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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第3章第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
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    2020版新一线高考文科数学(北师大版)一轮复习教学案:第3章第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

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    第四节 函数yAsin(ωxφ)的图像及三角函数模型的简单应用

    [考纲传真] 1.了解函数yAsin(ωxφ)的物理意义;能画出函数的图像,了解参数Aωφ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

    1函数yAsin (ωxφ)中各量的物理意义

    yAsin(ωxφ)(A0ω0x0)表示一个简谐运动

    振幅

    周期

    频率

    相位

    初相

    A

    T

    f

    ωxφ

    φ

    2.五点法作图

     

    ωxφ

    0

    π

    2π

    x

    yAsin(ωxφ)

    0

    A

    0

    A

    0

    3.三角函数图像变换的两种方法(ω0)

    先平移后伸缩        先伸缩后平移

                           

    1ysin ωxysin(ωxφ)(ω0φ0)的变换中,应向左平移个单位长度,而非φ个单位长度.

    2函数yAsin(ωxφ)的对称轴由ωxφkZ确定;对称中心由ωxφkZ确定其横坐标.

    [基础自测]

    1(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)ysin的图像是由ysin的图像向右平移个单位长度得到的. (  )

    (2)利用图像变换作图时先平移,后伸缩先伸缩,后平移中平移的长度一致.              (  )

    (3)函数yAcos(ωxφ)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为              (  )

    (4)ysin x的图像上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图像对应的函数解析式为ysinx              (  )

    [答案] (1) (2)× (3) (4)×

    2(教材改编)y2sinx[0,+)的振幅、频率和初相分别为(  )

    A2,-   B2,-

    C2,- D2,-

    A [振幅为2,频率为,初相为-,故选A]

    3.为了得到函数y2sin的图像,可以将函数y2sin 2x的图像(  )

    A.向右平移个单位长度   B.向右平移个单位长度

    C.向左平移个单位长度   D.向左平移个单位长度

    A [y2sin2sin,故选A]

    4.函数ysin在区间上的简图是(  )

    A [x=-时,ysin=-sinπsin0,排除BD

    x时,ysinsin 00,故排除C,故选A]

    5.用五点法作函数ysin在一个周期内的图像时,主要确定的五个点是________________________________________.

     [x分别等于0π可得x的值分别为,则需确定的五个点为.]

    五点法作图及图像变换

     

    【例1】 (1)(2017·全国卷)已知曲线C1ycos xC2ysin,则下面结论正确的是(  )

    A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

    B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

    C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

    D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

    D [因为ysincoscos,所以曲线C1ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到曲线ycos 2x,再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度,得到曲线ycos 2cos,故选D]

    (2)已知函数f(x)sin ωxcos ωx(ω0)的最小正周期为π.

    ω的值,并在下面提供的坐标系中画出函数yf(x)在区间[0π]上的图像;

    函数yf(x)的图像可由函数ysin x的图像经过怎样的变换得到?

    [] 由题意知f(x)sin,因为Tπ,所以π,即ω2

    f(x)sin.

    列表如下:

    2x

    π

    x

    0

    π

    f(x)

    1

    0

    1

    0

    yf(x)[0π]上的图像如图所示.

    ysin x的图像上的所有点向左平移个单位长度,得到函数ysin的图像,再将ysinx的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)sin(xR)的图像.

    [规律方法] 函数yAsin(ωxφ)(A0ω0)的图像的两种作法

    (1)变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用ωxφω确定平移单位.

    (2)五点法作图,关键是通过变量代换,设zωxφ,由z0ππ来求出相应的x,通过列表,描点得出图像.如果在限定的区间内作图像,还应注意端点的确定.

    (1)把函数ysin x的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的,纵坐标保持不变,再把图像向右平移个单位长度,则所得图像的解析式为(  )

    Aysin    Bysin

    Cysin Dysin

    (2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数ysin的图像,只需把函数ycos的图像(  )

    A.向左平移个单位长度     B.向右平移个单位长度

    C.向左平移个单位长度     D.向右平移个单位长度

    (1)A (2)A [(1)把函数ysin x的图像上所有点的横坐标缩小为原来的,纵坐标不变,得到ysin 2x的图像,再把ysin 2x的图像向右平移个单位长度,得到ysin,即ysin的图像,故选A

    (2)ycossinsin2x,故要得到函数ysin的图像,只需要平移个单位长度,又0,所以应向左平移,故选A]

     

    求函数yAsin(ωxφ)的解析式

     

    【例2】 (1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)sin(ωxφ)的部分图像如图所示,若x1x2,且f(x1)f(x2),则f(x1x2)(  )

    A   B   C   D1

    (2)已知函数f(x)Asin(ωxφ)B(A0xRω0|φ|π)的部分图像如图所示,则函数f(x)的解析式为f(x)________.

