2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第八章第三节直线、平面平行的判定及其性质

第三节直线、平面平行的判定及其性质


1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)

⇒a∥α
性质定理
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

⇒l∥b


2．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行

⇒a∥b

[小题体验]
1．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直．
其中真命题的序号是________．
答案：②
2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________．
解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．
答案：平行或异面
3．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有________．

解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，故正确的个数为3.
答案：3

1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
[小题纠偏]
1．在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有______个．
解析：借助长方体的直观图易知，在长方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有2个．
答案：2
2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要不充分条件．
答案：必要不充分

考点一　直线与平面平行的判定与性质　
[锁定考向]
平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．
常见的命题角度有：
(1)证明直线与平面平行；
(2)线面平行性质定理的应用．　　　 　
[题点全练]
角度一：证明直线与平面平行
1．如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：AP∥平面C1MN.
证明：在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形，所以AP∥C1M.又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN.
角度二：线面平行性质定理的应用
2．如图，四棱锥P­ABCD 的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥ 平面GEFH .
求证：GH∥EF.
证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，
且平面PBC∩平面GEFH＝GH，
所以GH∥BC，
同理可证EF∥BC，
因此GH∥EF.
[通法在握]
证明直线与平面平行的3种方法
定义法
一般用反证法
判定定理法
关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程
性质判定法
即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面

[演练冲关]
如图，在三棱柱ABC ­A1B1C1中，CC1＝4，M是棱CC1上的一点．若点N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．

解：法一：如图，取AB1的中点P，连结NP，PM.
又因为点N是AB的中点，
所以NP∥BB1.
因为CM∥BB1，
所以NP∥CM，
所以NP与CM共面．
因为CN∥平面AB1M，平面CNPM∩平面AB1M＝PM，所以CN∥PM.
所以四边形CNPM为平行四边形，
所以CM＝NP＝CC1＝2.
法二：如图，取BB1的中点Q，连结NQ，CQ.
因为点N是AB的中点，
所以NQ∥AB1.
因为NQ⊄平面AB1M，AB1⊂平面AB1M，
所以NQ∥平面AB1M.
因为CN∥平面AB1M，NQ∩CN＝N，NQ⊂平面NQC，CN⊂平面NQC，
所以平面NQC∥平面AB1M.
又因为平面BCC1B1∩平面NQC＝CQ，平面BCC1B1∩平面AB1M＝MB1，
所以CQ∥MB1.
因为BB1∥CC1，所以四边形CQB1M是平行四边形，
所以CM＝B1Q＝CC1＝2.
考点二　平面与平面平行的判定与性质　
[典例引领]
如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明：(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，
所以GH∥B1C1.
又因为B1C1∥BC，
所以GH∥BC，
所以B，C，H，G四点共面．
(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，
所以EF∥BC，
因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
所以EF∥平面BCHG.
因为A1G綊EB，
所以四边形A1EBG是平行四边形，
所以A1E∥GB.
因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF＝E，
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[由题悟法]
判定平面与平面平行的4种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点；
(2)面面平行的判定定理；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
[即时应用]
1．如图，平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA，DC于点A1，C1，求△A1B1C1的面积．

解：因为α∥β，
所以A1B1∥AB，B1C1∥BC，
又因为∠A1B1C1与∠ABC同向．
所以∠A1B1C1＝∠ABC.
又因为cos∠ABC＝＝，
所以∠ABC＝∠A1B1C1＝60°.
又因为B1为EB的中点，
所以B1A1是△EAB的中位线，
所以B1A1＝AB＝，
同理知B1C1为梯形BCDE的中位线，
所以B1C1＝(BC＋DE)＝5.
则S△A1B1C1＝A1B1×B1C1×sin 60°
＝××5×＝.
故△A1B1C1的面积为.
2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：

(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连结AE，设DF与GN的交点为O，
则AE必过DF与GN的交点O，
连结MO，则MO为△ABE的中位线，
所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.

