2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：高考大题增分课（三）数列中的高考热点问题

(三)　数列中的高考热点问题

[命题解读]　数列在数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与不等式的交汇，难度中等．

解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”．

【例1】　(2016·天津高考)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且－＝，S6＝63.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．

[解]　(1)设数列{an}的公比为q.

由已知，有－＝，

解得q＝2或q＝－1.

又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，

所以a1·＝63，得a1＝1.

所以an＝2n－1.

(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)

＝(log22n－1＋log22n)＝n－，

即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．

设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则

T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)

＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝＝2n2.

(2019·南昌模拟)已知各项均为正数且递减的等比数列{an}满足：a3，a4，2a5成等差数列，前5项和S5＝31.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若等差数列{bn}满足b1＝a4－1，b2＝a3－1，求数列{abn}的前n项和．

[解]　(1)由a3，a4，2a5成等差数列得3a4＝a3＋2a5，设{an}的公比为q，则2q2－3q＋1＝0，解得q＝或q＝1(舍去)，

所以S5＝＝31，解得a1＝16.

所以数列{an}的通项公式为an＝16×＝.

(2)设等差数列{bn}的公差为d，由b1＝a4－1，b2＝a3－1得b1＝1，d＝a3－a4＝4－2＝2，

所以bn＝2n－1，abn＝，

数列{abn}的前n项和Tn＝＋＋…＋＝＝.

数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法．常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等．

【例2】　(本小题满分12分)(2019·青岛模拟)已知等差数列{an}，公差d＝2，S1，S2，S4成等比数列．

(1)求an；

(2)令bn＝(－1)n，求{bn}的前n项和Tn.

[信息提取]　看到条件中S1，S2，S4成等比数列，想到S＝S1·S4；

看到(2)中(－1)n想到n为偶数和奇数两种情况．

[规范解答]　(1)∵S1，S2，S4成等比数列．

∴S＝S1S4， 1分

∴(2a1＋2)2＝a1，

解得a1＝1， 3分

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 4分

(2)bn＝(－1)n·

＝(－1)n·

＝(－1)n. 6分

∴当n为偶数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…＋＝－1＋＝， 8分

当n为奇数时，{bn}的前n项和Tn＝－＋－…－

＝－1－＝－. 11分

故Tn＝ 12分

[易错与防范]　易错误区：(1)在解答第(2)问时，不会处理bn的表达式；

(2)求Tn时，没有对n进行分类讨论，导致解答错误．

防范措施：(1)对于常见式子的裂项要心中有数，要根据分子的结构特征来确定裂成两项之和还是两项之差．

(2)出现(－1)n求和时，一般要分n为奇数和偶数两种情况．

[通性通法]　(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息．

(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等．

已知递增数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＋an－1＝Sn＋2an(n∈N*且n≥2)，且a2a4＝21，a1＋a5＝10.

(1)证明：数列{an}是等差数列，并求其通项公式；

(2)若bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.

[解]　(1)由Sn＋1＋an－1＝Sn＋2an可得Sn＋1－Sn＝2an－an－1，

∴an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．

不妨令an－an－1＝d(n≥2)，易知d＞0，∴数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列．

又a2a4＝21，a1＋a5＝10，∴

解得或

又d＞0，∴

故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.

(2)由(1)知，an＝2n－1，

∴bn＝＝＝，

∴Tn＝1－＋－＋…＋－＋－＝＝.

【例3】　(2019·哈尔滨模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，数列{bn}满足bn＝an－n.

(1)证明：数列{bn}为等比数列；

(2)若数列{cn}满足cn＝，且数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜.

[证明]　(1)∵an＋1＝2an－n＋1，

∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，即bn＋1＝2bn.

又b1＝a1－1＝2，

∴数列{bn}是以2为首项、2为公比的等比数列．

(2)由(1)知，bn＝2×2n－1＝2n，

∴cn＝＝－.

∴Tn＝－＋－＋…＋－

＝－＜.

[规律方法]　解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．

(2019·贵州模拟)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋2＋an(n∈N*)，且a3＋a7＝20，a2＋a5＝14.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn<.

[解]　(1)由2an＋1＝an＋2＋an得{an}为等差数列．

设等差数列{an}的公差为d，

由a3＋a7＝20，a2＋a5＝14，解得d＝2，a1＝2，

∴数列{an}的通项公式为an＝2n.

(2)证明：bn＝＝

  ＝，

Sn＝

＝，

故当n∈N*，Sn＝<.

[大题增分专训]

1．(2017·北京高考)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10，

解得d＝2，所以an＝2n－1.

(2)设等比数列{bn}的公比为q，

因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9，解得q2＝3，

所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.

从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.

2．已知数列{an}是等差数列，满足a1＝1，公差d＞0，且a＝a2a22.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{cn}对任意正整数n均有＋＋…＋＝an＋1成立，其中bn＝4n－1，求数列{cn}的前n项和Sn.

[解]　(1)因为a2＝1＋d，a6＝1＋5d，a22＝1＋21d，

所以(1＋5d)2＝(1＋d)·(1＋21d)，结合公差d＞0，得d＝3，

所以an＝1＋(n－1)·3＝3n－2.

(2)因为＋＋…＋＝an＋1，

所以当n≥2时，＋＋…＋＝an，

两式作差可得，＝an＋1－an＝3，

所以cn＝3bn＝3×4n－1(n≥2)．

当n＝1时，c1＝b1a2＝4，故cn＝

于是，当n≥2时，

Sn＝4＋3×41＋3×42＋…＋3×4n－1＝4＋3(41＋42＋…＋4n－1)＝4＋3×＝4n，

当n＝1时，S1＝4.

综上，Sn＝4n.

3．(2019·蒲田模拟)已知等差数列{an}的公差d＞0，其前n项和为Sn，若S3＝12，且2a1，a2,1＋a3成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝(n∈N*)，且数列{bn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.

[解]　(1)依题意，得

即

整理得d2＋d－12＝0.

∵d＞0，∴d＝3，a1＝1.

∴数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2.

(2)证明：∵bn＝＝＝－，

∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

＝

＝＝.

∵n∈N*，∴＞0，故Tn＜.

又Tn为递增数列，

∴当n＝1时，取最小值，故≤Tn＜.