    (1)C (2)2sin1 [(1)由题图知,,即Tπ,则ω2,所以f(x)sin(2xφ),因为点在函数f(x)的图像上,所以sin0,即φ2kππkZ,所以φ2kπkZ,又|φ|,所以φ,所以f(x)sin,因为x1x2,且f(x1)f(x2),所以,所以x1x2,所以f(x1x2)sin.

    (2)由题图可知,函数的最大值为AB3,最小值为-AB=-1,解得A2B1.函数的最小正周期为T2×π

    π,解得ω2.

    f  2sin1=-1

    sin=-1,故φ2kπ(kZ)

    解得φ2kπ(kZ)

    又因为|φ|π,所以φ=-.

    所以f(x)2sin1.]

    [规律方法] 确定yAsin(ωxφ)b(A0ω0)的步骤和方法

    (1)Ab:确定函数的最大值M和最小值m

    Ab.

    (2)ω:确定函数的最小正周期T,则可得ω.

    (3)φ:常用的方法有:

    代入法:把图像上的一个已知点代入(此时Aωb已知)或代入图像与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)

    特殊点法:确定φ值时,往往以寻找最值点为突破口.具体如下:

    最大值点(即图像的峰点)ωxφ2kπkZ

    最小值点(即图像的谷点)ωxφ2kπkZ.

    (1)已知函数f(x)Acos(ωxφ)(A0ω0|φ|)的图像如图所示,f =-,则f (  )

    A.- B.-

    C D

    (2)(2017·天津高考)设函数f(x)2sin(ωxφ)xR,其中ω>0|φ|<π.f 2f 0,且f(x)的最小正周期大于,则(  )

    Aωφ Bωφ=-

    Cωφ=- Dωφ

    (1)A (2)A [(1)由题图知

    所以T,即ω3

    x时,y0

    3×φ2kπkZ

    所以φ2kπkZ

    k1时,φ=-

    所以f(x)Acos.

    Acos=-,得A

    所以f(x)cos

    f cos=-.

    (2)f 2f 0,且f(x)的最小正周期大于

    f(x)的最小正周期为4

    ωf(x)2sin.

    2sin2

    φ2kπkZ.

    |φ|<πk0,得φ.

    故选A]

     

    三角函数模型的简单应用

     

    【例3】 某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)10costsintt[0,24)

    (1)求实验室这一天的最大温差;

    (2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?

    [] (1)因为f(t)102

    102sin

    0t24

    所以t,-1sin1.

    t2时,sin1

    t14时,sin=-1.

    于是f(t)[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.

    故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .

    (2)依题意,当f(t)11时实验室需要降温.

    (1)f(t)102sin

    故有102sin11

    sin<-.

    0t24,因此t,即10t18.

    故在10时至18时实验室需要降温.

    [规律方法] 解决三角函数实际应用题的三个注意点:

    (1)准确理解题意,将实际问题数学化.

    (2)ωxφ整体处理.

    (3)活用函数图像性质,数形结合.

    (1)(2019·黄山模拟)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )

    A5    B6    C8    D10

    (2)据市场调查,某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)Asin(ωxφ)BA0ω0|φ|的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.

    (1)C (2)6 000 [(1)根据图像得函数的最小值为2,有-3k2k5,最大值为3k8.

    (2)作出函数简图如图:

    三角函数模型为:yAsin(ωxφ)B

    由题意知:A2 000B7 000T2×(93)12

    ω.

    将点(3,9 000)代入y2000sin7000cos φ1

    φ2kπkZ,又|φ|,则φ0.

    f(x)2 000sinx7 000(1x12xN*)

    f(7)2 000×sin7 0006 000.

    7月份的出厂价格为6 000元.]

    1(2016·全国卷)将函数y2sin2x的图像向右平移个周期后,所得图像对应的函数为(  )

    Ay2sin By2sin

    Cy2sin Dy2sin

    D [函数y2sin的周期为π,将函数y2sin的图像向右平移个周期即个单位长度,所得图像对应的函数为y2sin2x2sin,故选D]

    2(2016·全国卷)函数yAsin(ωxφ)的部分图像如图所示,则(  )

    Ay2sin By2sin

    Cy2sin Dy2sin

    A [由图像知,故Tπ,因此ω2.又图像的一个最高点坐标为,所以A2,且2×φ2kπ(kZ),故φ2kπ(kZ),结合选项可知y2sin.故选A]

    3(2015·全国卷)函数f(x)cos(ωxφ)的部分图像如图所示,则f(x)的递减区间为(  )

    AkZ 

    BkZ

    CkZ 

    DkZ

    D [由图像知,周期T22

    2ωπ.

    π×φ2kπkZ,不妨取φ

    f(x)cos.

    2kπ<πx<2kππ,得2k<x<2kkZ

    f(x)的递减区间为kZ.故选D]

    4(2016·全国卷)函数ysin xcos x的图像可由函数y2sin x的图像至少向右平移________个单位长度得到.

     [ysin xcos x2sin函数ysin xcos x的图像可由函数y2sin x的图像向右平移个单位长度得到.]

     

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