(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，
所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.
又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
　
[典例引领]
如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．
解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，
如图，取BB1的中点F，
连结DF，EF，ED，则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面AB1C1，
因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1，
又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
所以EF∥AB1，
因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连结DF，
则DF∥B1C1.
因为DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
所以DF∥平面AB1C1.
因为AB的中点为E，连结EF，ED，
则EF∥AB1.
因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
因为DF∩EF＝F，
所以平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.
[由题悟法]
探索性问题的一般解题方法
先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．
[即时应用]
1．在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，点P为DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.


解析：点Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
因为点P为DD1的中点，所以QB∥PA.
又QB⊄平面PAO，PA⊂平面PAO，所以QB∥平面PAO.
连结DB，因为点P，O分别是DD1，DB的中点，
所以D1B∥PO.
又D1B⊄平面PAO，OP⊂平面PAO，所以D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，D1B⊂平面D1BQ, QB⊂平面D1BQ，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故点Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：Q为CC1的中点
2．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.

若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且＝λ，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．
解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.
理由如下：
当λ＝时，＝，可知＝，如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连结EM，PC，则有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，
故四边形MPCE为平行四边形，
所以CP∥ME，
又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.

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1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与α的位置关系为________．
解析：依题意，直线a必与平面α内的某直线平行，
又a∥b，因此直线b与平面α的位置关系是平行或直线b在平面α内．
答案：平行或直线b在平面α内
2．(2018·南京模拟)在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．
解析：如图，由＝得AC∥EF.
又因为EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，
所以AC∥平面DEF.
答案：AC∥平面DEF
3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．
①平面A1BC1和平面ACD1；
②平面BDC1和平面B1D1A；
③平面B1D1D和平面BDA1；
④平面ADC1和平面A1D1C.
解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A1BC1∥平面ACD1，平面BDC1∥平面B1D1A.

答案：①②

4．如图，α∥β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.

解析：因为α∥β，所以CD∥AB，
则＝，所以AB＝＝＝.
答案：
5．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是________．(填序号)

解析：因为点M，N，Q分别为所在棱的中点，所以在①中AB与平面MNQ相交，在②③中均有AB∥MQ，在④中，有AB∥NQ，所以在②③④中均有AB与平面MNQ平行．
答案：②③④
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1．(2018·滨海期末)已知m，n是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m，n⊂γ，若增加一个条件就能得出m∥n，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．
①m∥γ，n∥β；②α∥γ，n⊂β；③n∥β，m⊂γ.
解析：对于①，若β∥γ，由m⊂β，满足m∥γ，由n⊂γ，满足n∥β，但m，n可为异面直线，则不成立；
对于②，由α∥γ，且α∩β＝m，β∩γ＝n，由面面平行的性质定理可得m∥n，则成立；
对于③，n∥β，m⊂γ，则γ∩β＝m，由线面平行的性质定理可得n∥m，则成立．
答案：②或③
2．(2019·连云港调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．
解析：由题意知，两个平行平面间的距离d＝2sin 30°＝1.
答案：1
3．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________(填序号)．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；
③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.
解析：如图，因为AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，故AD1∥BC1，从而①正确；易证AB1∥DC1，BD∥B1D1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确；由图易知AD1与DC1异面，故③错误；因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正确．
答案：①②④
4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：

①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确命题的个数是________．
解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；
对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG，
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，
所以A1D1∥平面EFGH(水面)．
所以③是正确的；
对于④，因为水是定量的(定体积V)，
所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.
所以BE·BF＝(定值)，即④是正确的．
答案：3
5．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝AC＝2，FM＝EN＝PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8.
答案：8
6．设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.
如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
答案：①或③
7．(2018·盐城期末)已知棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1，E为棱AD的中点，现有一只蚂蚁从点B1出发，在正方体ABCD ­A1B1C1D1表面上行走一周后再回到点B1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A1EB的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．
解析：要满足题意，则需在正方体ABCD ­A1B1C1D1上过B1作与平面A1EB平行的平面．
取A1D1和BC的中点分别为F，G，连结B1F，FD，DG，GB1，则A1F綊ED，所以四边形A1FDE是平行四边形，所以A1E∥FD.因为FD⊄平面A1EB，A1E⊂平面A1EB，所以FD∥平面A1EB.
同理：DG∥平面A1EB.又FD∩DG＝D，所以平面DFB1G∥平面A1EB，则四边形DFB1G所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB1G为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB1G的边长为，cos∠A1EB＝，∴sin∠A1EB＝，∵∠A1EB＝∠FDG，
∴S菱形DFB1G＝××sin∠FDG＝2.
答案：2
8．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是________．


