①所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;

① ② ③
当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图像如图②所示,函数f(x)的最小值为f(1)=1;
当t>1时,函数图像如图③所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.
综上可知,f(x)min=
例4　[配合例6使用] 函数f(x)=a2x+3ax-2(a>1),若在区间[-1,1]上f(x)≤8恒成立,则a的最大值为　　　　. 
[答案] 2
[解析] 令ax=t,因为a>1,x∈[-1,1],所以≤t≤a,原函数可化为g(t)=t2+3t-2,显然g(t)在上单调递增,所以f(x)≤8恒成立,即g(t)max=g(a)≤8恒成立,所以有a2+3a-2≤8,解得-5≤a≤2,又a>1,所以a的最大值为2.