解析：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连结A1M，A1N，MN，
可以证明平面A1MN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上，
因为A1M＝A1N＝＝，MN＝ ＝，
所以当点P位于M，N处时，A1P的长度最长，
取MN的中点O，连结A1O，当P位于MN的中点O时，A1P的长度最短，
此时A1O＝＝，
所以A1O≤A1P≤A1M，即≤A1P≤，
所以线段A1P长度的取值范围是.
答案：
9．如图，在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．求证：
(1)AP∥平面BEF；
(2)GH∥平面PAD.
证明：(1)连结EC，
因为AD∥BC，BC＝AD，
所以BC綊AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以O为AC的中点．
又因为F是PC的中点，所以FO∥AP，
因为FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，
所以AP∥平面BEF.
(2)连结FH，OH，因为F，H分别是PC，CD的中点，
所以FH∥PD，
因为PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
所以FH∥平面PAD.
又因为O是AC的中点，H是CD的中点，
所以OH∥AD，
因为AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
所以OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.
因为GH⊂平面OHF，所以GH∥平面PAD.
10.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H.
证明：(1)如图所示，取BB1的中点M，连结MH，MC1，
易证四边形HMC1D1是平行四边形，
所以HD1∥MC1.
又因为MC1∥BF，所以BF∥HD1.
(2)取BD的中点O，连结EO，D1O，则OE綊DC，
又D1G綊DC，所以OE綊D1G，
所以四边形OEGD1是平行四边形，
所以GE∥D1O.
又GE⊄平面BB1D1D，D1O⊂平面BB1D1D，
所以EG∥平面BB1D1D.
(3)由(1)知BF∥HD1，
又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
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1．(2018·扬州期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________．
解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为： ＝4，＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.
答案：1或7
2．如图所示，设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1，D1，P的平面交平面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.
解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD，
所以BD∥PQ，
设PQ∩AB＝M，
因为AB∥CD，
所以△APM∽△DPQ.
所以＝＝2，
即PQ＝2PM.
又知△APM∽△ADB，
所以＝＝，
所以PM＝BD，又BD＝a，
所以PQ＝a.
答案：a
3．(2019·南通调研)如图，已知三棱柱ABC ­A1B1C1，E，F分别为CC1，BB1上的点，且EC＝B1F，过点B做截面BMN，使得截面交线段AC于点M，交线段CC1于点N.
(1)若EC＝3BF，试确定M，N的位置，使平面BMN∥平面AEF，并说明理由；
(2)若K，R分别为AA1，C1B1的中点，求证：KR∥平面AEF.
解：(1)当＝＝时，平面BMN∥平面AEF.
理由如下：∵EN＝EC，BF＝EC，
∴EN綊BF，∴四边形BFEN是平行四边形，
∴BN∥EF.
∵＝，∴MN∥AE，
∵MN⊂平面BMN，BN⊂平面BMN，且MN∩BN＝N，AE⊂平面AEF，EF⊂平面AEF，且AE∩EF＝E，
∴当＝＝时，平面BMN∥平面AEF.
(2)证明：连结BC1，交FE于点Q，连结QR.
∵△BQF≌△C1QE，∴BQ＝C1Q，
∴QR∥BB1，且QR＝BB1，
∴QR綊AK.
∴四边形AKRQ为平行四边形．
连结AQ，则AQ∥KR，
∵AQ⊂平面AEF，KR⊄平面AEF，
∴KR∥平面AEF.